Teoremi Flashcards
Densità di Q e di R-Q in R
tra due numeri reali distinti vi sono infiniti numeri razionali ed infiniti numeri irrazionali
(Q ed R-Q sono densi in R)
Completezza di R
ogni sottoinsieme E di R non vuoto e limitato superiormente ammette un estremo superiore in R.
ogni sottoinsieme E di R non vuoto e limitato inferiormente ammette un estremo inferiore in R.
Teorema fondamentale dell’algebra
???
Teorema di validità del limite di successioni
Vale che lim (n → ∞) an → l se e solo se
lim (n → ∞) | an - l |→ 0
se an è limitata allora an è convergente
Vero. non vale il viceversa.
una successione irregolare è limitata ma non è convergente.
algebra dei limiti successionali
se
lim (n → ∞) an → a ∈ R e lim (n → ∞) bn → b ∈ R :
1) an + bn → a + b
2) an bn → ab
3) se bn ≠ 0 definitivamente: an/bn → a/b
4) se an > 0 definitivamente e a > 0: an^bn → a^b
5) se an, a, bn, b > 0 e an, a ≠ 1: log(an)bn → log(a)b
permanenza del segno di successioni
1) se an → a > 0, allora an > 0 definitivamente
se an → a < 0 allora an < 0 definitivamente
2) se an → a ∈ R e an >= 0 definitivamente allora
a >= 0
se an → a ∈ E e an <= 0 definitivamente allora
a <= 0
3) più in generale se an → a ∈ R e bn → b ∈ R e an >= bn definitivamente, allora a >= b
analogamente se an → a ∈ R e bn → b ∈ R e an <= bn definitivamente, allora a <= b
Due carabinieri ( del confronto ) corollario
supponiamo che an <= bn <= cn definitivamente se
lim (n → ∞) an = lim (n → ∞) cn = L , allora anche
lim (n → ∞) bn = L
COROLLARIO 1) se |bn| <= cn definitivamente e cn → 0, allora anche bn → 0 2) se cn → 0 e bn è limitata allora bn cn → 0
limite di successioni monotone
1) sia an una successione monotona crescente, allora
∃ lim an e lim an = SUP {an}
in particolare:
- se an è superiormente limitata, allora an è
convergente (al SUP)
- se an non è superiormente limitata, allora an diverge
a + ∞
2) sia an una successione monotona decrescente, allora
∃ lim an e lim an = INF {an}
in particolare:
- se an è inferiormente limitata, allora an è
convergente (all’INF)
- se an non è inferiormente limitata, allora an diverge
a - ∞
numero di nepero (e)
la successione an = (1 + 1/n)^n è convergente, il suo limite è un numero irrazionale detto numero di nepero e indicato con e
e = lim (n → ∞) (1 + 1/n)^n = e
più in generale:
sia an una successione divergente, allora:
lim ( n → ∞ ) ( 1 + 1 / an) ^ an = e
successioni asintotiche
1) se an ~ bn, allora an e bn hanno lo stesso comportamento ( convergono allo stesso limite, divergono entrambe a + ∞, divergono entrambe a - ∞ oppure sono entrambi irregolari)
2) se an ~ bn e bn ~ cn, allora an ~ cn
3) se an ~ an’ , bn ~ bn’ e cn ~ cn’ allora:
( an bn ) / cn ~ ( an’ bn’ ) / cn’
occhio che la 3 vale solo per prodotto e quoziente, non per somme o esponenziali.
relazione asintotico o - piccolo
vale che an ~ bn se e solo se an = bn + o ( bn )
ci ha lasciato da fare la dimostrazione ma non l’ho fatta
gerarchia degli infiniti
1) ∀ a > 1 e ∀ α > 0 vale: lim ( n → ∞ ) log (a) n / n ^ α = 0, cioè log (a) n = o ( n ^ α ) 2) ∀ a > 1 e ∀ α > 0 vale: lim ( n → ∞ ) n ^ α / a ^ n = 0, cioè n ^ α = o ( a ^ n ) 3) ∀ b > 0 vale: lim ( n → ∞ ) a ^ n / n ! = 0, cioè a ^ n = o ( n ! ) 4) lim ( n → ∞ ) n ! / n ^ n = 0 cioè n ! = o ( n ^ n )
limite successionale
siano D ∈ R e f : D → R . siano poi x0 , L ∈ R*
con x0 punto di accumulazione per D, allora:
lim ( x → x0 ) f(x) = L se e solo se ∀ successione xn :
xn ∈ D - { x0 } : xn → x0 vale f(xn) → L
nell’esempio prende due successioni appartenenti alla funzione sen x che tendono a limiti diversi.
