Teoria dos conjuntos Flashcards
Definição de Conjunto
A palavra “conjunto” significa exatamente o que você deve estar pensando: uma espécie de grupo, lista ou
uma coleção de determinado objeto
Relação de Pertinência
Quando um elemento faz parte de determinado conjunto, dizemos que o elemento PERTENCE ao conjunto.
Essa relação de pertinência entre um elemento e um conjunto é representada pelo símbolo ∈
- 𝑏 ∈ 𝐴 : Lemos: 𝑏 pertence a 𝐴;
- 4 ∈ 𝐵 : Lemos: 4 pertence a 𝐵;
- 15 ∈ 𝐶 : Lemos: 15 pertence a 𝐶.
Atente-se à simbologia! Podemos dizer que um elemento não pertence a um determinado conjunto. Para
isso, utilizamos o símbolo “não pertence”: ∉.
- 𝑧 ∉ 𝐴 : 𝑧 não pertence a 𝐴;
- 100 ∉ 𝐵 : 100 não pertence a 𝐵;
- 𝐵𝑒𝑙𝑡𝑟𝑎𝑛𝑜 ∉ 𝐸 : 𝐵𝑒𝑙𝑡𝑟𝑎𝑛𝑜 não pertence a E
Relação de Inclusão
⊂, ⊄, ⊃ 𝒆 ⊅
Nesse tipo de relação, é
estabelecido um relacionamento entre dois conjuntos e não mais entre um elemento e outro conjunto
{𝑎, 𝑒} ⊂ 𝐴 : Lemos: {𝑎, 𝑒} está contido em 𝐴;
{0, 2, 8} ⊂ 𝐵 : Lemos: {0, 2, 8} está contido em B
{𝑎, 𝑒} ⊄ 𝐵 : Lemos: {𝑎, 𝑒} não está contido em B
Quando
queremos expressar essa ideia de que um conjunto maior contém determinado subconjunto, utilizamos o
símbolo ⊃.
𝐴 ⊃ {𝑎, 𝑒} : 𝐴 contém {𝑎, 𝑒}
𝐵 ⊃ {0, 2, 8} : 𝐵 contém {0, 2, 8}
Analogamente, podemos estender o raciocínio para quando queremos dizer que determinado conjunto não
contém outro. Nessas situações, utilizamos ⊅.
𝐴 ⊅ {𝑎, 𝑒, 𝑓} : 𝐴 não contém {𝑎, 𝑒, 𝑓}
𝐶 ⊅ {0, 1} : 𝐶 não contém {0, 1}
Igualdade entre Conjuntos
dois conjuntos são considerados iguais (ou idênticos) se eles possuem exatamente os mesmos
elementos! Todo elemento que estiver em um deve necessariamente estar no outro
𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {3, 2,1}. Nessa situação, podemos escrever que 𝐴 = B
Subconjuntos
Conjunto
𝐴 = {𝑎, 𝑏}
Subconjuntos
∅
{𝑎}
{𝑏}
{𝑎, 𝑏}
A tabela acima lista todos os subconjuntos que podemos formar utilizando o conjunto 𝐴. Sabendo disso,
podemos escrever as seguintes relações:
∅ ⊂ 𝐴
{𝑎} ⊂ 𝐴
{𝑏} ⊂ 𝐴
{𝑎, 𝑏} ⊂ A
conjunto vazio e conjunto unitário.
O conjunto vazio, como o próprio nome
sugere, é um conjunto que não possui elementos! É representado por meio do símbolo ∅ mas também
pode aparecer como um simples par de chaves { }. Já o conjunto unitário é todo conjunto que possui um
único elemento!
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.
Seja 𝑋 um conjunto genérico, então:
∅ ⊂ 𝑿 𝑜𝑢 { } ⊂ X
os subconjuntos de um conjunto são apenas diferentes combinações de seus
elementos
Passo 1: O primeiro conjunto que você deve anotar como subconjunto é o conjunto vazio.
Passo 2: Depois, transforme em subconjunto cada elemento, um por um.
Passo 3: Em seguida, escreva os subconjuntos formado por pares de elementos.
Passo 4: Acabando os pares, pegue os trios e assim sucessivamente.
