Wahrscheinlichkeitstheorie

Question 1

Welche Rechenregeln gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie?

Answer 1

Additionstheorem für sich/ sich nicht wechselseitig ausschließende Ereignisse
Komplementärereignis
Multiplikationstheorem
bedingte Wahrscheinlichteit

Question 2

Wie ist der Begriff “Zufallsexperiment” definiert + Beispiel.

Answer 2

beliebig wiederholbarer Vorgang
folgt klarer Vorschrift
Ergebnis ist eines von mehreren möglichen Ereignissen
Ergebnis ist nicht eindeutig vorher bestimmbar
Bsp.: Münzwurf
Würfelwurf
Frage aus einem Fragebogen stellen

Question 3

Was ist ein Elementarereignis?

Answer 3

mögliche Ausgänge eines Zufallexperiments
(z. B.: Würfelwurf: {1},{2},{3},{4},{5},{6})
schließen sich wechselseitig aus = disjunkt
lassen sich nicht weiter zerlegen

Question 4

Was ist ein Ereignisraum Ω?

Answer 4

Menge aller möglichen Elementarereignisse

Bsp.: Würfelwurf {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Question 5

Wie funktioniert das Additionstheorem?

Answer 5

für sich wechselseitig ausschließende Ereignisse:
p(A ∪ B ) = p(A ) + p(B)
[∪ heißt ODER]

für sich nicht wechselseitig ausschließende Ereignisse:
p(A∪B) =p(A) +p(B) -p(A∩B)
[∩ heißt UND]

Question 6

Was ist Inferenzstatistik im Gegensatz zur deskriptiven Statistik?

Answer 6

beschäftigt sich mit der Frage, wie man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen kann
man macht Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Grundgesamtheit

Question 7

Was sind Beispiele für Vollerhebungen in Deutschland?

Answer 7

Befragung aller SoWi-Studenten an der HU
Arbeitslosenstatistik
Zensus

Question 8

Was sind komplexe/ zusammengesetzte Ereignisse?

Answer 8

Verknüpfung von Elementarereignissen durch logisches UND oder logisches ODER.
Bsp: Würfelwurf 1 und 2/ 1 oder 2

Question 9

Was ist ein unmögliches Ereignis?

Answer 9

kann nicht eintreten: leere Menge {} oder ∅

Bsp.: 3 und 4 bei einfachem Würfelwurf

Question 10

Was ist ein sicheres Ereignis?

Answer 10

tritt immer ein

Bsp.: Kopf oder Zahl bei Münzwurf

Question 11

Was sind sich wechselseitig ausschließende Ereignisse?

Answer 11

sie können nicht zusammen auftreten
Bsp bei Würfel 3 und 4 gleichzeitig rausbekommen
Elementarereignisse sind immer sich wechselseitig ausschließende Ereignisse

Question 12

Was ist eine Wahrscheinlichkeit?

Answer 12

eine reelle Zahl
wird Ausgängen eines Zufallsexperiments zugeordnet,
z. B. Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Zahl“ beim
Münzwurf  p(Zahl) = 0.5

Question 13

Welche drei Axiome der Wahrscheinlichkeit gibt es?

Answer 13

p (A) ≥ 0

p (sicheres Ergebnis) = 1

für sich wechselseitig ausschließende Ereignisse gilt:
p(A1 ODER A2 oder A3) = p(A1) + p(A2) + p(A3)

Question 14

Wie wird die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet?

Answer 14

Zahl der günstigen Ausgänge durch Zahl der möglichn Ausgänge

FORMEL

Question 15

Was ist das Komplementärereignis?

Answer 15

die Wahrscheinlichkeit, dass nicht A eintritt

FORMEL

Question 16

Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Answer 16

Berechnung der
Wahrscheinlichkeit im reduzierten Ereignisraum
Beispiel: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A = nach 2x Würfeln ist die Summe 3 rauskommt, unter der Bedingung, dass B = beim ersten Wurf kam 1 raus
==> begrenzter Ereignisraum

p(A) unter der Bedingung, dass B schon eingetreten ist
„Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B“
Achtung auf die Zahl im Zähler

Question 17

Was ist das Multiplikationstheorem?

Answer 17

FORMEL
gilt für zwei unabhängige Ereignisse

Sind günstige disjunkte Ereignisse durch ein UND verknüpft, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert

Question 18

Was ist das Verhältnis von Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit?

