Vectores Flashcards
Afijo
Punto del plano P (a, b) en el que termina un vector.
Espacio vectorial
V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K si:
- V tiene definida una operación interna que denotamos por +, respecto a la cual (V,+) es un grupo abeliano.
- V tiene definida una operación externa sobre K, que denotamos por un punto · , para la cual se cumple la propiedad distributiva respecto la suma de V, distributiva respecto la suma de K, asociativa respecto al producto de K y 1k es el elemento neutro del producto.
Subespacio vectorial
Un subconjunto no vacío E de un espacio vectorial V sobre R es un subespecie vectorial de V si a su vez E es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto por un escalar inducidas por las operaciones de V.
Caracterización de subespacio vectorial
Un subconjunto E de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial si y solo si para todo a, b € E y todo λ, μ € R se cumple que λa + μb € E
Combinación lineal
Sea una familia de vectores S = {v1, v2, …, vp} de V se llama combinación lineal de v1, v2, …, vp a todo vector u € V tal que existen escalares λ1, λ2, …, λ3 de modo que se cumple u = λ1v1 + λ2v2 + … + λpvp.
Sistema de generadores
Una familia S de vectores V se denomina sistema de generadores de un subespacio E si cada vector de E se puede expresar como combinación lineal de un número finito de vectores de S.
Base
Se dice que un sistema de generadores S de un espacio vectorial V es una base de V si S es minimal, esto es, al eliminar un elemento de S el conjunto resultante no genera V
Independencia lineal
Una familia S de vectores de V es linealmente independiente (o libre, no ligada) si para cualquier subconjunto finito {v1, v2, …, vp} de S se cumple:
λ1v1 + λ2v2 + … + λpvp=0 => λ1 = λ2 = … = λp = 0
Rango del sistema S
número máximo de vectores linealmente independientes que posee
Caracterización de las bases
Un subconjunto de vectores B de V es una base de V si y solo si B es un sistema de generadores de V linealmente independiente.
Espacio finito
Un espacio vectorial es finito si posee un sistema de generadores formado por un número finito de vectores o equivalentemente si posee una base finita.
Teorema de la base
Si A y B son dos bases cualesquiera de un espacio vectorial finito V, entonces el número de vectores de A es igual al número de vectores de B. A este número se le denomina dimensión del espacio.
*Cualquier recta del plano que pasa por el origen es un subespacio vectorial de R2
Si la recta no pasa por el origen, por ejemplo x + y = 1, el conjunto de pares (x, y) que la cumplen no puede ser un subespacio ya que (0,0) (neutro de la suma) no pertenece a la recta.
Dado un sistema de vectores S, cómo se designa al subespacio generado por S
G[S]
Dimensión de un espacio vectorial
Número de vectores que forma la base del espacio vectorial
