Defnizioni

Question 1

R insieme dei numeri reali

Answer 1

L’insieme di tutti gli sviluppi decimali (finiti, periodici, non periodici) si chiama insieme dei numeri reali e si indica con R

Question 2

numeri irrazionali

Answer 2

i numeri appartenenti a R ma non a Q si dicono irrazionali

Question 3

maggiorante

Answer 3

si dice che x0 è un maggiorante di E (sottoinsieme di R) se x <= x0 ∀x appartenente a E

Question 4

minorante

Answer 4

si dice che x0 è un minorante di E (sottoinsieme di R) se x >= x0 ∀x ∈ E

Question 5

insieme limitato superiormente

Answer 5

l’insieme E si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante

Question 6

insieme limitato inferiormente

Answer 6

l’insieme E si dice limitato superiormente se ammette un minorante

Question 7

insieme limitato

Answer 7

l’insieme E si dice limitato se è limitato superiormente e inferiormente (ammette un maggiorante e un minorante)

Question 8

massimo

Answer 8

x0 si dice massimo di E se:

• x0 ∈ E
• x0 è maggiorante di E

Question 9

minimo

Answer 9

x0 si dice minimo di E se:

• x0 ∈ E
• x0 è minorante di E

Question 10

estremo superiore

Answer 10

x0 si dice estremo superiore di E se x0 è il minimo maggiorante di E

Question 11

estremo inferiore

Answer 11

x0 si dice estremo inferiore di E se x0 è il massimo minorante di E

Question 12

insiemi di uguale cardinalità

Answer 12

due insiemi A e B si dicono di uguale cardinalità se esiste una funzione biunivoca tra A e B (se A e B sono in corrispondenza biunivoca )

Question 13

insieme numerabile

Answer 13

un insieme si dice numerabile se ha la cardinalità di N
si può dimostrare che Z e Q sono numerabili.
R non è numerabile

Question 14

potenza del continuo

Answer 14

la cardinalità di R si dice potenza del continuo

Question 15

numero complesso

Answer 15

si chiama numero complesso un’espressione del tipo
z = x + iy dove x e y sono numeri reali.
x si chiama parte reale
y si chiama parte immaginaria

Question 16

modulo di z

Answer 16

dato z = x + iy si dice modulo di z il numero reale non negativo | z | = radice -/x^2 + y^2
| z | rappresenta la lunghezza del segmento che unisce il punto z con l’origine degli assi

Question 17

coniugato di z

Answer 17

dato z = x + iy si dice coniugato di z il numero complesso z = x - iy

Question 18

inverso di z

Answer 18

dato un numero complesso z si dice inverso di z (1/z) il numero complesso
1/z = coniugato di z / | z |^2

Question 19

radice n - esima di un numero complesso

Answer 19

una radice n - esima di un numero complesso z è un numero complesso w : w^n = z

Question 20

successione

Answer 20

una successione è una legge che associa ad ogni elemento di N un numero reale an. è quindi una funzione di dominio N e codominio R

Question 21

successione limitata inferiormente

Answer 21

una successione an si dice limitata inferiormente se ∃ un m ∈ R tale che an >= m ∀m

Question 22

successione limitata superiormente

Answer 22

una successione an si dice limitata inferiormente se ∃ un M ∈ R tale che an <= M ∀M

Question 23

successione limitata

Answer 23

una successione si dice limitata se è sia superiormente sia inferiormente limitata.
cioè: ∃ m, M ∈ R tale che
m <= an <= M

Question 24

successione:
positiva 
negativa 
non positiva 
non negativa

Answer 24

una successione an si dice:

• positiva: se an > n ∀n
• negativa: se an > n ∀n
• non positiva: se an <= n ∀n
• non negativa: se an >= n ∀n

Question 25

successione convergente

Answer 25

una successione an si dice convergente se esiste
l ∈ R con questa proprietà:
∀ ε > 0 vale che | an - l | < ε definitivamente
il numero l si chiama limite della successione an

