TEORIJA #1 Flashcards
Pojam matrice?
Matrica formata (reda) (m,n) ili m x n je pravokutna shema elemenata aij koji su poredani u m redaka i n stupaca
Format matrice? Kako označavamo skup svih matrica formata m x n?
Format matrice pokazuje koliko matrica ima elemenata (m x n) i na koji način su ti elementi poredani ( u m redaka i n stupaca)
Skup svih matrica označavamo s M
Śto znači indeks elementa a59?
Broj redaka različit od broja stupca su pravokutne matrice. Ako je m=n, matrica A je kvadratna. Matrica A je reda n ili n-tog reda.
Matrica VEKTOR redak i matrica VEKTOR stupac?
STUPAC- ima jedan stupac, mj
Redak- ima jedan redak
Dijagonalna
Skalarna
Jedinična
Nul-matrica
Dijagonalna- kvadratna matrica na kojoj je aij= 0 čim je i=/j tj. Kod. Nje su svi nedijagonalni elementi jednaki 0
Skalarna- svi elementi na glavnoj dijagonali su jednaki, a svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki su 0
Jedinična- skalarna matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali, a izvan su 0 ( 1 za i=j i 0 za i/=j)
Nul matrica- matrica koja ima sve elemente jednake 0, svaka kvadratna nul-matrica je skalarna
Gornjetrokutasta matrica
Donjetrokutasta matrica
- gornjetrokutasta- kvadratna matrica za koju vrijedi aij=0 ako je i> j, ispod glavne dijagonale su 0, a iznad su elementi
Donjetrokutasta- kvadratna matrica za koju vrijedi aij=0 ako je j>i, iznad glavne dijagonale su 0, a ispod elementi
Jedinična matrica je i gornje i donje trokutasta
Simetrična matrica
Antisimetrična matrica
Simetrična je kvadratna matrica kod koje su elementi simetrično raspoređeni s obzirom na glavnu dijagonalu jednaki, dakle aij=aij za sve uređene parove indeksa (i,j)
Antisimetrična (kososimetrična) je kvadratna matrica za koju vrijedi aij=-aij za sve (i,j)
Dokažite da antisimetrična matrica na glavnoj dijagonali ima sve elemente jednake nuli.
BILJEŽNICA
Definirajte trag matrice i navedite formulu
Trag kvadratne matrice A reda n jednak ne zbroju svih dijagonalnih elemenata matrice tj. Trag kvadratne matrice A n-tog reda je funkcija Tr: Mn—-> R što se definira na skup svih kvadratnih matrica Mn na način (BILJEŽNICA)
Kad kažemo da su dvije matrice jednake?
1- ako su istog formata ( obje iz skupa Mmn)
2- ako su im svi korespondentni elementi jednaki ( tj. Aij=Bij za sve uređene parove indeksa (i,j) )
Definirajte uređaj u skupu Mmn? ….
BILJEŽNICA
Definirajte zbroj dviju matrica
Za proizvoljne matrice A,B € Mmn definira se zbroj tih dviju matrica, oznaka A+B kao matrica čiji elementi predstavaljaju zbroj korespondentnih elemenata matrica A i B
A+B= [aij+ bij]
Dokažite zakone komutativnost i asocijativnosti u zbrajanju matrica
BILJEŽNICA
Definirajte skalarna umnožak vektor-redak i vektor-stupca
A=[ai]€M1n i vektor stupac B=[bi]€Mn1
Vektor-redak i vektor-stupac koji imaju jednak broj korespondentnih elemenata množe se tako da im se pomnože korespondentne komponente, a dobiveni umnošci onda se zbroje
Definirajte oduzimanje dviju matrica?
Za proizvoljne matrice A,B€Mmn definira se njihova razlika kao matrica
A-B=A+(-B), mogu se oduzeti samo ako su istog formata , rezultat je C=[cij]€Mmn pri čemu je cij=aij-bij
Definirajte umnožak dviju matrica
BILJEŽNICA FORMULA
Umnožak A i B definiran je samo ako prvi faktor ima upravo onoliko stupaca koliko drugi faktor ima redaka, tj. ako su kod formata unutarnji indeksi jednaki. Kažemo da su ulančano.
Vanjski indeksi daju format umnoška ABBto jest matrica AB je matrica formata (m,n) odonosno AB€Mmn
Je li množenje matrica komutativno?
Matrice A i B množenje su definirane kao AB i BA. Međutim očito u ovom slučaju nije AB=BA. To znaci da ovaj primjer (riješit dvije matrice pomnozene tako da dokažeš) predstavlja dokaz da za množenje ne vrijedi komutativnost
Navedite svojstva operacije množenja matrica
- Asocijativnost množenja (AB)C= A(BC)
- Distributivnost s lijeva A(B+C)= AB+AC
Distributivnost s desna (A+B)C= AC+BC - Alfa(AB)= (AlfaA)B
- A(alfaB)= alfa(AB)
Definirajte operaciju transponiranja matrice
Transponiranje matrice matrice A=[aij]€Mmn je matrica koju označavamo s A’ a dobije se iz matrice A tako da i-ti redak postaje j-ti stupac, j-ti stupac postaje i-ti redak
Dakle za matricu A=[aij]€Mmn definira se matrica A’=[aij] €Mmn koju zovemo transponiranom matricom (transponantom) matrice A
Navedite tri osnovna svojstva transponiranja matrice
- (A+B)’= A’ + B’
- (A’)’= A
- (AB)’= B’A’
Navedite karakterizacije simetrične i antisimetrična matrice pomoću transponanta
Simetrične —> matrica A€Mm je simetrična ako imamo ako je A’=A
Antisimetrična —> matrica A€Mm je antisimetrična ako i samo ako je A’=-A
Definirajte n-tu potenciju matrice A (n€R)
Izračunava se rekurzivnom relacijom
A^n= A^n-1 x A, n€N
Navedite tri osnovna svojstva potenciranja matrice
BILJEŽNICA
Pojam inverzne matrice?
Inverzna matrica matrice A, oznaka A-1, je matrica koja zadovoljava relaciju:
AA-1= A-1A=1
Moraju biti kvadratne matrice istog reda
Regularna/singularna matrica?
Kvadratnu matricu A=[aij] €Mn nazivamo regularnom ako postoji njoj inverzna matrica.
Ako za matricu A ne postoji njoj inverzna nazivamo ju singularnom.
Jedinična matrica je sama sebi inverz
Nul matrica je singularna matrica sto znaci da nema inverz
