Dimostrazioni

Question 1

teorema degli zeri

Answer 1

dimostrazione con metodo di bisezione
pongo c1 = ( a + b ) / 2 ( c punto medio di [ a, b ] )
se f (c) = 0 ho trovato lo zero
se f (c) ≠ 0 confronto il segno di f (c1) con quello di f(a)
se f(a) f(c1) < 0 considero l’intervallo [ a1, b1 ] dove a1 = a e b1 = c1
se invece f(a) f(c1) > 0 considero l’intervallo [ a1, b1 ] dove a1 = c1 e b1 = b
a questo punto itero il procedimento:
chiamo c2 = ( a1 + b1 ) / 2 …
iterando costruisco una successione di intervalli
[ an, bn ] :
1) an <= an + 1 e bn >= bn + 1 (an non è decrescente e bn non è crescente)
2) bn - an = ( b - a ) / 2^n ?
3) f (an) f (bn) < 0
siccome an e bn sono successioni monotone e limitate esse sono convergenti
an → L1 ∈ R
bn → L2 ∈ R
siccome bn - an = ( b - a ) / 2^n → 0 ( per n → ∞ )
sistema:
bn - an → 0
bn - an → L2 - L1
deduco che L2 - L1 = 0 quindi che L2 = L1
chiamo L2 = L1 = L
an → L , visto che f è continua f (an) → f (L)
bn → L , visto che f è continua f (bn) → f (L)
quindi f (an) f (bn) → f (L^2) >= 0
siccome f (an) f (bn) <= 0 ∀n
teorema di permanenza del segno f (L^2) <= 0
mettendo a sistema
f (L^2) <= 0
f (L^2) >= 0
l’unica soluzione è f (L^2) = 0 , quindi f (L) = 0
L è lo zero che cercavamo

Question 2

dimostrazione del Teorema di Fermat

Answer 2

supponiamo che x0 sia punto di massimo locale
∃ δ > 0 : f ( x0 ) >= f ( x ) ∀x ∈ ( x0 - δ , x0 + δ )
osservo che se x < x0, allora f ( x ) - f ( x0 ) <= 0
quindi ( f ( x ) - f ( x0 ) / ( x - x0 ) >= 0
per il teorema della permanenza del segno
lim ( f ( x ) - f ( x0 ) / ( x → x0- ) ( x - x0 ) = f’- ( x0 ) >= 0
osservo che se x > x0, allora f ( x ) - f ( x0 ) <= 0
quindi ( f ( x ) - f ( x0 ) / ( x - x0 ) <= 0
per il teorema della permanenza del segno
lim ( f ( x ) - f ( x0 ) / ( x → x0+ ) ( x - x0 ) = f’+ ( x0 ) <= 0
siccome f è derivabile f’- ( x0 ) = f’+ ( x0 )
quindi 0 <= f’- ( x0 ) = f’+ ( x0 ) <= 0
f’- ( x0 ) = f’+ ( x0 ) = f’ ( x0 ) = 0

Question 3

dimostrazione del Teorema di Lagrange

Answer 3

considero la funzione ausiliaria
g ( x ) = f ( x ) - [ f ( a ) + [ f ( b ) - f ( a ) ] / ( b - a ) ( x - a ) ]
- g è continua in [ a, b ] e derivabile in ( a, b )
- g ( b ) = g ( a ) = 0 ( facilmente dimostrabile mettendo a e b dentro a g(x) )
- g’ ( x ) = f’ ( x ) - [ f ( b ) - f ( a ) ] / ( b - a )
essendo g continua in [ a, b ], per il teorema di Weierstrass ∃ xm , xM ∈ [ a, b ] : M = g ( xM ) è massimo assoluto e m = g ( xm ) è minimo assoluto.
Ho due possibilità:
1) se m = M, allora g è costante e g’ ( x0 ) = 0 ∀x ∈ (a, b)
2) se m < M osservo che almeno uno tra xm e xM non si trova agli estremi dell’intervallo
il teorema di Fermat implica che nel punto di massimo o minimo che non si trova agli estremi dell’intervallo la derivata di g è = 0 , ossia
∃ x0 ∈ (a, b) : g’ ( x0 ) = 0
quindi
0 = g’ ( x0 ) = f’ ( x0 ) - [ f ( b ) - f ( a ) ] / ( b - a )
quindi
f’ ( x0 ) = [ f ( b ) - f ( a ) ] / ( b - a )