Teoremi

Question 1

Densità di Q e di R-Q in R

Answer 1

tra due numeri reali distinti vi sono infiniti numeri razionali ed infiniti numeri irrazionali
(Q ed R-Q sono densi in R)

Question 2

Completezza di R

Answer 2

ogni sottoinsieme E di R non vuoto e limitato superiormente ammette un estremo superiore in R.
ogni sottoinsieme E di R non vuoto e limitato inferiormente ammette un estremo inferiore in R.

Question 3

Teorema fondamentale dell’algebra

Answer 3

???

Question 4

Teorema di validità del limite di successioni

Answer 4

Vale che lim (n → ∞) an → l se e solo se

lim (n → ∞) | an - l |→ 0

Question 5

se an è limitata allora an è convergente

Answer 5

Vero. non vale il viceversa.

una successione irregolare è limitata ma non è convergente.

Question 6

algebra dei limiti successionali

Answer 6

se
lim (n → ∞) an → a ∈ R e lim (n → ∞) bn → b ∈ R :

1) an + bn → a + b
2) an bn → ab
3) se bn ≠ 0 definitivamente: an/bn → a/b
4) se an > 0 definitivamente e a > 0: an^bn → a^b
5) se an, a, bn, b > 0 e an, a ≠ 1: log(an)⁡bn → log(a)b

Question 7

permanenza del segno di successioni

Answer 7

1) se an → a > 0, allora an > 0 definitivamente
se an → a < 0 allora an < 0 definitivamente
2) se an → a ∈ R e an >= 0 definitivamente allora
a >= 0
se an → a ∈ E e an <= 0 definitivamente allora
a <= 0
3) più in generale se an → a ∈ R e bn → b ∈ R e an >= bn definitivamente, allora a >= b
analogamente se an → a ∈ R e bn → b ∈ R e an <= bn definitivamente, allora a <= b

Question 8

Due carabinieri ( del confronto )
corollario

Answer 8

supponiamo che an <= bn <= cn definitivamente se
lim (n → ∞) an = lim (n → ∞) cn = L , allora anche
lim (n → ∞) bn = L

COROLLARIO
1) se |bn| <= cn definitivamente e cn → 0, allora anche 
   bn → 0
2) se cn → 0 e bn è limitata allora
   bn cn → 0

Question 9

limite di successioni monotone

Answer 9

1) sia an una successione monotona crescente, allora
∃ lim an e lim an = SUP {an}
in particolare:
- se an è superiormente limitata, allora an è
convergente (al SUP)
- se an non è superiormente limitata, allora an diverge
a + ∞
2) sia an una successione monotona decrescente, allora
∃ lim an e lim an = INF {an}
in particolare:
- se an è inferiormente limitata, allora an è
convergente (all’INF)
- se an non è inferiormente limitata, allora an diverge
a - ∞

Question 10

numero di nepero (e)

Answer 10

la successione an = (1 + 1/n)^n è convergente, il suo limite è un numero irrazionale detto numero di nepero e indicato con e
e = lim (n → ∞) (1 + 1/n)^n = e
più in generale:
sia an una successione divergente, allora:
lim ( n → ∞ ) ( 1 + 1 / an) ^ an = e

Question 11

successioni asintotiche

Answer 11

1) se an ~ bn, allora an e bn hanno lo stesso comportamento ( convergono allo stesso limite, divergono entrambe a + ∞, divergono entrambe a - ∞ oppure sono entrambi irregolari)
2) se an ~ bn e bn ~ cn, allora an ~ cn
3) se an ~ an’ , bn ~ bn’ e cn ~ cn’ allora:
( an bn ) / cn ~ ( an’ bn’ ) / cn’
occhio che la 3 vale solo per prodotto e quoziente, non per somme o esponenziali.

