Defnizioni Flashcards
R insieme dei numeri reali
L’insieme di tutti gli sviluppi decimali (finiti, periodici, non periodici) si chiama insieme dei numeri reali e si indica con R
numeri irrazionali
i numeri appartenenti a R ma non a Q si dicono irrazionali
maggiorante
si dice che x0 è un maggiorante di E (sottoinsieme di R) se x <= x0 ∀x appartenente a E
minorante
si dice che x0 è un minorante di E (sottoinsieme di R) se x >= x0 ∀x ∈ E
insieme limitato superiormente
l’insieme E si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante
insieme limitato inferiormente
l’insieme E si dice limitato superiormente se ammette un minorante
insieme limitato
l’insieme E si dice limitato se è limitato superiormente e inferiormente (ammette un maggiorante e un minorante)
massimo
x0 si dice massimo di E se:
- x0 ∈ E
- x0 è maggiorante di E
minimo
x0 si dice minimo di E se:
- x0 ∈ E
- x0 è minorante di E
estremo superiore
x0 si dice estremo superiore di E se x0 è il minimo maggiorante di E
estremo inferiore
x0 si dice estremo inferiore di E se x0 è il massimo minorante di E
insiemi di uguale cardinalità
due insiemi A e B si dicono di uguale cardinalità se esiste una funzione biunivoca tra A e B (se A e B sono in corrispondenza biunivoca )
insieme numerabile
un insieme si dice numerabile se ha la cardinalità di N
si può dimostrare che Z e Q sono numerabili.
R non è numerabile
potenza del continuo
la cardinalità di R si dice potenza del continuo
numero complesso
si chiama numero complesso un’espressione del tipo
z = x + iy dove x e y sono numeri reali.
x si chiama parte reale
y si chiama parte immaginaria
modulo di z
dato z = x + iy si dice modulo di z il numero reale non negativo | z | = radice -/x^2 + y^2
| z | rappresenta la lunghezza del segmento che unisce il punto z con l’origine degli assi
coniugato di z
dato z = x + iy si dice coniugato di z il numero complesso z = x - iy
inverso di z
dato un numero complesso z si dice inverso di z (1/z) il numero complesso
1/z = coniugato di z / | z |^2
radice n - esima di un numero complesso
una radice n - esima di un numero complesso z è un numero complesso w : w^n = z
successione
una successione è una legge che associa ad ogni elemento di N un numero reale an. è quindi una funzione di dominio N e codominio R
successione limitata inferiormente
una successione an si dice limitata inferiormente se ∃ un m ∈ R tale che an >= m ∀m
successione limitata superiormente
una successione an si dice limitata inferiormente se ∃ un M ∈ R tale che an <= M ∀M
successione limitata
una successione si dice limitata se è sia superiormente sia inferiormente limitata.
cioè: ∃ m, M ∈ R tale che
m <= an <= M
successione: positiva negativa non positiva non negativa
una successione an si dice:
- positiva: se an > n ∀n
- negativa: se an > n ∀n
- non positiva: se an <= n ∀n
- non negativa: se an >= n ∀n
successione convergente
una successione an si dice convergente se esiste
l ∈ R con questa proprietà:
∀ ε > 0 vale che | an - l | < ε definitivamente
il numero l si chiama limite della successione an
successione infinitesima
una successione si dice infinitesima se converge a 0
successione divergente
una successione si dice divergente a +∞ se :
∀M > 0 vale che an > M definitivamente
cioè: ∀M > 0 ∃N(M) ∈ N tale che an > M ∀n >= N
una successione si dice divergente a -∞ se:
∀M > 0 vale che an < -M definitivamente
cioè: ∀M > 0 ∃N(M) ∈ N tale che an < -M ∀n >= N
successione irregolare o indeterminata
Una successione an si dice irregolare quando non converge, non diverge a +∞ e non diverge a -∞
successione che converge per eccesso
si dice che una successione an converge ad l per eccesso se ∀ε > 0 vale che 0 <= an - l <= ε definitivamente
successione che converge per difetto
si dice che una successione an converge ad l per difetto se ∀ε > 0 vale che -ε <= an - l <= 0 definitivamente
successione:
- monotona crescente
- strettamente crescente
- monotona decrescente
- strettamente decrescente
una successione an si dice:
- monotona crescente se an <= an + 1 ∀n
- strettamente crescente se an < an + 1 ∀n
- monotona decrescente se an >= an + 1 ∀n
- strettamente decrescente se an > an + 1 ∀n
an asintotica a bn
siano an e bn successioni con bn ≠ 0 definitivamente
si dice che an è asintotica a bn se:
lim ( n → ∞ ) an / bn = 1
an o - piccolo di bn
siano an e bn successioni con bn ≠ 0 definitivamente
si dice che an è o - piccolo di bn se:
lim ( n → ∞ ) an / bn = 0
an = o (bn)
intorno di x0
sia x0 ∈ R*, si dice intorno di x0:
1) se x0 ∈ R, ogni intervallo aperto
( x0 - δ , x0 + δ) con δ > 0
2) se x0 = + ∞, ogni intervallo aperto ( k , + ∞ ) con k > 0
3) se x0 = - ∞, ogni intervallo aperto ( - ∞ , - k ) con k > 0
punto di accumulazione
consideriamo D ⊆ R e x0 ∈ R* .
