Teoremas, Lemas y corolarios 1 Flashcards
Teorema 1.1.1 (Teorema de División Entera).
No se ha solicitado demostrar
Dados a,b ∈ Z, con b ≠ 0, existen únicos q,r ∈ Z con 0 ≤ r < |b| y a = bq + r
Teorema 1.2.8 (Igualdad de Bézout).
Se pide enunciar varias veces y demostrar 1 vez. Se usa en otras demostr
Teorema 1.2.8 (Igualdad de Bézout). Sean a,b ∈ Z, con a,b ≠ 0, entonces
1. mcd(a,b) = mín{s > 0 : s = ax + by, para algún x,y ∈ Z}.
2. En particular, existen x,y ∈ Z tal que mcd(a,b) = ax + by.
Demostración. Llamemos S = {s > 0 : s = ax+by, para algún x,y ∈ Z}. Por definición, tenemos que S ⊂ Z+ y además ∅ ≠ S ya que tomando x = a e y = b, tenemos que s = ax + by = a2 + b2 > 0 así que a2 + b2 ∈ S. Entonces por el principio del buen orden, S tiene mínimo, y lo llamamos s0 = mínS. Queremos probar que s0 = mcd(a,b) y lo haremos probando las dos desigualdades. Tenemos entonces que s0 > 0 y que existen x0,y0 ∈ Z tales que s0 = ax0 + by0. Llamemos d = mcd(a,b). Como d | a y d | b, tenemos d | ax0 + by0 = s0. Por lo tanto d ≤ s0.
Probemos ahora que s0 divide a a y b. Por el teorema de divisón entera, tenemos que existen q,r ∈ Z con a = qs0 + r y 0 ≤ r < s0. Luego r = a − qs0 = a − q(ax0 + by0) = a(1 − qx0) + b(−qy0). Por lo tanto, si r fuera positivo tendríamos que r ∈ S; pero como s0 es el menor entero positivo en S y r < s0, tenemos que r debe ser igual a 0. Resulta entonces que a = qs0 y por lo tanto s0 | a. De igual modo se muestra que s0 | b. Hemos obtenido que s0 es un divisor común de a y b, luego s0 ≤ d.
Corolario 1.2.9. (de igualdad de Bezout) Sean a,b ∈ Z, no nulos.
Corolario 1.2.9. Sean a,b ∈ Z, no nulos.
1. Si e ∈ Z es tal que e | a y e | b entonces e | mcd(a,b).
2. mcd(a,b) = 1 ⇔ ∃x,y ∈ Z tal que ax + by = 1.
3. Si n ∈ Z entonces mcd(na,nb) = |n|mcd(a,b).
4. Sea d ∈ Z+ tal que a = da∗ y b = db∗ con a∗,b∗ ∈ Z. Entonces d = mcd(a,b) ⇔ mcd(a∗,b∗) = 1.
A los enteros a∗ y b∗ tales que a = mcd(a,b)a∗ y b = mcd(a,b)b∗ se les llama cofactores de a y b
Lema 1.2.10 (Lema de euclides)
Se pide enunciar y demostrar con frecuencia
Lema 1.2.10. Sean a,b,c ∈ Z con mcd(a,b) = 1. Si a | bc entonces a | c.
Demostración. Por la igualdad de Bézout, tenemos que existen x,y ∈ Z tales que 1 = ax + by. Multiplicando por c tenemos que c = cax + cby. Ahora, a | a y por hipótesis a | cb y por lo tanto a | a(cx) + cb(y) = c.
Corolario 1.2.11. (Del lema de euclides)
Corolario 1.2.11. Sea p un entero primo y b,c ∈ Z. Si p | bc entonces p | b o p | c
Si p ł b, entonces (al ser p primo) tenemos que mcd(p,b) = 1, y por el Lema de Euclides concluimos que p | c.
Observación 1.2.12. (Del lema de euclides)
Definición alternativa de primo
Observación 1.2.12. Sea p ∈ N que cumple que si p | bc entonces p | b o p | c, luego p es primo
Es una definición alternativa de primo.
Demostración. Supongamos por absurdo que p no es primo, entonces existen b y c tales que 1 < b,c < p y p = bc. Por hipótesis, como p | p = bc, se tiene que p | b o p | c. Además b | p y c | p. Concluimos que p = b o p = c, pero b,c < p. Por lo tanto p tiene que ser primo
Corolario 1.2.13. Sea p un entero primo, y a1,…,an enteros, tales que p | a1a2 ···an….
Corolario 1.2.13. Sea p un entero primo, y a1,…,an enteros, tales que p | a1a2 ···an. Entonces p | ai para algún i ∈ {1,··· ,n}
Teorema 1.5.3. Sean a,b y c enteros con (a,b) ≠ (0,0). Entonces la ecuación diofántica…
Teorema 1.5.3. Sean a,b y c enteros con (a,b) ≠ (0,0). Entonces la ecuación diofántica (demostracion)
Demostración. Por simplicidad, llamemos d = mcd(a,b). Al ser (a,b) ≠ (0,0) tenemos que d ≠ 0
Teorema 1.7.1 (Teorema Fundamental de la Aritmética)
Teorema 1.7.1 (Teorema Fundamental de la Aritmética). Sea n ∈ N, n > 1; entonces:
1. Existen primos p1,··· ,pk (no necesariamente distintos) con k ≥ 1, tales que n = p1 ···pk.
2. Hay unicidad en la factorización. Es decir, k (la cantidad de factores primos) es único y la lista de primos (contando repeticiones), p1,··· ,pk es única.
Corolario 1.7.2 (Del teorema fundamental)
Corolario 1.7.2. Existen infinitos primos
Demostración. Supongamos por absurdo que existe una cantidad finita de primos y sea {p1,··· ,pk} el conjunto de todos los primos. Consideremos el entero n = p1p2 ···pk + 1. Al ser n > 1, por el Teorema Fundamental de la Aritmética, n se escribe como producto de primos. En particular, existe algún primo p que divide a n, y como supusimos que todos los primos son {p1,··· ,pk} tenemos que pi | n para algún i ∈ {1,··· ,k}. Tenemos entonces que pi | p1p2 ···pk + 1, pero como pi | p1p2 ···pk, tenemos que pi | 1 lo cual es absurdo al ser pi > 1.
Corolario 1.7.6. Sea n=p^e1.p^e2…p^ek, con pi primos distintos y ei ∈ Z+. Entonces…
Teorema 2.4.2. Dados a,b,n ∈ Z y sea d = mcd(a,n). Entonces la ecuación ax ≡ b (mód n)…
Teorema 2.4.2. Dados a,b,n ∈ Z y sea d = mcd(a,n). Entonces la ecuación ax ≡ b (mód n)
tiene solución si y sólo si d | b. Además, si d | b existen exactamente d soluciones distintas módulo n.
Corolario 2.4.5. Un entero a es invertible módulo n si y sólo si…
Corolario 2.4.5. Un entero a es invertible módulo n si y sólo si mcd(a,n) = 1. Además, si a es invertible, el inverso de a módulo n es único módulo n
Teorema 2.5.1: Teorema chino del resto
Se pide enunciar regularmente y algunas veces demostrar para 2 ecuaciones
Se demuestra por inducción, es bastante largo
Teorema 2.6.5 (Teorema de Euler)
2.6.5 (Teorema de Euler). Sean n,a ∈ Z tales que mcd(a,n) = 1, entonces a^ϕ(n) ≡ 1 (mód n).
Corolario 2.6.7. Sean a,n dos enteros coprimos…