Question 12

relazione asintotico o - piccolo

Answer 12

vale che an ~ bn se e solo se an = bn + o ( bn )

ci ha lasciato da fare la dimostrazione ma non l’ho fatta

Question 13

gerarchia degli infiniti

Answer 13

1) ∀ a > 1 e ∀ α > 0 vale:
lim ( n → ∞ ) log (a) n / n ^ α = 0, 
cioè log (a) n = o ( n ^ α )
2) ∀ a > 1 e ∀ α > 0 vale:
lim ( n → ∞ ) n ^ α / a ^ n = 0, 
cioè n ^ α = o ( a ^ n )
3) ∀ b > 0 vale:
lim ( n → ∞ ) a ^ n / n ! = 0, 
cioè a ^ n = o ( n ! )
4) lim ( n → ∞ ) n ! / n ^ n = 0
cioè n ! = o ( n ^ n )

Question 14

limite successionale

Answer 14

siano D ∈ R e f : D → R . siano poi x0 , L ∈ R*
con x0 punto di accumulazione per D, allora:
lim ( x → x0 ) f(x) = L se e solo se ∀ successione xn :
xn ∈ D - { x0 } : xn → x0 vale f(xn) → L

nell’esempio prende due successioni appartenenti alla funzione sen x che tendono a limiti diversi.
tramite il teorema del limite successionale dimostra che non esiste il lim per x che tende a infinito di sen x

Question 15

algebra dei limiti di funzioni

Answer 15

a condizione che le espressioni siano ben definite (senza forme indeterminate) valgono:
- lim ( x → x0 ) f(x) + g(x) =
lim ( x → x0 ) f(x) + lim ( x → x0 ) g(x)
- lim ( x → x0 ) f(x) g(x) = lim ( x → x0 ) f(x) lim ( x → x0 ) g(x)
- lim ( x → x0 ) f(x) / g(x) =
[ lim ( x → x0 ) f(x) ] / [ lim ( x → x0 ) g(x) ]

Question 16

unicità del limite di funzioni

Answer 16

se f(x) tende ad un limite L ∈ R, allora tale limite è unico

Question 17

permanenza del segno di funzioni

Answer 17

• se lim ( x → x0 ) f(x) = L ∈ ( 0 , + ∞ ) allora
  ∃ u ∈ U(x0) : f(x) > 0 ∀x ∈ ( u - { x0 }) ∩ D
• se lim ( x → x0 ) f(x) ed ∃ u ∈ U(x0) :
  f(x) >= 0 ∀x ∈ ( u - { x0 }) ∩ D allora
  L >= 0

stessa roba con L < 0

Question 18

due carabinieri (funzioni)

Answer 18

sia x0 ∈ R*. se ∃ u ∈ U(x0) : h(x) <= f(x) <= g(x)
∀x ∈ ( u - { x0 }) ∩ D e
lim ( x → x0 ) h(x) = lim ( x → x0 ) g(x) = L
allora anche
lim ( x → x0 ) f(x) = L

Question 19

corollario dei carabinieri (funzioni)

Answer 19

corollario 1
se lim ( x → x0 ) g(x) = 0 e ∃ u ∈ U(x0) :
| h(x) | <= g(x) ∀x ∈ ( u - {x0} ) ∩ D , allora
lim ( x → x0 ) h(x) = 0

corollario 2
se lim ( x → x0 ) f(x) = 0 e ∃ u ∈ U(x0) :
g(x) è limitata ∀x ∈ ( u - {x0} ) ∩ D , allora
lim ( x → x0 ) f(x) g(x) = 0

Question 20

limiti notevoli

Answer 20

• lim ( x → 0 ) [ lg ( 1 + x ) ] / x = 1
• lim ( x → 0 ) senx / x = 1
• lim ( x → 0 ) tanx / x = 1
• lim ( x → 0 ) ( 1 - cosx ) / x^2 = 1/2
• lim ( x → 0 ) ( e^x - 1 ) / x = 1
• lim ( x → 0 ) ( a^x - 1 ) / x = ln a
• lim ( x → ∞ ) ( 1 - 1/x )^x = e

Question 21

gerarchia degli infiniti (funzioni)

Answer 21

dato α > 0: lim ( x → ∞ ) lgx / x^α = 0
dati α, n > 0: lim ( x → ∞ ) x^α / n^x = 0
dato n > 0: lim ( x → ∞ ) n^x / x^x = 0

Question 22

asintotico e o - piccolo per funzioni

Answer 22

si dice che due funzioni f(x) e g(x) sono asintotiche per
x → x0 ∈ R* se
lim ( x → x0 ) f(x) / g(x) = 1 f ~ g

si dice che f(x) è o piccolo di g(x) per
x → x0 ∈ R* se
lim ( x → x0 ) f(x) / g(x) = 0 f = o(g)