Question 26

successione infinitesima

Answer 26

una successione si dice infinitesima se converge a 0

Question 27

successione divergente

Answer 27

una successione si dice divergente a +∞ se :
∀M > 0 vale che an > M definitivamente
cioè: ∀M > 0 ∃N(M) ∈ N tale che an > M ∀n >= N

una successione si dice divergente a -∞ se:
∀M > 0 vale che an < -M definitivamente
cioè: ∀M > 0 ∃N(M) ∈ N tale che an < -M ∀n >= N

Question 28

successione irregolare o indeterminata

Answer 28

Una successione an si dice irregolare quando non converge, non diverge a +∞ e non diverge a -∞

Question 29

successione che converge per eccesso

Answer 29

si dice che una successione an converge ad l per eccesso se ∀ε > 0 vale che 0 <= an - l <= ε definitivamente

Question 30

successione che converge per difetto

Answer 30

si dice che una successione an converge ad l per difetto se ∀ε > 0 vale che -ε <= an - l <= 0 definitivamente

Question 31

successione:

• monotona crescente
• strettamente crescente
• monotona decrescente
• strettamente decrescente

Answer 31

una successione an si dice:

• monotona crescente se an <= an + 1 ∀n
• strettamente crescente se an < an + 1 ∀n
• monotona decrescente se an >= an + 1 ∀n
• strettamente decrescente se an > an + 1 ∀n

Question 32

an asintotica a bn

Answer 32

siano an e bn successioni con bn ≠ 0 definitivamente
si dice che an è asintotica a bn se:
lim ( n → ∞ ) an / bn = 1

Question 33

an o - piccolo di bn

Answer 33

siano an e bn successioni con bn ≠ 0 definitivamente
si dice che an è o - piccolo di bn se:
lim ( n → ∞ ) an / bn = 0
an = o (bn)

Question 34

intorno di x0

Answer 34

sia x0 ∈ R*, si dice intorno di x0:
1) se x0 ∈ R, ogni intervallo aperto
( x0 - δ , x0 + δ) con δ > 0
2) se x0 = + ∞, ogni intervallo aperto ( k , + ∞ ) con k > 0
3) se x0 = - ∞, ogni intervallo aperto ( - ∞ , - k ) con k > 0

Question 35

punto di accumulazione

Answer 35

consideriamo D ⊆ R e x0 ∈ R* .
x0 si dice punto di accumulazione per D se ogni intorno di x0 contiene almeno un punto di D diverso da x0, cioè:
∀u ∈ U(x0) vale ( u - { x0 } ∩ D ≠ ∅
il punto di accumulazione può non appartenere al dominio

Question 36

punto isolato

Answer 36

siano D ⊆ R e x0 ∈ D .
x0 si dice punto isolato di D se esiste un intorno di x0 che non contiene punti di D diversi da x0, cioè:
∃ u ∈ U(x0) : u ∩ D = { x0 }
i punti isolati appartengono sempre al dominio.

Question 37

limite di una funzione

Answer 37

siano D ⊆ R ed f : D → R , siano poi x0, L ∈ R*
con x0 punto di accumulazione per D, si dice:
lim ( x → x0 ) f(x) = L se ∀ V ∈ U (L) ∃ u ∈ U(x0) : f(x) ∈ V
∀x ∈ ( u - { x0 } ) ∩ D
questa è quella generale, poi ci sono tutti i casi che ci aveva lasciato da riformulare.

Question 38

punto di accumulazione destro

Answer 38

siano D ⊆ R e x0 ∈ [ - ∞, + ∞ ) .
x0 si dice punto di accumulazione destro per D se
∀ u ∈ U(x0) vale u ∩ ( x0 , + ∞ ) ∩ D ≠ ∅
“ mi avvicino a x0 da destra tanto quanto voglio con punti di D “

Question 39

punto di accumulazione sinistro

Answer 39

siano D ⊆ R e x0 ∈ ( - ∞, + ∞ ] .
x0 si dice punto di accumulazione sinistro per D se
∀ u ∈ U(x0) vale u ∩ ( - ∞ , x0 ) ∩ D ≠ ∅
“ mi avvicino a x0 da sinistra tanto quanto voglio con punti di D “

