TEORIJA #3

Question 1

Definirajte skalarni umnožak dva vektora iz prostora Rn
Navedite svojstva skalarnog umnoška

Answer 1

Skalarni umnožak (produkt) vektora X, Y€ Rn definira se na sljedeći način… BILJEŽNICA
Svojstva skalarnog umnoška (BILJEŽNICA)
1) simetricnost skalarnog umnoška
2) distributivnost
3) poluasocijativnost
4) pozitivna definitnost
Svojstva su posljedica zakona komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti

Question 2

Definirajte pojam euklidskog prostora Rn

Answer 2

Prostor Rn s definiranim skalarni umnoskom se naziva Euklidski prostor

Question 3

Međusobno okomiti

Answer 3

Ne-nul vektori X€Rn i Y€Rn su međusobno okomiti ako je X’Y=0

Question 4

Definirajte pojam linearne kombinacije vektora

Answer 4

BILJEZNICA

Question 5

Kad kažemo da su vektori linearno zavisni, a kad su linearno nezavisni?

Answer 5

Skup vektora (X1,X2…Xk) je linearno ZAVISNI ako postoji k skalarna c1,c2,…ck koji nisu svi jednaki nuli takvih da je
c1X1+c2X2…+ckXk=0 , ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija koja iščezava (=0)

Ako ova relacija vrijedi samo u slučaju c1=c2=…=ck=0, vektori X1,X2,…Xk su linearno nezavisni , ako njihova linearna kombinacija iščezava jedino na trivijalan način

Question 6

Dokažite teorem

Answer 6

BILJEZNICA

Question 7

Dokažite teorem

Answer 7

BILJEZNICA

Question 8

Dokažite teorem

Answer 8

BILJEZNICA

Question 9

Definirajte pojam dimR. Koliko iznosi dimenzija prostora Rn? Možemo li u prostoru Rn imati vise od n linearno nezavisnih faktora?

Answer 9

Dimenzija prostora Rn je n to jest dimRn=n
U prostoru Rn je maksimalno n linearno nezavisnih vektora
Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora vektorskom prostora Rn nazivamo dimenzija vektorskog prostora, oznaka dimRn
Svaka baza prostora Rn sastoji se točno od n linearno nezavisnih vektora

Question 10

Definirajte pojam rang matrice.
Koje vrijednosti rang može poprimiti?
Za koju matricu je rang jednak nuli?

Answer 10

Rang matrice je A€Mmn oznaka r(A) , jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora-stupaca (odnosno vektora-redaka) matrice A
Rang matrice može biti ili prirodan broj ili 0
Nul-matrica 0 (bez obzira kojeg je formata) ima rang 0

Question 11

Navedite sve elementarne operacije nad retcima (stupcima) matrice 3

Answer 11

1. Množenje nekog retka (stupca) matrice A skalarom različitim od 0
2. Dodavanje nekog retka (stupca) matrice A, pomnoženo skalarna nekom drugom retku (stupcu) te matrice
3. Zamjena mjesta dvaju retka (stupca) matrice A

Question 12

Sto je ekvivalentnost dviju matrica

Answer 12

Matrice A€ Mmn i B€Mmn su ekvivalentne i pišemo A~B ako postoji konačan niz matrice iz MmnA= A1,A2, A3…Ak=B tako da se matrica Ai dobiva iz matrice Ai-1, i € {2,3,…k}, jednom od elementarnih transformacija (r1)-(r3)
Imaju jednak rang
Koristeći se elementarnim transformacijama treba doći do matrice B čiji rang možemo neposredno pročitati, a koja je ekvivalentna s polaznom matricom A

Question 13

13 pitanje

Answer 13

Proučit

Question 14

Egzistencija rješenja linearnih sustava

Answer 14

-regularan homogen Linearni sustav
-regularan nehomogen linearni sustav
-singularan homogen linearni sustav
-singularan nehomogen linearni sustav

Question 15

regularan nehomogen Linearni sustav

Answer 15

Ako je A regularna matrica, a vektor B različit od 0
Budući da je A regularna matrica postoji inverz A-1
X=A-1B
Rješenje sustava je kao i inverz jedinstveno

Question 16

Regularan homogen linearni sustav

Answer 16

Ako A regularna matrica, a vektor B je nul-vektor
Budući da je A regularna matrica, postoji inverz A-1 pa je sustav rješenja
X=A-10=0
Ima samo jedno trivijalno rješenje, nuzno je da je X1=0, x2=0,……,Xn=0

Question 17

Singularni nehomogen linearni sustav

Answer 17

Ako je matrica A singularna, a vektor B različit od 0
Budući da je A singularna matrica, ne postoji inverz A-1, pa u ovom slučaju ne možemo čak ni rješenje zapisati u matricnom obliku

Question 18

Singularni homogen linearni sustav

Answer 18

Ako je matrica A singularna, a vektor B=0
Analogno možemo utvrditi da je nul-vektor sigurno rješenje ovog sustava, ali ne i jedimo

Question 19

Proširena matrica sustava

Answer 19

Matrica koja ima n+1 stupac, pri čemu je prvih n te matrice identično odgovarajućim stupcima matrice A, a n+1 stupac je identičan vektori B

Question 20

Kronecker-Capellijev teorem

Answer 20

BILJEZNICA