Question 23

proprietà di o - piccolo

Answer 23

per x → x0 ∈ R*

1) o(x) - o(x) = o(x)
2) ∀c ≠ 0 vale o( c f(x) ) = o( f(x) )
3) f(x) o( g(x) ) = o( f(x) g(x) )
4) o( f(x) ) o( g(x) ) = o( f(x) g(x) )

il prof avrebbe fatto anche le dimostrazioni di queste proprietà…

Question 24

permanenza del segno per funzioni continue

Answer 24

siano D ⊆ R e f : D → R , continua in D, sia poi x0 ∈ D punto di accumulazione per D e f (x0) > 0 allora,
∃ u ∈ U(x0) : f(x) > 0 ∀x ∈ u ∩ D
analogo per f (x0) < 0
“ se una funzione continua è positiva in un punto, allora è positiva in tutto un intorno del punto “

Question 25

algebra di funzioni continue

Answer 25

se f e g sono continue in x0, allora

• f(x) + g(x) è continua in x0
• f(x) g(x) è continua in x0
• f(x) / g(x) è continua in x0

Question 26

continuità della funzione composta

Answer 26

siano g definita in un intorno di x0 e continua in x0
e f definita in un intorno di t0 = g( x0) e continua in t0
allora f ° g ( prima g poi f ) ( definita in un intorno di x0)
è continua in x0

Question 27

teorema degli zeri

Answer 27

sia f : [ a, b ] → R continua e tale che f(a) f(b) < 0
allora
∃c ∈ [ a, b ] : f(c) = 0

Question 28

Teorema di Weierstrass

Answer 28

Sia f : [ a, b ] → R continua in [ a, b ]
allora f assume massimo e minimo assoluti in [ a, b ],
cioè: esiste xn, xm ∈ [ a, b ] : f(x) >= f (xn) ∀x e
f(x) <= f (xm) ∀x
xn si dice punto di minimo assoluto per f e il valore di f(xn) si dice minimo assoluto
xm si dice punto di massimo assoluto per f e il valore
f(xm) si dice massimo assoluto

Question 29

teorema dei valori intermedi

Answer 29

sia f : [ a, b ] → R continua in [ a, b ]
allora ∀λ ∈ [ m, M ] ( dove m è il minimo assoluto di f e M è il massimo assoluto di f )
∃ x0 ∈ [ a, b ] : f (x0) = λ
“ f assume tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo “

Question 30

teorema continuità / monotonia / invertibilità

Answer 30

sia f : I → R con I intervallo una funzione continua su I.
allora f è invertibile in I se e solo se f è strettamente monotona
in tal caso la sua inversa è f^-1 è continua e strettamente monotona.
1) f : I → R f ^-1 : f ( I ) → I ???
2) f è invertibile se e solo se è iniettiva

Question 31

legame tra continuità e derivabilità

Answer 31

sia f : ( a, b ) → R derivabile in x0 ∈ ( a, b )

allora f è continua in x0

Question 32

algebra di derivate

Answer 32

siano f , g ( a, b ) → R derivabili in x0 ∈ ( a, b )
allora
1) f + g è derivabile in x0
( f + g ) ‘ (x0) = f’ ( x0 ) + g’ ( x0 )

2) fg è derivabile in x0
( fg ) ‘ ( x0 ) = g f’ ( x0 ) + f g’ ( x0 )

3) se g ( x ) ≠ 0 allora f / g è derivabile in x0
( f / g ) ‘ ( x0 ) = ( g f’ - f g’ ) / g^2

Question 33

derivata della funzione composta ( o regola della catena )

Answer 33

sia f derivabile in x0 e sia g derivabile in y0 = f ( x0 )
allora g ° f ( prima f poi g ) è derivabile in x0 e
( g ° f ) ‘ ( x0 ) = g ‘ ( f ( x0 ) ) f ‘ ( x0 )

Question 34

derivata della funzione inversa

Answer 34

sia f : ( a, b ) → R continua in ( a, b ) e invertibile ( f è monotona ), e sia g = f^-1 . supponiamo che f sia derivabile in x0 ∈ ( a, b ) con f’ (x) = 0
allora g è derivabile in f ( x0 ) e
g’ ( f ( x0 ) ) = 1 / f’ ( x0 )
??????????????????????????????????????????????

