Unidad 4

Question 1

Ley de composicion Interna (LCI)

Answer 1

Operación que da lugar a ciertas estructuras Algebraicas, toma dos elementos de un conjunto y los combina para producir otro elemento del mismo conjunto.

AxA->A dada por f(a,b)=c siendo (a,b,c) ∈ A

Question 2

Grupo

Answer 2

Todo par Ordenado de la forma (G,⊕) donde G es distinto de vacio y ⊕ es una ley de composición interna definida en G que cumpla con las condiciones de grupo:

-Ser asociativa:
∀x,y,z ∈ G (x⊕y)⊕z = x⊕(y⊕z)

-Existencia del elemento neutro para LCI
∀x ∈ G ∃ e ∈ G ÚNICO tal que x⊕e = e⊕x = x

neutro aritmética:1
neutro multiplicación y división:0

-Existencia del opuesto/Inverso
∀x ∈ A ∃ x ∈ A tal que x⊕x = e

inverso aritmética: -x +x
inverso multiplicación y división: x^-1

SI el grupo también cumple con ser conmutativo, se dice que es un grupo abeliano

conmutativo:
∀x,y ∈ G x⊕y=y⊕x

Question 3

Propiedades grupo

Answer 3

sea (G,*) un grupo se cumple:

1: (x^-1)^-1 = x ∀x ∈ G

2: (x * y)^-1 = x^-1 * y^-1

3: e^-1 = e

Question 4

Subgrupo

Answer 4

Sea (G,*) un grupo y H⊆G, se dice que H es un subgrupo de G si cumple con las propiedades:

-LCI
-Ser asociativa:
∀x,y,z ∈ G (x⊕y)⊕z = x⊕(y⊕z)

-Existencia del elemento neutro para LCI
∀x ∈ G ∃ e ∈ G ÚNICO tal que x⊕e = e⊕x = x

neutro aritmética:1
neutro multiplicación y división:0

-Existencia del opuesto/Inverso
∀x ∈ A ∃ x ∈ A tal que x⊕x = e

inverso aritmética: -x +x
inverso multiplicación y división: x^-1

es decir si cumple con la estructura de Grupo

g

Question 5

Propiedades Subgrupos

Answer 5

sea (H,*) un subgrupo, se cumple que:

1- {e} es un subgrupo del grupo (G,*)
2- G ⊆ es subgrupo de G

Question 6

Demostración condición suficiente subgrupo

Answer 6

se debe demostrar la estructura del grupo:
-LCI
-Ser asociativa:
∀x,y,z ∈ G (x⊕y)⊕z = x⊕(y⊕z)

-Existencia del elemento neutro para LCI
∀x ∈ G ∃ e ∈ G ÚNICO tal que x⊕e = e⊕x = x

neutro aritmética:1
neutro multiplicación y división:0

-Existencia del opuesto/Inverso
∀x ∈ A ∃ x ∈ A tal que x⊕x = e

Question 7

Demostración condición Necesaria subgrupo

Answer 7

Sabemos que (H,*) es un subgrupo de G por lo tanto:

-H es distinto de vacio

• como H es subgrupo para todo x,y ∈ H, se cumple que
  x^-1, y^-1 ∈ H, siendo * LCI por lo tanto x⁻1 * y⁻1 ∈ H

Question 8

Homomorfismo

Answer 8

sea (G,⊕) y (G´,⊕) grupos:

f:(G,⊕) -> (G´,⊕) se dice que es un homomorfismo entre grupos si se cumple que:

f (x⊕y) = f (x)⊕ f (y) ∀x,y ∈ G

Question 9

Propiedades Homomorfismo

Answer 9

1: f (e) = e´
Donde e es elemento neutro de G y e’ el elemento neutro de G´

2:f (x´) = f (x)

Question 10

Núcleo

Answer 10

sea F: (G,⊕)->(G´,⊕) un homomorfismo, se define nucleo de homomorfismo como:

N (f) ={ x ∈ G / f (x) = e´ }

se define como nucleo de F

Question 11

probar que N (f) es subgrupo de (G,⊕)

Answer 11

1: N (f) ⊂ G, se cumple por definición
2: N (f) es dintinto de vacio ya que e ∈ N(f)
3: ∀x,y ∈ N (f) -> x ⊕ y^-1 ∈ N(f)

Question 12

Imagen

Answer 12

sea F: (G,⊕)->(G´,⊕) un homomorfismo, se define imagen de homomorfismo como:

Img (f) ={ y ∈ G´/ ∃ x ∈ G que hace que f (x) = y }

se llama imagen de f

Question 13

probar que Img (f) es subgrupo de (G,⊕)

Answer 13

1: Img (f) ⊂ G´
2: Img (f) distinto de vacio
3: f (x) ∈ img (f) ^ f (y) ∈ img (f) -> f (x) ⊕ f (y)^-1∈ Img (f)