TEORIJA #1

Question 1

Pojam matrice?

Answer 1

Matrica formata (reda) (m,n) ili m x n je pravokutna shema elemenata aij koji su poredani u m redaka i n stupaca

Question 2

Format matrice? Kako označavamo skup svih matrica formata m x n?

Answer 2

Format matrice pokazuje koliko matrica ima elemenata (m x n) i na koji način su ti elementi poredani ( u m redaka i n stupaca)
Skup svih matrica označavamo s M

Question 3

Śto znači indeks elementa a59?

Answer 3

Broj redaka različit od broja stupca su pravokutne matrice. Ako je m=n, matrica A je kvadratna. Matrica A je reda n ili n-tog reda.

Question 4

Matrica VEKTOR redak i matrica VEKTOR stupac?

Answer 4

STUPAC- ima jedan stupac, mj
Redak- ima jedan redak

Question 5

Dijagonalna
Skalarna
Jedinična
Nul-matrica

Answer 5

Dijagonalna- kvadratna matrica na kojoj je aij= 0 čim je i=/j tj. Kod. Nje su svi nedijagonalni elementi jednaki 0
Skalarna- svi elementi na glavnoj dijagonali su jednaki, a svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki su 0
Jedinična- skalarna matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali, a izvan su 0 ( 1 za i=j i 0 za i/=j)
Nul matrica- matrica koja ima sve elemente jednake 0, svaka kvadratna nul-matrica je skalarna

Question 6

Gornjetrokutasta matrica
Donjetrokutasta matrica

Answer 6

• gornjetrokutasta- kvadratna matrica za koju vrijedi aij=0 ako je i> j, ispod glavne dijagonale su 0, a iznad su elementi
  Donjetrokutasta- kvadratna matrica za koju vrijedi aij=0 ako je j>i, iznad glavne dijagonale su 0, a ispod elementi
  Jedinična matrica je i gornje i donje trokutasta

Question 7

Simetrična matrica
Antisimetrična matrica

Answer 7

Simetrična je kvadratna matrica kod koje su elementi simetrično raspoređeni s obzirom na glavnu dijagonalu jednaki, dakle aij=aij za sve uređene parove indeksa (i,j)
Antisimetrična (kososimetrična) je kvadratna matrica za koju vrijedi aij=-aij za sve (i,j)

Question 8

Dokažite da antisimetrična matrica na glavnoj dijagonali ima sve elemente jednake nuli.

Answer 8

BILJEŽNICA

Question 9

Definirajte trag matrice i navedite formulu

Answer 9

Trag kvadratne matrice A reda n jednak ne zbroju svih dijagonalnih elemenata matrice tj. Trag kvadratne matrice A n-tog reda je funkcija Tr: Mn—-> R što se definira na skup svih kvadratnih matrica Mn na način (BILJEŽNICA)

Question 10

Kad kažemo da su dvije matrice jednake?

Answer 10

1- ako su istog formata ( obje iz skupa Mmn)
2- ako su im svi korespondentni elementi jednaki ( tj. Aij=Bij za sve uređene parove indeksa (i,j) )

Question 11

Definirajte uređaj u skupu Mmn? ….

Answer 11

BILJEŽNICA

Question 12

Definirajte zbroj dviju matrica

Answer 12

Za proizvoljne matrice A,B € Mmn definira se zbroj tih dviju matrica, oznaka A+B kao matrica čiji elementi predstavaljaju zbroj korespondentnih elemenata matrica A i B
A+B= [aij+ bij]

Question 13

Dokažite zakone komutativnost i asocijativnosti u zbrajanju matrica

Answer 13

BILJEŽNICA

Question 14

Definirajte skalarna umnožak vektor-redak i vektor-stupca

Answer 14

A=[ai]€M1n i vektor stupac B=[bi]€Mn1
Vektor-redak i vektor-stupac koji imaju jednak broj korespondentnih elemenata množe se tako da im se pomnože korespondentne komponente, a dobiveni umnošci onda se zbroje

Question 15

Definirajte oduzimanje dviju matrica?

Answer 15

Za proizvoljne matrice A,B€Mmn definira se njihova razlika kao matrica
A-B=A+(-B), mogu se oduzeti samo ako su istog formata , rezultat je C=[cij]€Mmn pri čemu je cij=aij-bij

Question 16

Definirajte umnožak dviju matrica

Answer 16

BILJEŽNICA FORMULA
Umnožak A i B definiran je samo ako prvi faktor ima upravo onoliko stupaca koliko drugi faktor ima redaka, tj. ako su kod formata unutarnji indeksi jednaki. Kažemo da su ulančano.
Vanjski indeksi daju format umnoška ABBto jest matrica AB je matrica formata (m,n) odonosno AB€Mmn

Question 17

Je li množenje matrica komutativno?

Answer 17

Matrice A i B množenje su definirane kao AB i BA. Međutim očito u ovom slučaju nije AB=BA. To znaci da ovaj primjer (riješit dvije matrice pomnozene tako da dokažeš) predstavlja dokaz da za množenje ne vrijedi komutativnost

Question 18

Navedite svojstva operacije množenja matrica

Answer 18

1. Asocijativnost množenja (AB)C= A(BC)
2. Distributivnost s lijeva A(B+C)= AB+AC
   Distributivnost s desna (A+B)C= AC+BC
3. Alfa(AB)= (AlfaA)B
4. A(alfaB)= alfa(AB)

Question 19

Definirajte operaciju transponiranja matrice

Answer 19

Transponiranje matrice matrice A=[aij]€Mmn je matrica koju označavamo s A’ a dobije se iz matrice A tako da i-ti redak postaje j-ti stupac, j-ti stupac postaje i-ti redak
Dakle za matricu A=[aij]€Mmn definira se matrica A’=[aij] €Mmn koju zovemo transponiranom matricom (transponantom) matrice A

Question 20

Navedite tri osnovna svojstva transponiranja matrice

Answer 20

1. (A+B)’= A’ + B’
2. (A’)’= A
3. (AB)’= B’A’

Question 21

Navedite karakterizacije simetrične i antisimetrična matrice pomoću transponanta

Answer 21

Simetrične —> matrica A€Mm je simetrična ako imamo ako je A’=A
Antisimetrična —> matrica A€Mm je antisimetrična ako i samo ako je A’=-A

Question 22

Definirajte n-tu potenciju matrice A (n€R)

Answer 22

Izračunava se rekurzivnom relacijom
A^n= A^n-1 x A, n€N

Question 23

Navedite tri osnovna svojstva potenciranja matrice

Answer 23

BILJEŽNICA

Question 24

Pojam inverzne matrice?

Answer 24

Inverzna matrica matrice A, oznaka A-1, je matrica koja zadovoljava relaciju:
AA-1= A-1A=1
Moraju biti kvadratne matrice istog reda

Question 25

Regularna/singularna matrica?

Answer 25

Kvadratnu matricu A=[aij] €Mn nazivamo regularnom ako postoji njoj inverzna matrica.
Ako za matricu A ne postoji njoj inverzna nazivamo ju singularnom.
Jedinična matrica je sama sebi inverz
Nul matrica je singularna matrica sto znaci da nema inverz