Question 40

limite destro di una funzione

Answer 40

sia x0 ∈ ( - ∞, + ∞ ] e sia l ∈ R* .
sia poi f : D ⊆ R → R con x0 punto di accumulazione destro per D, si dice limite destro
lim (x → x0+) f(x) = L se ∀ successione xn : xn ∈ D - {x0}
e xn → x0+ vale f(xn) → L (per n che tende a + ∞)

Question 41

limite sinistro di una funzione

Answer 41

sia x0 ∈ [ - ∞, + ∞ ) e sia l ∈ R* .
sia poi f : D ⊆ R → R con x0 punto di accumulazione sinistro per D, si dice limite sinistro
lim (x → x0-) f(x) = L se ∀ successione xn : xn ∈ D - {x0}
e xn → x0- vale f(xn) → L (per n che tende a - ∞)

Question 42

funzione che tende a L per eccesso

Answer 42

Se in un limite la convergenza lim (n → ∞) f (xn) → L
avviene per eccesso (da sopra) cioè f ( xn ) → L+ diciamo che f tende a L per eccesso e scriviamo
lim ( x → x0 ) f(x) → L+
analogamente f tende ad L per difetto
lim ( x → x0 ) f(x) → L-

Question 43

asintoto orizzontale

Answer 43

si dice che una funzione f(x) ha un asintoto orizzontale di equazione y = L ( L ∈ R ) per x → ∞ se:
lim ( x → + - ∞ ) f(x) = L

Question 44

asintoto verticale

Answer 44

si dice che una funzione f(x) ha un asintoto verticale di equazione x = x0 ( x0 ∈ R ) se:
lim ( x → x0 ) f(x) = + - ∞

considerando solo x → x0+ si parla di asintoto verticale destro
considerando solo x → x0- si parla di asintoto verticale sinistro

Question 45

asintoto obliquo

Answer 45

si dice che una funzione f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q ( m ≠ 0 e q ∈ R) per x → + - ∞ se:
lim ( x → + - ∞ ) [ f(x) - mx - q ] = 0

LEMMA 
f ha asintoto obliquo di equazione y = mx + q 
per x → + - ∞ se
1) lim ( x → + - ∞ ) f(x) / x = m ≠ 0
2) lim ( x → + - ∞ ) f(x) - mx = q ∈ R

Question 46

continuità

Answer 46

siano D ⊆ R e f : D → R . sia poi x0 ∈ D .
si dice che f è continua in x0 se
∀ε > 0 ∃ δ = δ ( ε, x0 ) > 0 : | f(x) - f(x0) | < ε ∀x ∈ D :
| x - x0 | < δ
“ se sono vicino ad x0, f(x) è vicina ad f(x0)

Question 47

f continua in D

Answer 47

se f è continua in tutti i punti di D, si dice continua in D

Question 48

f discontinua in x0

Answer 48

se f non è continua in x0, si dice discontinua in x0

oss. x0 è punto di accumulazione per D

Question 49

discontinuità a salto (di prima specie)

Answer 49

si dice che x0 è punto di discontinuità a salto se
lim ( x → x0+ ) f(x) = L1 ∈ R
lim ( x → x0- ) f(x) = L2 ∈ R
ma L1 ≠ L2

Question 50

discontinuità di seconda specie

Answer 50

si dice che x0 è punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno tra L1 e L2 è infinito o non esiste.

Question 51

discontinuità eliminabile (di terza specie)

Answer 51

si dice che x0 è punto di discontinuità eliminabile se

L1 = L2 ∈ R ma f(x0) ≠ L1 = L2

Question 52

funzione derivabile in x0

Answer 52

sia f : ( a, b ) → R e sia x0 ∈ ( a, b )
si dice che f è derivabile in x0 se esiste ed è finito il limite per h → 0 del rapporto incrementale.
se ciò accade, il valore del limite si chiama derivata prima della funzione in x0.
si chiama retta tangente al grafico nel punto x0 la retta di equazione y = f (x0) + f’ (x0) ( x - x0 ) (retta passante per f(x0) e x0 con coefficiente angolare f’(x0) )

