Teoria delle Categorie Flashcards
La Filosofia Formale utilizza la Teoria degli insiemi.
Vero o Falso?
Falso.
Utilizza invece la Teoria Algebrica delle Categorie basata sull’algebra delle relazioni.
In TC gli oggetti sono morfismi?
Sì, un particolare tipo di morfismo, quello riflessivo.
A cosa corrisponde, aristotelicamente, il morfismo riflessivo che troviamo nella TC?
All’“inseità della sostanza”.
Perché la TC si può definire una teoria antepredicativa?
Perché non attribuisce aprioristicamente un genere o una specie (una classe) di appartenenza agli enti, ma ne fa derivare le proprietà e l’essenza dalle relazioni che essi hanno con altri enti.
Quali assiomi regolano composizioni e identità fra morfismi?
Due: la Legge Associativa e la Legge di Identità.
In TC quale tra questi morfismi deve essere utilizzato, se si vuole rappresentare una funzione lineare?
* Set
* Grp
* Mon
* Top
* Vect
* Rel
* Pos
Vect, cioè un Vettore.
Cos’è un Funtore?
Un omomorfismo fra Categorie.
Quali sono i primitivi del calcolo categoriale algebrico?
- I morfismi o frecce (→)
- Il morfismo-identità (morfismo riflessivo)
- Due mappe o operazioni da morfismi ad oggetti, dom(⋅), cod(⋅)
- Composizioni di morfismi f ∘ g
In TC, quali sono i due assiomi che devono essere soddisfatti dai primitivi del calcolo categoriale algebrico?
La Legge Associativa e la Legge di Identità o di Unità.
Definisci la nozione algebrica di categoria.
Ogni collezione che preserva la struttura di morfismi, oggetti e composizioni delle due mappe o operazioni dom(f), cod(f) che assegna ad ogni morfismo f il suo dominio-codominio di oggetti e che soddisfa associatività e identità, costituisce una categoria C in TC.
Completa la seguente affermazione di Robert Ian Goldblatt: “In TC, diversamente dalla TI, come primitivi noi abbiamo —— anziché epsilon (∈)“.
“frecce”
In TC, morfismo e freccia indicano concetti diversi.
Vero o Falso?
Falso.
In TC, i morfismi e le frecce indicano la stessa cosa, cioè una relazione con un origine e un obiettivo.
In TC, mappa, funzione, operatore e vettore sono tutti morfismi.
Vero o Falso?
Vero.
In TC non viene supposta l’appartenenza di un ente ad una classe (peraltro, concetto sconosciuto in TC).
Quale particolare morfismo è necessario perciò per identificare un oggetto?
Il morfismo-identità o morfismo-riflessivo.
Aristotele la definiva inseità.
Quali sono i primitivi della TC?
- I morfismi o frecce
- Il morfismo identità o morfismo riflessivo
- Mappe che assegnano un dominio/codominio di oggetti ai morfismi
- Composizioni di morfismi
Quali sono i due assiomi che devono essere soddisfatti nella TC?
- La Legge Associativa (ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓)
- La Legge di Identità o Unità
Qual è la definizione della nozione algebrica di Categoria?
Una categoria 𝒞 in TC è una collezione che preserva la struttura di morfismi,
oggetti, composizioni e le due mappe o operazioni che assegna a ogni morfismo f il suo domino-codominio di oggetti, e che soddisfa associatività e identità.
Elenca i diversi tipi di categorie in matematica e logica.
- Set (insiemi e funzioni)
- Grp (gruppi e omomorfismi)
- Mon (monoidi e epimorfismi)
- Top (spazi topologici e funzioni/cammini continui)
- Vectk (spazi vettoriali definiti su un campo numerico k)
- Rel (insiemi e relazioni)
- Pos (insiemi parzialmente ordinati o posets)
Il concetto di identità in TC differisce da quello della TI.
In che senso?
In TC essa è un morfismo riflessivo (così com’era intesa anche da Aristotele), mentre in TI l’identità suppone l’appartenenza a un dominio (classe/insieme).
In TC, inoltre, il dominio di un predicato/funzione deve essere costituito mediante una opportuna operazione o mappa che conserva la struttura.
In TC è possibile “traslare” dalle relazioni causali a quelle logiche?
Sì, proprio grazie all’omomorfismo tra categorie che in TC prende il nome di funtore.
San Tommaso definiva tale traslazione conformitas o adaequatio.
In TC gli oggetti sono morfismi?
Sì, un particolare tipo di morfismo, quello riflessivo.
A cosa corrisponde, aristotelicamente, il morfismo riflessivo che troviamo nella TC?
All’“inseità della sostanza”.
Perché la TC si può definire una teoria antepredicativa?
Perché non attribuisce aprioristicamente un genere o una specie (una classe) di appartenenza agli enti, ma ne fa derivare le proprietà e l’essenza dalle relazioni che essi hanno con altri enti.
Quali assiomi regolano composizioni e identità fra morfismi?
Due: la Legge Associativa e la Legge di Identità.
In TC quale tra questi morfismi deve essere utilizzato, se si vuole rappresentare una funzione lineare?
* Set
* Grp
* Mon
* Top
* Vect
* Rel
* Pos
Vect, cioè un Vettore.
Cos’è un Funtore?
Un omomorfismo fra Categorie.
Nella TC, quale importanti conseguenze ha la formalizzazione (algebrica) della fondazione ante-predicativa delle categorie?
- Non considera come primitivo l’appartenenza insiemistica di un ente ad una classe (o di una classe ad una classe di ordine superiore)
- Stabilisce la primalità del linguaggio sulla conoscenza
- Rende possibile tornare alla concezione aristotelico-tomista di verità come adeguazione o conformità (omomorfismo in TC) della struttura logica del linguaggio alla struttura delle relazioni reali (causali).
