Voorexamen Flashcards
Definitie:
Een richtingsvector
Een richtingsvector van een rechte r is een willekeurige, van de nulvector
verschillende, puntvector ữ van de rechte ro//r door O
4 Eigenschappen:
Een richtingsvector
Een rechte heeft oneindig veel richtingsvectoren. Deze zijn onderling evenredig.
De nulvector is geen richtingsvector.
De richtingsvectoren van evenwijdige rechten zijn gelijk of evenredig.
Richtingsvector van een rechte r bepaald door twee punten A en B?
Vectoriële vergelijking van een rechte r door punt P met richtingsvector u.
p = Pi + k*U met k ER
Vectoriële vergelijking van een rechte r door de oorsprong.
P=k*U met k ER
Vectoriële vergelijking van een rechte r door punt P met 2 gegeven punten P1 en P₂.
P = P1+k.(P2 - P1) met k ER
Кoppel richtingsgetallen van een recht
Definitie:
De coördinaat (a,b) van een richtingsvector u van een rechte r, noemt men een koppel richtingsgetallen van deze rechte.
4 Кoppel richtingsgetallen van een rechte
Eigenschappen
Eigenschappen:
Een rechte heeft oneindig veel evenredige richtingsvectoren en dus zijn er voor
die rechte ook oneindig veel koppels richtingsgetallen. Deze zijn onderling evenredig. Vb. (1,-2) of (2,-4) of (-2,4) of ….
De koppels richtingsgetallen van evenwijdige rechten zijn gelijk of evenredig.
(0,0) is geen koppel richtingsgetallen.
Rechte gegeven door 2 punten A(x1,y1) en B(x2,y2)
Richtingsvector B - A
Stel richtingsgetallen co (B – Ã) = (x2 - X1,У2 - у₁)
Parametervoorstelling van een rechte door een punt en een gegeven stel richtingsgetallen.
(x,y) = (x1 +ka, y1 +kb)
x = x1 +k.a
y = y₁ + k.b
Parametervoorstelling van een rechte r door 2 punten A(x1,y₁)en B(x2, У2)
x = x₁ + k. (x2-x₁)
y = y₁ + k. (y2-y₁)
Definitie:
De richtingscoëfficiënt van een rechte
b/a
2e richtingsgetal/ 1e richtingsgetal
Eigenschappen: Richtingscoëfficiënt van een rechte
Een rechte heeft één rico.
Stel r//x- as.
dan koppel richtingsgetallen =(1,0)
richtingscoefficient m=b/a=0/1=0
Stel r//y- as.
dan koppel richtingsgetallen =(0,1)
richtingscoefficient m=b/a=1/0=x
Stel richtingscoëfficiënt = m
koppel richtingsgetallen = (1,m)
Evenwijdige rechten hebben gelijke of evenredige richtingscoëfficiënten.
Beschouw een rechte a door A(x1,y₁) en B(x2,y2).
dan koppel richtingsgetallen = (X2-X1, Y2-Y1)
richtingscoëfficiient = m=b/a=Y2-Y1/X2-X1
Goniometrische betekenis van de richtingscoëfficiënt
Richtingscoeficiënt van een rechte = tangens van de hellingshoek alpha van de rechte.
Cartesische vergelijking van een rechte r door P₁(x1,y₁) met rico m:
y-y₁ = m(x-x₁)
cartesische vergelijking van een rechte r door het punt P(x1,y1) en met richtingsgetallen (a,b):
y-y 1= b/a(xーx1)
cartesische vergelijking van een rechte r door 2 punten A(x1,Y1)en B(x2,Y2)
y-y = y2-y1/x2-x1 * (x-x₁)
Algemene vorm cartesische vergelijking van een rechte:
u x + v y + w = 0 met (u,v) ≠ (0,0)
(niet samen o)
norm van AB=
IIABII = lengte van het lijnstuk [AB]=IABI
norm van A=
=IIAII=IIOAII
IIE1II
1
Definitie van het inproduct van puntvectoren
VA,B E П : A*B = IIAII * IIBII *cos alpha E IR met a =hoek (A,B) en A.O=O.A=0
Eigenschappen
Het inproduct van puntvectoren
Commutativiteit: A.B= B.A
Inkwadraat: A² = AA= IIAIIIIAII1 = IIAII² dus A²=IIAII²
IIAII=√A²
Loodrechte stand: A loodrecht op B <=> A.B = 0
Evenwijdige vectoren:
A//B zelfde zin → AB=IIAIIIIBII1=IIAIIIIBII
A//B tegengestelde zin → AB=IIAIIIIBII-1=-IIAIIIIBII
Distributiviteit: A(B+C)=AB+AC
Bilineariteit: A(rB+sC)=rAB+sA*C
Orthonormale basis in_IR, Π,+
Definitie
IIE1II = IIE2II = 1
E1 loodrecht op E2
met inproduct wordt dit
IIE1II²=E1²=1=E2²
E1*E2=0
Analytische uitdrukking inproduct:
A*B = x1x2+y1y2
Norm van A(x1,y1)
IIAII²=A²=A*A=x1²+y1²
IIAII=√A²=√x1²+y1²