é possível estabelecer uma fórmula para
calcular o número de subconjuntos baseado na quantidade de elementos de um conjunto?
sim e a fórmula é bem simples. Seja 𝒏(𝑨) o número de elementos de um conjunto 𝑨. Então, o
número de subconjuntos de 𝑨, 𝒏𝑺𝑨
, é dado por:
𝑛𝑆𝐴 = 2^𝑛(𝐴)
𝑛𝑆𝐶 = 2𝑛(𝐶)
→ 𝑛𝑆𝐶 = 2^3
→ 𝑛𝑆𝐶 = 8
Conjunto das Partes
podemos juntar todos os subconjuntos de um conjunto para formar um novo conjunto
Esse novo conjunto formado é denominado conjunto das partes e é representado pelo símbolo ℘. Por
exemplo, os conjuntos das partes de 𝐴 = {𝑎, 𝑏} e de 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} são:
Observe que ℘(𝐴) e ℘(𝐵) são conjuntos formados por outros conjuntos! Note ainda que a sua quantidade
de elementos é exatamente a quantidade de subconjuntos calculada pela fórmula 𝒏𝑺𝑨 = 𝟐^𝒏(a)
Representação por Diagramas
União
A união de conjuntos é representada pelo
símbolo ∪ e, basicamente, funde dois conjuntos em um só.
temos que 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} e 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Quando fazemos a união de 𝐴 e 𝐵, criamos um
conjunto que possui todos os elementos dos dois conjuntos, 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝒂, 𝒃, 𝒄}
Intersecção
A operação que seleciona os elementos comuns entre dois ou mais conjuntos é denominada intersecção e
é representada por ∩.
Temos que 𝑋 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} e 𝑍 = {𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸}. São dois conjuntos distintos, mas que possuem alguns
elementos em comum. Os elementos 𝐵, 𝐶 𝑒 𝐷 aparecem nos 2 conjuntos e formam o conjunto intersecção:
𝑿 ∩ 𝒁 = {𝑩, 𝑪, 𝑫}
Caso os conjuntos não possuam elementos em comum, isto é, não haja intersecção entre os dois, nós
vamos chamá-los de disjuntos e os representaremos utilizando círculos afastados um do outro.
Diferença
Essa operação é a diferença ou, como
também é conhecida, a subtração de conjuntos! O conjunto diferença é representado por 𝑨 − 𝑩 e é
formado por todos os elementos de A que não são elementos de B! Por exemplo, considere os conjuntos:
Observe que 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 𝐵 = {1, 3, 5}. Para encontrar 𝐴 − 𝐵, devemos selecionar os elementos
de 𝑨 que não são elementos de 𝑩! Ou seja, aqueles elementos que são apenas elementos de A
𝐴 e 𝐵 possuem em comum os seguintes elementos: 𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3, 5}. Logo, se 𝐴 = {𝟏, 2, 𝟑, 4, 𝟓, 6},
então o 𝐴 − 𝐵 = {2, 4, 6}
Um detalhe importante é que se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos disjuntos, então 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 𝒆 𝑩 − 𝑨 = 𝑩.
Complementar
𝑿̅ = 𝑿^𝑪 = 𝑼 − X
Veja que utilizando a definição acima, temos que o conjunto complementar 𝑋
𝐶 é formado por tudo que está
no conjunto universo, mas não está em X
Princípio da Inclusão-Exclusão
dois conjuntos 𝑨 e 𝑩 com elementos em comum. Se 𝑛(𝐴) é o número de elementos de 𝐴 e 𝑛(𝐵) é
o número de elementos de 𝐵, quanto vale 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) ?
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝐴 = {1, 2, 3} ⟹ 𝑛(𝐴) = 3
* 𝐵 = {3, 4, 5} ⟹ 𝑛(𝐵) = 3
* 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5} ⟹ 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 5
* 𝐴 ∩ 𝐵 = {3} ⟹ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 1
Já para conjuntos
disjuntos temos que:
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩)
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎.
n(A U B U C) = n(A)+ n(B) +n(C) -n(A ∩ B) - n(A ∩ C) -n(B ∩ C) +n (A ∩ B ∩ C)