Answer 18

Wahrscheinlichkeit:
bezieht sich auf ein Zufallsexperiment
nicht immer messbar/ berechenbar, aber wenn, dann a priori definiert
im Zähler steht die Anzahl der Elementarereignisse, im Nenner die Anzahl der günstigen Ereignisse

relative Häufigkeit:
bezieht sich auf Serie von Zufallsexperimenten
erst a posteriori berechenbar; a priori nicht eindeutig
im Zähler steht die Anzahl der Experimente
im Nenner steht die Anzahl der günstigen Ausgänge

Question 19

Was besagt das Bernoulli-Theorem?

Answer 19

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses A (f(A)/n) von der theoretischen Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses p(A) um einen beliebig kleinen Betrag (e) unterscheidet, geht gegen 0, wenn das Zufallsexperiment sehr oft wiederholt wird (n gegen unendlich)

Anwendung: Schätzung unbekannter Wahrscheinlichkeiten über Stichprobe = Serie von Zufallsexperimenten

Question 20

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen für diskrete Variablen gibt es?

Answer 20

Binomialverteilung: nur 2 Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten können gleich oder ungleich sein

Hypergeometrische Verteilung: 2 Ereignisse, sich wechselnde Wahrscheinlichkeiten

Poisson-Verteilung: seltene Ereignisse

Multinomiale Verteilung: mehr als zwei Ereignisse

Question 21

Was ist der Bernoulli-Prozess?

Answer 21

Serie von Zufallsexperimenten, bei denen es nur zwei Ereignisse gibt: das Ergebnis tritt ein oder nicht (=Bernoulli-Experiment)
Je öfter man das Zufallsexperiment durchführt, desto präziser wird die relative Wahrscheinlichkeit

Question 22

Was ist eine Binomialverteilung?

Answer 22

Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete=kategoriale Variablen.
beschreibt Anzahl der Erfolge in Bernoulli-Prozessen
FORMEL

Question 23

Wie berechnet man die Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung?

Answer 23

Man summiert die Ergebnisse der Binomialverteilung bis zum gewünschten Wert auf.

Question 24

Wie sehen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei kontinuierlichen Variablen aus?

Answer 24

Wahrscheinlichkeit für 1 Elementarereignis –> 0

deshalb WahrscheinlichkeitsDICHTE

Question 25

Welche Wahrscheinlichkeitsfunktionen für kontinuierliche Variablen gibt es?

Answer 25

Normalverteilung
t-Verteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
F-Verteilung

Question 26

Was ist zur Normalverteilung zu sagen?

Answer 26

symmetrisch
es gibt unendlich viele Varianten, diese unterscheiden sich aber nur durch den Mittelwert
Symbol: N

Question 27

Wie ist die Standardnormalverteilung definiert?

Answer 27

Mittelwert my= 0
Standardabweichung und Varianz = 1
jede Normalverteilung kann durch z-Transformation in Standardnormalverteilung transformiert werden

Question 28

Verteilungsfunktion für kontinuierliche Variablen?

Answer 28

Fläche der Kurve unter der Dichtefunktion

Question 29

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ausprägungsbereichs bei kontinuierlichen normalverteilten Variablen?
Bsp: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Person zwischen 1,7m und 1,8m groß ist?

Answer 29

z-Transformation der beiden Werte
dann Werte in z-Tabelle nachschauen
Differenz bilden
–> das ist die Wahrscheinlichkeit

Question 30

Was sind die kritischen Werte der z-Verteilung? Standardnormalverteilung

Answer 30

zwischen my +- 1 sigma liegen ca. 66% aller Beobachtungen
zwischen my +- 1.96 sigma liegen 95% aller Beobachtungen
zwischen my +- 2.58 sigma liegen 99% aller Beobachtungen

Question 31

Was ist die z-Transformation und wie funktioniert sie?

Answer 31

sie transformiert eine Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung (bzw. einen einzelnen Wert). man braucht den Wert, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der Verteilung
FORMEL

Question 32

Warum sind die Normalverteilung und die z-Transformation wichtig für die Statistik?

Answer 32

Die Integrale der z-Verteilung/Standardnormalverteilung sind bekannt.
Man kann also einfach für jedes normalverteilte Merkmal berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig gezogene Untersuchungseinheit in ein bestimmtes Intervall des Wertebereichs fällt.