vettori, matrici e sistemi Flashcards
vettori in Rn
Rn è l’insieme delle n-uple ordinate di numeri reali, un elemento v appartenente a Rn si chiama vettore colonna.
Può essere interpretato in 3 modi:
1) n-upla ordinata di numeri
2) punto dello spazio n-dimensionale
3) segmento orientato
Le operazioni che si possono svolgere con i vettori in Rn sono: somma e prodotto per uno scalare
proprietà delle operazioni in Rn
1) associativa per la somma
2) commutativa per la somma
3) elemento neutro per la somma
4) elemento opposto
5) associativa per il prodotto
6) elemento neutro per il prodotto
7) distributiva 1
8) distributiva 2
combinazione lineare
dati v1, v2,…,vm appartenenti a Rn è
c1v1+c2v2+…+cmvm con c1,…,cm appartenenti a R
equazione lineare
equazione del tipo:
a1x1+a2x2+…+anxn=b con a1,…,an, detti coefficienti , b detto termine noto fissati e appartenenti a R
discutere al variare del numero di variabili l’insieme delle soluzioni di un’eq. lineare
n=1
-se a1 diverso da 0 = 1 soluz
-se a1=0 e b diverso da 0= 0 soluz
-se a1=0 e b=0 = inf soluz
n=2
-a1 diverso da 0 = inf soluz
-a1=0, a2 diverso da 0= inf soluz
-a1=a2=0, b diverso da 0= 0 soluz
-a1=a2=b=0 = inf soluz
n>=2
-ai diverso da 0= inf soluz
-a1=…=an=b=0 = inf soluz
-a1=…=an, bdiverso da 0= 0 soluz
matrice
è una tabella rettangolare di dimensioni mxn con m righe ed n colonne
casi speciali:
mx1= vettore colonna
1xn= vettore riga
sistemi equivalenti
due sistemi che hanno lo stesso insieme delle soluzioni
mosse di Gauss o “operazioni elementari sulle righe”
trasformano un sistema lineare in un altro ad esso equivalente
1) scambiare le equazioni (o le righe)
2) moltiplicare un’equazione per uno scalare diverso da 0 (o una riga)
3) sommare ad un’equazione (o riga) il multiplo di un’altra
matrice a scala
una matrice in cui ogni riga non nulla inizia con più zeri della riga precendente e le righe nulle sono più in basso di quelle non nulle.
E’ possibile, attraverso le mosse di Gauss, ridurre qualsiasi matrice ad una matrice a scala
pivot
il primo elemento non nullo di ogni riga di una matrice a scala
algoritmo di Gauss-Jordan
data una qualsiasi matrice A è possibile usare le mosse di Gauss per ottenere una matrice A’:
-A’ è a scala
-tutti i pivot di A’ sono=1
-ogni pivot è l’unico elemento non nullo della propria colonna
TEOREMA numero di soluzione di un sistema lineare a scala
dato un sistema lineare a scala (n=#variabili, r=#pivot)
il sistema ha soluzioni se e solo se non ci sono eq del tipo 0=1 (non ci sono pivot nella colonna dei termini noti), in questo caso l’insieme delle soluzioni dipenderà da n-r parametri, in particolare se n=r il sistema avrà un’unica soluzione
algebra delle matrici e proprietà
1) somma
ha le 8 proprietà di Rn
2) prodotto per scalare
ha le 8 proprietà di Rn
3)trasposta di una matrice
A,B= mat(nxm)
(At)t=A
(A+B)t=At+Bt
(cA)t=cAt
4)prodotto tra matrici
A,B,C moltiplicabili
(AB)C=A(BC)
d(AB)=(dA)B
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
NON VALE SEMPRE LA PROPRIETA COMMUTATIVA
rango
rk(A)=#pivot/(righe non nulle di una matrice a scala di A)
è preservato dalle mosse di Gauss
TEOREMA ROUCHE-CAPELLI
da dimostrare