x0 si dice punto di accumulazione per D se ogni intorno di x0 contiene almeno un punto di D diverso da x0, cioè:
∀u ∈ U(x0) vale ( u - { x0 } ∩ D ≠ ∅
il punto di accumulazione può non appartenere al dominio
punto isolato
siano D ⊆ R e x0 ∈ D .
x0 si dice punto isolato di D se esiste un intorno di x0 che non contiene punti di D diversi da x0, cioè:
∃ u ∈ U(x0) : u ∩ D = { x0 }
i punti isolati appartengono sempre al dominio.
limite di una funzione
siano D ⊆ R ed f : D → R , siano poi x0, L ∈ R*
con x0 punto di accumulazione per D, si dice:
lim ( x → x0 ) f(x) = L se ∀ V ∈ U (L) ∃ u ∈ U(x0) : f(x) ∈ V
∀x ∈ ( u - { x0 } ) ∩ D
questa è quella generale, poi ci sono tutti i casi che ci aveva lasciato da riformulare.
punto di accumulazione destro
siano D ⊆ R e x0 ∈ [ - ∞, + ∞ ) .
x0 si dice punto di accumulazione destro per D se
∀ u ∈ U(x0) vale u ∩ ( x0 , + ∞ ) ∩ D ≠ ∅
“ mi avvicino a x0 da destra tanto quanto voglio con punti di D “
punto di accumulazione sinistro
siano D ⊆ R e x0 ∈ ( - ∞, + ∞ ] .
x0 si dice punto di accumulazione sinistro per D se
∀ u ∈ U(x0) vale u ∩ ( - ∞ , x0 ) ∩ D ≠ ∅
“ mi avvicino a x0 da sinistra tanto quanto voglio con punti di D “
limite destro di una funzione
sia x0 ∈ ( - ∞, + ∞ ] e sia l ∈ R* .
sia poi f : D ⊆ R → R con x0 punto di accumulazione destro per D, si dice limite destro
lim (x → x0+) f(x) = L se ∀ successione xn : xn ∈ D - {x0}
e xn → x0+ vale f(xn) → L (per n che tende a + ∞)
limite sinistro di una funzione
sia x0 ∈ [ - ∞, + ∞ ) e sia l ∈ R* .
sia poi f : D ⊆ R → R con x0 punto di accumulazione sinistro per D, si dice limite sinistro
lim (x → x0-) f(x) = L se ∀ successione xn : xn ∈ D - {x0}
e xn → x0- vale f(xn) → L (per n che tende a - ∞)
funzione che tende a L per eccesso
Se in un limite la convergenza lim (n → ∞) f (xn) → L
avviene per eccesso (da sopra) cioè f ( xn ) → L+ diciamo che f tende a L per eccesso e scriviamo
lim ( x → x0 ) f(x) → L+
analogamente f tende ad L per difetto
lim ( x → x0 ) f(x) → L-
asintoto orizzontale
si dice che una funzione f(x) ha un asintoto orizzontale di equazione y = L ( L ∈ R ) per x → ∞ se:
lim ( x → + - ∞ ) f(x) = L
asintoto verticale
si dice che una funzione f(x) ha un asintoto verticale di equazione x = x0 ( x0 ∈ R ) se:
lim ( x → x0 ) f(x) = + - ∞
considerando solo x → x0+ si parla di asintoto verticale destro
considerando solo x → x0- si parla di asintoto verticale sinistro
asintoto obliquo
si dice che una funzione f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q ( m ≠ 0 e q ∈ R) per x → + - ∞ se:
lim ( x → + - ∞ ) [ f(x) - mx - q ] = 0
LEMMA f ha asintoto obliquo di equazione y = mx + q per x → + - ∞ se 1) lim ( x → + - ∞ ) f(x) / x = m ≠ 0 2) lim ( x → + - ∞ ) f(x) - mx = q ∈ R
continuità
siano D ⊆ R e f : D → R . sia poi x0 ∈ D .
si dice che f è continua in x0 se
∀ε > 0 ∃ δ = δ ( ε, x0 ) > 0 : | f(x) - f(x0) | < ε ∀x ∈ D :
| x - x0 | < δ
“ se sono vicino ad x0, f(x) è vicina ad f(x0)
f continua in D
se f è continua in tutti i punti di D, si dice continua in D
f discontinua in x0
se f non è continua in x0, si dice discontinua in x0
oss. x0 è punto di accumulazione per D
discontinuità a salto (di prima specie)
si dice che x0 è punto di discontinuità a salto se
lim ( x → x0+ ) f(x) = L1 ∈ R
lim ( x → x0- ) f(x) = L2 ∈ R
ma L1 ≠ L2
discontinuità di seconda specie
si dice che x0 è punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno tra L1 e L2 è infinito o non esiste.