Qual è la differenza principale tra la TC (Teoria delle Categorie) e la TI (Teoria degli Insiemi)?
La TC non suppone come primitivo l’elementarietà insiemistica (set elementhood). Al contrario, la TI suppone l’appartenenza di qualsivoglia elemento ad un determinato insieme/classe.
In TI si suppone l’appartenenza ∈ come elemento ad un insieme e/o classe
Le categorie della TC sono categorie predicative.
Vero o Falso?
Falso.
Lo sono invece nella Teoria degli Insiemi.
Da chi fu inventato il calcolo algebrico delle relazioni?
Da Charles Sanders Pierce (1839-1914).
Quali sono i primitivi del calcolo categoriale algebrico?
- I morfismi o frecce (→)
- Il morfismo-identità (morfismo riflessivo)
- Due mappe o operazioni da morfismi ad oggetti, dom(⋅), cod(⋅)
- Composizioni di morfismi f ∘ g
In TC, quali sono i due assiomi che devono essere soddisfatti dai primitivi del calcolo categoriale algebrico?
La Legge Associativa e la Legge di Identità o di Unità.
Definisci la nozione algebrica di categoria.
Ogni collezione che preserva la struttura di morfismi, oggetti e composizioni delle due mappe o operazioni dom(f), cod(f) che assegna ad ogni morfismo f il suo dominio-codominio di oggetti e che soddisfa associatività e identità, costituisce una categoria C in TC.
Completa la seguente affermazione di Robert Ian Goldblatt: “In TC, diversamente dalla TI, come primitivi noi abbiamo —— anziché epsilon (∈)“.
“frecce”
In TC, morfismo e freccia indicano concetti diversi.
Vero o Falso?
Falso.
In TC, i morfismi e le frecce indicano la stessa cosa, cioè una relazione con un origine e un obiettivo.
La TI è più adatta a descrivere una metafisica platonica che una metafisica aristotelico-tomista.
Vero o Falso?
Vero.
Platone parlava di un mondo delle idee (iperuranio) che è grosso modo equivalente al concetto di “mondo di classi”.
In TC, mappa, funzione, operatore e vettore sono tutti morfismi.
Vero o Falso?
Vero.
In TC non viene supposta l’appartenenza di un ente ad una classe (peraltro, concetto sconosciuto in TC).
Quale particolare morfismo è necessario perciò per identificare un oggetto?
Il morfismo-identità o morfismo-riflessivo.
Aristotele la definiva inseità.
Quali sono i primitivi della TC?
- I morfismi o frecce
- Il morfismo identità o morfismo riflessivo
- Mappe che assegnano un dominio/codominio di oggetti ai morfismi
- Composizioni di morfismi
Quali sono i due assiomi che devono essere soddisfatti nella TC?
- La Legge Associativa (ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓)
- La Legge di Identità o Unità
Qual è la definizione della nozione algebrica di Categoria?
Una categoria 𝒞 in TC è una collezione che preserva la struttura di morfismi,
oggetti, composizioni e le due mappe o operazioni che assegna a ogni morfismo f il suo domino-codominio di oggetti, e che soddisfa associatività e identità.
Elenca i diversi tipi di categorie in matematica e logica.
- Set (insiemi e funzioni)
- Grp (gruppi e omomorfismi)
- Mon (monoidi e epimorfismi)
- Top (spazi topologici e funzioni/cammini continui)
- Vectk (spazi vettoriali definiti su un campo numerico k)
- Rel (insiemi e relazioni)
- Pos (insiemi parzialmente ordinati o posets)
Il concetto di identità in TC differisce da quello della TI.
In che senso?
In TC essa è un morfismo riflessivo (così com’era intesa anche da Aristotele), mentre in TI l’identità suppone l’appartenenza a un dominio (classe/insieme).
In TC, inoltre, il dominio di un predicato/funzione deve essere costituito mediante una opportuna operazione o mappa che conserva la struttura.
In TC è possibile “traslare” dalle relazioni causali a quelle logiche?
Sì, proprio grazie all’omomorfismo tra categorie che in TC prende il nome di funtore.
San Tommaso definiva tale traslazione conformitas o adaequatio.
In TC gli oggetti sono morfismi?
Sì, un particolare tipo di morfismo, quello riflessivo.
A cosa corrisponde, aristotelicamente, il morfismo riflessivo che troviamo nella TC?
All’“inseità della sostanza”.
Perché la TC si può definire una teoria antepredicativa?
Perché non attribuisce aprioristicamente un genere o una specie (una classe) di appartenenza agli enti, ma ne fa derivare le proprietà e l’essenza dalle relazioni che essi hanno con altri enti.
Quali assiomi regolano composizioni e identità fra morfismi?
Due: la Legge Associativa e la Legge di Identità.
In TC quale tra questi morfismi deve essere utilizzato, se si vuole rappresentare una funzione lineare?
* Set
* Grp
* Mon
* Top
* Vect
* Rel
* Pos
Vect, cioè un Vettore.
Cos’è un Funtore?
Un omomorfismo fra Categorie.
Cos’è il Funtore covariante? E il Funtore controvariante?
Il Funtore covariante è un funtore che mantiene identità, composizioni e frecce tra categorie in una sola direzione.
Il Funtore controvariante mantiene tali elementi in entrambe le direzioni.
Definisci: morfismo iniettivo, suriettivo e biettivo.
Qual è la differenza tra “omomorfismo” e “omeomorfismo”?
In TC “omomorfismo” indica la proprietà di una mappa di conservare la struttura, mentre “omeomorfismo” denota un isomorfismo, cioè un omomorfismo invertibile tra spazi topologici.
Quando un diagramma può essere definito commutativo in TC?
Quando esprime un isomorfismo tra categorie.
