Wahrscheinlichkeitstheorie Flashcards
Welche Rechenregeln gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie?
Additionstheorem für sich/ sich nicht wechselseitig ausschließende Ereignisse
Komplementärereignis
Multiplikationstheorem
bedingte Wahrscheinlichteit
Wie ist der Begriff “Zufallsexperiment” definiert + Beispiel.
beliebig wiederholbarer Vorgang
folgt klarer Vorschrift
Ergebnis ist eines von mehreren möglichen Ereignissen
Ergebnis ist nicht eindeutig vorher bestimmbar
Bsp.: Münzwurf
Würfelwurf
Frage aus einem Fragebogen stellen
Was ist ein Elementarereignis?
mögliche Ausgänge eines Zufallexperiments
(z. B.: Würfelwurf: {1},{2},{3},{4},{5},{6})
schließen sich wechselseitig aus = disjunkt
lassen sich nicht weiter zerlegen
Was ist ein Ereignisraum Ω?
Menge aller möglichen Elementarereignisse
Bsp.: Würfelwurf {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Wie funktioniert das Additionstheorem?
für sich wechselseitig ausschließende Ereignisse:
p(A ∪ B ) = p(A ) + p(B)
[∪ heißt ODER]
für sich nicht wechselseitig ausschließende Ereignisse:
p(A∪B) =p(A) +p(B) -p(A∩B)
[∩ heißt UND]
Was ist Inferenzstatistik im Gegensatz zur deskriptiven Statistik?
beschäftigt sich mit der Frage, wie man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen kann
man macht Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Grundgesamtheit
Was sind Beispiele für Vollerhebungen in Deutschland?
Befragung aller SoWi-Studenten an der HU
Arbeitslosenstatistik
Zensus
Was sind komplexe/ zusammengesetzte Ereignisse?
Verknüpfung von Elementarereignissen durch logisches UND oder logisches ODER.
Bsp: Würfelwurf 1 und 2/ 1 oder 2
Was ist ein unmögliches Ereignis?
kann nicht eintreten: leere Menge {} oder ∅
Bsp.: 3 und 4 bei einfachem Würfelwurf
Was ist ein sicheres Ereignis?
tritt immer ein
Bsp.: Kopf oder Zahl bei Münzwurf
Was sind sich wechselseitig ausschließende Ereignisse?
sie können nicht zusammen auftreten
Bsp bei Würfel 3 und 4 gleichzeitig rausbekommen
Elementarereignisse sind immer sich wechselseitig ausschließende Ereignisse
Was ist eine Wahrscheinlichkeit?
eine reelle Zahl
wird Ausgängen eines Zufallsexperiments zugeordnet,
z. B. Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Zahl“ beim
Münzwurf p(Zahl) = 0.5
Welche drei Axiome der Wahrscheinlichkeit gibt es?
p (A) ≥ 0
p (sicheres Ergebnis) = 1
für sich wechselseitig ausschließende Ereignisse gilt:
p(A1 ODER A2 oder A3) = p(A1) + p(A2) + p(A3)
Wie wird die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet?
Zahl der günstigen Ausgänge durch Zahl der möglichn Ausgänge
FORMEL
Was ist das Komplementärereignis?
die Wahrscheinlichkeit, dass nicht A eintritt
FORMEL
Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?
Berechnung der
Wahrscheinlichkeit im reduzierten Ereignisraum
Beispiel: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A = nach 2x Würfeln ist die Summe 3 rauskommt, unter der Bedingung, dass B = beim ersten Wurf kam 1 raus
==> begrenzter Ereignisraum
p(A) unter der Bedingung, dass B schon eingetreten ist
„Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B“
Achtung auf die Zahl im Zähler
Was ist das Multiplikationstheorem?
FORMEL
gilt für zwei unabhängige Ereignisse
Sind günstige disjunkte Ereignisse durch ein UND verknüpft, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert
Was ist das Verhältnis von Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit?
Wahrscheinlichkeit:
bezieht sich auf ein Zufallsexperiment
nicht immer messbar/ berechenbar, aber wenn, dann a priori definiert
im Zähler steht die Anzahl der Elementarereignisse, im Nenner die Anzahl der günstigen Ereignisse
relative Häufigkeit:
bezieht sich auf Serie von Zufallsexperimenten
erst a posteriori berechenbar; a priori nicht eindeutig
im Zähler steht die Anzahl der Experimente
im Nenner steht die Anzahl der günstigen Ausgänge
Was besagt das Bernoulli-Theorem?
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses A (f(A)/n) von der theoretischen Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses p(A) um einen beliebig kleinen Betrag (e) unterscheidet, geht gegen 0, wenn das Zufallsexperiment sehr oft wiederholt wird (n gegen unendlich)
Anwendung: Schätzung unbekannter Wahrscheinlichkeiten über Stichprobe = Serie von Zufallsexperimenten
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen für diskrete Variablen gibt es?
Binomialverteilung: nur 2 Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten können gleich oder ungleich sein
Hypergeometrische Verteilung: 2 Ereignisse, sich wechselnde Wahrscheinlichkeiten
Poisson-Verteilung: seltene Ereignisse
Multinomiale Verteilung: mehr als zwei Ereignisse
Was ist der Bernoulli-Prozess?
Serie von Zufallsexperimenten, bei denen es nur zwei Ereignisse gibt: das Ergebnis tritt ein oder nicht (=Bernoulli-Experiment)
Je öfter man das Zufallsexperiment durchführt, desto präziser wird die relative Wahrscheinlichkeit
Was ist eine Binomialverteilung?
Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete=kategoriale Variablen.
beschreibt Anzahl der Erfolge in Bernoulli-Prozessen
FORMEL
Wie berechnet man die Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung?
Man summiert die Ergebnisse der Binomialverteilung bis zum gewünschten Wert auf.
Wie sehen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei kontinuierlichen Variablen aus?
Wahrscheinlichkeit für 1 Elementarereignis –> 0
deshalb WahrscheinlichkeitsDICHTE