Question 53

funzione derivabile da destra in x0

Answer 53

se esiste ed è finito il limite per h → 0+ del rapporto incrementale, si dice che f è derivabile da destra in x0.
il valore di tale limite si chiama derivata destra in x0 e si indica con f’+ (x0)

Question 54

funzione derivabile da sinistra in x0

Answer 54

se esiste ed è finito il limite per h → 0- del rapporto incrementale, si dice che f è derivabile da sinistra in x0.
il valore di tale limite si chiama derivata sinistra in x0 e si indica con f’- (x0)

Question 55

funzione derivata

Answer 55

se f è derivabile in ogni punto di ( a, b ) la funzione

f’ : ( a, b ) → R che associa ad ogni x il valore di f’ (x) si dice funzione derivata

Question 56

punto angoloso

Answer 56

sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che f ha un punto angoloso in x0 se
∃ f’+ ( x0 ) , f’- ( x0 ) ma f’+ ( x0 ) ≠ f’- ( x0 )

Question 57

punto angoloso in senso lato

Answer 57

sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che f ha un punto angoloso in senso lato se
lim ( h → 0+ ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h e
lim ( h → 0- ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h
esistono entrambi ma solo uno di essi è finito

Question 58

punto a tangente verticale

Answer 58

sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che x0 è un punto a tangente verticale se
lim ( h → 0 ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h = + ∞
oppure
lim ( h → 0 ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h = - ∞

Question 59

cuspide

Answer 59

sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che x0 è un punto di cuspide se
lim ( h → 0+ ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h e
lim ( h → 0- ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h
sono entrambi infiniti e sono diversi

Question 60

punto di:

• massimo assoluto
• minimo assoluto
• massimo relativo
• minimo relativo

Answer 60

siano D ⊆ R e f : D → R. si dice che x0 è:
- punto di massimo assoluto se
f ( x0 ) >= f ( x ) ∀x ∈ D
- punto di minimo assoluto se
f ( x0 ) <= f ( x ) ∀x ∈ D
- punto di massimo relativo se
∃ δ > 0 : f ( x0 ) >= f ( x ) ∀x ∈ ( x0 - δ , x0 + δ ) ∩ D
- punto di minimo relativo se
∃ δ > 0 : f ( x0 ) <= f ( x ) ∀x ∈ ( x0 - δ , x0 + δ ) ∩ D

Question 61

punto stazionario

Answer 61

se f è derivabile in x0 ∈ ( a, b ) e f’ ( x0 ) = 0, allora

x0 si dice punto stazionario

Question 62

funzione derivabile 2 volte

Answer 62

siano I ⊆ R intervallo e f : I → R derivabile in R

sia poi x0 ∈ I . si dice che f è derivabile 2 volte in x0 se la funzione f’ : I → R è a sua volta derivabile in x0

Question 63

funzione convessa

funzione concava

Answer 63

sia f : [ a, b ] → R . si dice che f è convessa se
∀ x1, x2 ∈ [ a, b ] e ∀ λ ∈ ( 0, 1 ) vale che :
f ( λ ( x1 ) + ( 1 - λ ) x2 ) <= λ f ( x1 ) + ( 1 - λ ) f ( x2 )
si dice che f è concava se non è convessa
( la funzione non deve necessariamente essere derivabile ne tantomeno continua )

Question 64

punto di flesso

Answer 64

sia f : ( a, b ) → R derivabile in x0 ∈ ( a, b ) e sia t0 la retta tangente al grafico di f nel punto ( x0, f ( x0 ) )
( t0 ( x ) = f’ ( x0 ) - ( x - x0 ) + f ( x0 ) )
si dice che c0 è un punto di flesso se
∃ δ > 0 tale che f ( x ) - t0 ( x ) è rispettivamente >= 0 e <= 0 ( o viceversa ) in ( x0 - δ , x0 ) e ( x0 , x0 + δ)

Question 65

punto di cambio di concavità

Answer 65

un punto x0 ∈ ( a, b ) si chiama punto di cambio di concavità se f è convessa in [ a, x0 ] e concava in [ x0, b ]