Teoria delle Categorie Flashcards
La Filosofia Formale utilizza la Teoria degli insiemi.
Vero o Falso?
Falso.
Utilizza invece la Teoria Algebrica delle Categorie basata sull’algebra delle relazioni.
In TC gli oggetti sono morfismi?
Sì, un particolare tipo di morfismo, quello riflessivo.
A cosa corrisponde, aristotelicamente, il morfismo riflessivo che troviamo nella TC?
All’“inseità della sostanza”.
Perché la TC si può definire una teoria antepredicativa?
Perché non attribuisce aprioristicamente un genere o una specie (una classe) di appartenenza agli enti, ma ne fa derivare le proprietà e l’essenza dalle relazioni che essi hanno con altri enti.
Quali assiomi regolano composizioni e identità fra morfismi?
Due: la Legge Associativa e la Legge di Identità.
In TC quale tra questi morfismi deve essere utilizzato, se si vuole rappresentare una funzione lineare?
* Set
* Grp
* Mon
* Top
* Vect
* Rel
* Pos
Vect, cioè un Vettore.
Cos’è un Funtore?
Un omomorfismo fra Categorie.
Quali sono i primitivi del calcolo categoriale algebrico?
- I morfismi o frecce (→)
- Il morfismo-identità (morfismo riflessivo)
- Due mappe o operazioni da morfismi ad oggetti, dom(⋅), cod(⋅)
- Composizioni di morfismi f ∘ g
In TC, quali sono i due assiomi che devono essere soddisfatti dai primitivi del calcolo categoriale algebrico?
La Legge Associativa e la Legge di Identità o di Unità.
Definisci la nozione algebrica di categoria.
Ogni collezione che preserva la struttura di morfismi, oggetti e composizioni delle due mappe o operazioni dom(f), cod(f) che assegna ad ogni morfismo f il suo dominio-codominio di oggetti e che soddisfa associatività e identità, costituisce una categoria C in TC.
Completa la seguente affermazione di Robert Ian Goldblatt: “In TC, diversamente dalla TI, come primitivi noi abbiamo —— anziché epsilon (∈)“.
“frecce”
In TC, morfismo e freccia indicano concetti diversi.
Vero o Falso?
Falso.
In TC, i morfismi e le frecce indicano la stessa cosa, cioè una relazione con un origine e un obiettivo.
In TC, mappa, funzione, operatore e vettore sono tutti morfismi.
Vero o Falso?
Vero.
In TC non viene supposta l’appartenenza di un ente ad una classe (peraltro, concetto sconosciuto in TC).
Quale particolare morfismo è necessario perciò per identificare un oggetto?
Il morfismo-identità o morfismo-riflessivo.
Aristotele la definiva inseità.
Quali sono i primitivi della TC?
- I morfismi o frecce
- Il morfismo identità o morfismo riflessivo
- Mappe che assegnano un dominio/codominio di oggetti ai morfismi
- Composizioni di morfismi
Quali sono i due assiomi che devono essere soddisfatti nella TC?
- La Legge Associativa (ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓)
- La Legge di Identità o Unità
Qual è la definizione della nozione algebrica di Categoria?
Una categoria 𝒞 in TC è una collezione che preserva la struttura di morfismi,
oggetti, composizioni e le due mappe o operazioni che assegna a ogni morfismo f il suo domino-codominio di oggetti, e che soddisfa associatività e identità.
Elenca i diversi tipi di categorie in matematica e logica.
- Set (insiemi e funzioni)
- Grp (gruppi e omomorfismi)
- Mon (monoidi e epimorfismi)
- Top (spazi topologici e funzioni/cammini continui)
- Vectk (spazi vettoriali definiti su un campo numerico k)
- Rel (insiemi e relazioni)
- Pos (insiemi parzialmente ordinati o posets)
Il concetto di identità in TC differisce da quello della TI.
In che senso?
In TC essa è un morfismo riflessivo (così com’era intesa anche da Aristotele), mentre in TI l’identità suppone l’appartenenza a un dominio (classe/insieme).
In TC, inoltre, il dominio di un predicato/funzione deve essere costituito mediante una opportuna operazione o mappa che conserva la struttura.
In TC è possibile “traslare” dalle relazioni causali a quelle logiche?
Sì, proprio grazie all’omomorfismo tra categorie che in TC prende il nome di funtore.
San Tommaso definiva tale traslazione conformitas o adaequatio.
In TC gli oggetti sono morfismi?
Sì, un particolare tipo di morfismo, quello riflessivo.
A cosa corrisponde, aristotelicamente, il morfismo riflessivo che troviamo nella TC?
All’“inseità della sostanza”.
Quali assiomi regolano composizioni e identità fra morfismi?
Due: la Legge Associativa e la Legge di Identità.
Da chi fu inventato il calcolo algebrico delle relazioni?
Da Charles Sanders Pierce (1839-1914).
Quali assiomi regolano composizioni e identità fra morfismi?
Due: la Legge Associativa e la Legge di Identità.