discontinuità eliminabile (di terza specie)
si dice che x0 è punto di discontinuità eliminabile se
L1 = L2 ∈ R ma f(x0) ≠ L1 = L2
funzione derivabile in x0
sia f : ( a, b ) → R e sia x0 ∈ ( a, b )
si dice che f è derivabile in x0 se esiste ed è finito il limite per h → 0 del rapporto incrementale.
se ciò accade, il valore del limite si chiama derivata prima della funzione in x0.
si chiama retta tangente al grafico nel punto x0 la retta di equazione y = f (x0) + f’ (x0) ( x - x0 ) (retta passante per f(x0) e x0 con coefficiente angolare f’(x0) )
funzione derivabile da destra in x0
se esiste ed è finito il limite per h → 0+ del rapporto incrementale, si dice che f è derivabile da destra in x0.
il valore di tale limite si chiama derivata destra in x0 e si indica con f’+ (x0)
funzione derivabile da sinistra in x0
se esiste ed è finito il limite per h → 0- del rapporto incrementale, si dice che f è derivabile da sinistra in x0.
il valore di tale limite si chiama derivata sinistra in x0 e si indica con f’- (x0)
funzione derivata
se f è derivabile in ogni punto di ( a, b ) la funzione
f’ : ( a, b ) → R che associa ad ogni x il valore di f’ (x) si dice funzione derivata
punto angoloso
sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che f ha un punto angoloso in x0 se
∃ f’+ ( x0 ) , f’- ( x0 ) ma f’+ ( x0 ) ≠ f’- ( x0 )
punto angoloso in senso lato
sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che f ha un punto angoloso in senso lato se
lim ( h → 0+ ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h e
lim ( h → 0- ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h
esistono entrambi ma solo uno di essi è finito
punto a tangente verticale
sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che x0 è un punto a tangente verticale se
lim ( h → 0 ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h = + ∞
oppure
lim ( h → 0 ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h = - ∞
cuspide
sia f : ( a, b ) → R , sia x0 ∈ ( a, b ) .
si dice che x0 è un punto di cuspide se
lim ( h → 0+ ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h e
lim ( h → 0- ) [ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / h
sono entrambi infiniti e sono diversi
punto di:
- massimo assoluto
- minimo assoluto
- massimo relativo
- minimo relativo
siano D ⊆ R e f : D → R. si dice che x0 è:
- punto di massimo assoluto se
f ( x0 ) >= f ( x ) ∀x ∈ D
- punto di minimo assoluto se
f ( x0 ) <= f ( x ) ∀x ∈ D
- punto di massimo relativo se
∃ δ > 0 : f ( x0 ) >= f ( x ) ∀x ∈ ( x0 - δ , x0 + δ ) ∩ D
- punto di minimo relativo se
∃ δ > 0 : f ( x0 ) <= f ( x ) ∀x ∈ ( x0 - δ , x0 + δ ) ∩ D
punto stazionario
se f è derivabile in x0 ∈ ( a, b ) e f’ ( x0 ) = 0, allora
x0 si dice punto stazionario
funzione derivabile 2 volte
siano I ⊆ R intervallo e f : I → R derivabile in R
sia poi x0 ∈ I . si dice che f è derivabile 2 volte in x0 se la funzione f’ : I → R è a sua volta derivabile in x0
funzione convessa
funzione concava
sia f : [ a, b ] → R . si dice che f è convessa se
∀ x1, x2 ∈ [ a, b ] e ∀ λ ∈ ( 0, 1 ) vale che :
f ( λ ( x1 ) + ( 1 - λ ) x2 ) <= λ f ( x1 ) + ( 1 - λ ) f ( x2 )
si dice che f è concava se non è convessa
( la funzione non deve necessariamente essere derivabile ne tantomeno continua )
punto di flesso
sia f : ( a, b ) → R derivabile in x0 ∈ ( a, b ) e sia t0 la retta tangente al grafico di f nel punto ( x0, f ( x0 ) )
( t0 ( x ) = f’ ( x0 ) - ( x - x0 ) + f ( x0 ) )
si dice che c0 è un punto di flesso se
∃ δ > 0 tale che f ( x ) - t0 ( x ) è rispettivamente >= 0 e <= 0 ( o viceversa ) in ( x0 - δ , x0 ) e ( x0 , x0 + δ)
punto di cambio di concavità
un punto x0 ∈ ( a, b ) si chiama punto di cambio di concavità se f è convessa in [ a, x0 ] e concava in [ x0, b ]