Question 35

limite della funzione derivata e derivabilità

Answer 35

sia f : [ a, b ) → R continua in [ a, b ) e derivabile in ( a, b ) si assuma che lim ( x → a+ ) f’(x) = L ∈ R*. allora:
1) se L ∈ R allora ∃ f’+ (a) e f’- (a) = L
2) se L = +∞ allora
∃ lim (h → 0+) [ f ( a + h ) - f ( a ) ] / h = + ∞
3) se L = - ∞ allora
∃ lim (h → 0+) [ f ( a + h ) - f ( a ) ] / h = - ∞

Question 36

Teorema di Fermat

Answer 36

sia f : ( a , b ) → R derivabile in x0 ∈ ( a, b )

se x0 è punto di estremo locale, allora f’ ( x0 ) = 0

Question 37

Teorema di Lagrange + corollario ( Rolle ) + corollario

test di monotonia

Answer 37

sia f : [ a , b ] → R continua in [ a, b ] e derivabile in (a, b) , allora
∃ x0 ∈ ( a, b ) : [ f ( b ) - f ( a ) ] / b - a = f’ ( x0 )
( geometricamente: esiste un punto in cui la tangente alla funzione in quel punto è parallela alla retta passante per a e b )

Question 38

Corollario Teorema di Lagrange:

• teorema di Rolle
• Test di monotonia
• Teorema delle funzioni a derivata nulla

Answer 38

COROLLARIO ( teorema di Rolle )
sia f : [ a , b ] → R continua in [ a, b ] e derivabile in (a, b) e tale che f ( b ) = f ( a ) , allora
∃ x0 ∈ ( a, b ) : f’ ( x0 ) = 0

COROLLARIO ( test di monotonia )
sia f : [ a , b ] → R continua in [ a, b ] e derivabile in (a, b)
- f è monotona crescente in [ a, b ] se e solo se
f’ ( x ) >= 0 ∀x ∈ ( a, b )
- f è monotona decrescente in [ a, b ] se e solo se
f’ ( x ) <= 0 ∀x ∈ ( a, b )

COROLLARIO ( teorema delle funzioni a derivata nulla )
sia f : [ a , b ] → R continua in [ a, b ] e derivabile in (a, b)
allora f è costante se e solo se f’ ( x0 ) = 0 ∀x ∈ ( a, b )

Question 39

Teorema di De L’Hopital

Answer 39

siano -∞ <= a < b <= +∞ e siano f , g : ( a, b ) → R derivabili in ( a, b ) , con g ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b ) e
g’ ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b )
si assuma :
1) f ( x ) / g ( x ) presenta la forma di indecisione 0 / 0 o
∞ / ∞ per x → a+ ( rispettivamente x → b- )
2) lim ( x → a+ ) f ‘ ( x ) / g’ ( x ) = L ∈ R* (rispettivamente b-

allora lim ( x → a+ ) f ( x ) / g ( x ) = L ( rispettivamente b- )

Question 40

se f è convessa allora sta sopra la tangente e viceversa

Answer 40

1) sia f convessa in [ a, b ]. se f è derivabile in x0 ∈ [ a, b] allora ∀x ∈ [ a, b ] f ( x ) >= t0 ( x )
2) se f è derivabile in [ a, b ] e ∀x ∈ [ a, b ] vale che
f ( x ) >= t0 ( x ) , allora f è convessa

Question 41

legame convessità ed f’

Answer 41

sia f derivabile in [ a, b ]. allora f è convessa in [ a, b ] se e solo se f’ è non decrescente in [ a, b ]
in particolare se f è derivabile due volte in x0 ed x0 è punto di cambio di concavità, allora f’’ ( x0 ) = 0
( f’ ha un estremo locale in x0 ) ( uso il teorema di Fermat su f’ )

Question 42

legame convessità ed f’’

Answer 42

sia f derivabile in [ a, b ] e derivabile 2 volte in ( a, b ).
Allora f è convessa in ( a, b ) se e solo se f’’ ( x ) >= 0
∀x ∈ ( a, b )