tramite il teorema del limite successionale dimostra che non esiste il lim per x che tende a infinito di sen x
algebra dei limiti di funzioni
a condizione che le espressioni siano ben definite (senza forme indeterminate) valgono:
- lim ( x → x0 ) f(x) + g(x) =
lim ( x → x0 ) f(x) + lim ( x → x0 ) g(x)
- lim ( x → x0 ) f(x) g(x) = lim ( x → x0 ) f(x) lim ( x → x0 ) g(x)
- lim ( x → x0 ) f(x) / g(x) =
[ lim ( x → x0 ) f(x) ] / [ lim ( x → x0 ) g(x) ]
unicità del limite di funzioni
se f(x) tende ad un limite L ∈ R, allora tale limite è unico
permanenza del segno di funzioni
- se lim ( x → x0 ) f(x) = L ∈ ( 0 , + ∞ ) allora
∃ u ∈ U(x0) : f(x) > 0 ∀x ∈ ( u - { x0 }) ∩ D - se lim ( x → x0 ) f(x) ed ∃ u ∈ U(x0) :
f(x) >= 0 ∀x ∈ ( u - { x0 }) ∩ D allora
L >= 0
stessa roba con L < 0
due carabinieri (funzioni)
sia x0 ∈ R*. se ∃ u ∈ U(x0) : h(x) <= f(x) <= g(x)
∀x ∈ ( u - { x0 }) ∩ D e
lim ( x → x0 ) h(x) = lim ( x → x0 ) g(x) = L
allora anche
lim ( x → x0 ) f(x) = L
corollario dei carabinieri (funzioni)
corollario 1
se lim ( x → x0 ) g(x) = 0 e ∃ u ∈ U(x0) :
| h(x) | <= g(x) ∀x ∈ ( u - {x0} ) ∩ D , allora
lim ( x → x0 ) h(x) = 0
corollario 2
se lim ( x → x0 ) f(x) = 0 e ∃ u ∈ U(x0) :
g(x) è limitata ∀x ∈ ( u - {x0} ) ∩ D , allora
lim ( x → x0 ) f(x) g(x) = 0
limiti notevoli
- lim ( x → 0 ) [ lg ( 1 + x ) ] / x = 1
- lim ( x → 0 ) senx / x = 1
- lim ( x → 0 ) tanx / x = 1
- lim ( x → 0 ) ( 1 - cosx ) / x^2 = 1/2
- lim ( x → 0 ) ( e^x - 1 ) / x = 1
- lim ( x → 0 ) ( a^x - 1 ) / x = ln a
- lim ( x → ∞ ) ( 1 - 1/x )^x = e
gerarchia degli infiniti (funzioni)
dato α > 0: lim ( x → ∞ ) lgx / x^α = 0
dati α, n > 0: lim ( x → ∞ ) x^α / n^x = 0
dato n > 0: lim ( x → ∞ ) n^x / x^x = 0
asintotico e o - piccolo per funzioni
si dice che due funzioni f(x) e g(x) sono asintotiche per
x → x0 ∈ R* se
lim ( x → x0 ) f(x) / g(x) = 1 f ~ g
si dice che f(x) è o piccolo di g(x) per
x → x0 ∈ R* se
lim ( x → x0 ) f(x) / g(x) = 0 f = o(g)
proprietà di o - piccolo
per x → x0 ∈ R*
1) o(x) - o(x) = o(x)
2) ∀c ≠ 0 vale o( c f(x) ) = o( f(x) )
3) f(x) o( g(x) ) = o( f(x) g(x) )
4) o( f(x) ) o( g(x) ) = o( f(x) g(x) )
il prof avrebbe fatto anche le dimostrazioni di queste proprietà…
permanenza del segno per funzioni continue
siano D ⊆ R e f : D → R , continua in D, sia poi x0 ∈ D punto di accumulazione per D e f (x0) > 0 allora,
∃ u ∈ U(x0) : f(x) > 0 ∀x ∈ u ∩ D
analogo per f (x0) < 0
“ se una funzione continua è positiva in un punto, allora è positiva in tutto un intorno del punto “
