spazi vettoriali Flashcards
spazio vettoriale
E’ un insieme V dotato di 2 operazioni
1) SOMMA
-associativa
-commutativa
-elemento neutro
-elemento opposto
2)PRODOTTO PER UNO SCLARE
-associativa
-elemento neutro
-distributiva 1 e 2
gli elementi v di V sono detti vettori
sottospazio vettoriale
dato uno spazio vettoriale V, un sottospazio vettoriale di V è un sottoinsieme W contenuto in V che preserva le sue (di V) operazioni.
equivalentemente:
1) 0 appartiene a W
2) W è chiuso rispetto alla somma
3) W è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare
span lineare
dati v1,…,vn appartenenti a V, è l’insieme di tutte le loro combinazioni lineari, lo span è un sottospazio vettoriale di V
generatori
dato un sottospazio di H di V, se H è span di V si dice che H è generato da v1,…,vn o che essi sono i generatori di H.
Uno spazio/sottospazio ammette diversi insiemi di generatori
1)vettori linearmente indipendenti
2)vettori linearmente dipendenti
1)se c1v1+…+cnvn=0 se e solo se c1=…=cn=0
2)se c1v1+…+cnvn=0 se esistono c1,…,cn non tutti nulli che soddisfano l’equazione
ridondanza dei vettori L.D
v1,…,vn appartenenti a V sono L.D se e solo se uno di essi è combinazione lineare degli altri
lemma di scarto (da dim)
dati v1,…,vn che appartengono a V vettori L.D allora uno di essi può essere scartato senza modificare il loro span
lemma di aggiunta (da dim)
supponiamo v1,…,vn che appartengono a V, L.I, ma non generatori di V allora esiste vn+1 che appartiene a V tale che v1,…,vn,vn+1 sono L.I
base
sia V uno spazio vettoriale, è un insieme di vettori tali che
1)generano V
2)sono L.I
esistenza di una base
Sia V uno spazio vettoriale generato da v1,..vn che appartengono a V, esiste un sottoinsieme di v1,…,vn che è una base di V
lemma di Steinitz (da dim)
sia V=span(v1,…,vm) uno spazio vettoriale e siano w1,…,wn appartenenti a V, se n>m allora w1,…,wn sono L.D
dimensione
il numero di elementi di tutte le basi di V
formula di Grassmann
dim(H1+H2)=dim H1+dim H2-dim (H1 intersecato H2)
sottospazio affini
un sottospazio S di V si dice sottospazio affine se esiste un sottospazio vettoriale H contenuto in V e un vettore v0 che appartiene ad S:
S= v0+H := {v0+w con w appartenente a H}contenuto in V
è una traslazione di un sottospazio vettoriale.
giacitura
se v1+H1 = v2+H2 per qualche v appartenente a V e H1, H2 contenuti in V allora H1=H2
cioè il sottospazio vettoriale H è unicamente determinato da S.
H si chiama giacitura di S.
La giacitura è ottenuta traslando S in modo tale che passi per l’origine.
