Proposiciones y resoluciones 2 Flashcards
Proposición 3.1.3. Sea (G, ∗) un grupo y g, h ∈ G. Entonces:
Proposición 3.3.1. En la tabla de Cayley de un grupo cada elemento…
En la tabla de Cayley de un grupo, cada elemento de G aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna. Es decir, que cada columna y cada fila de la tabla es una permutación de los elementos de G.
Demostración. El elemento h aparece en la fila correspondiente a g y en la columna correspondiente a x, si y sólo si gx = h. Ya vimos que dados g y h en G existe un único x ∈ G tal que gx = h. Por lo tanto, en la fila de g, el elemento h y aparece una sola vez (en la columna de x). De forma análoga se prueba que cada elemento aparece una sola vez en cada columna
Proposición 3.4.1. Sea n ∈ Z y Zn…
Sea n ∈ Z, entonces (Zn,+) es un grupo abeliano
Proposición 3.4.2 Dados dos grupos (G,⋆, eG), (K,∗,eK) si consideramos el conjunto G×K = {(g,k) : g ∈ G,k ∈ K} con la operación coordenada a coordenada: (g,k)(g0,k0) = (g ⋆ g0,k ∗ k0)
Proposición 3.5.1. U(n) = {a : mcd(a,n) = 1}.
Proposición 3.5.1. (U(n),×,1) es un grupo abeliano con ϕ(n) elementos
Proposición 3.6.1: D3 = {id,r1,r2,s1,s2,s3}.
Proposición 3.6.1. (D3,◦,id) es un grupo de orden 6. Este grupo se llama grupo dihedral
Proposición 3.7.4. Propiedades de potencias y def grupo ciclico
En el caso en que para G, exista un elemento g ∈ G tal que ⟨g⟩ = G decimos que G es un grupo cíclico generado por g (o decimos que g es generador de G.)
Proposición 3.7.8. Si (G,∗,e) es un grupo y g ∈ G entonces
Proposición 3.7.9. Si (G,∗,e) es un grupo y g ∈ G entonces
Corolario 3.7.10. Sea G un grupo de orden finito. Entonces:
Grupo cíclico y subgrupos
Proposición 3.7.11. Sea G un grupo cíclico, entonces todo subgrupo de G también es cíclico
Demostración. Sugerencia: si G = ⟨g⟩ y H < G, probar que H = ⟨g^n⟩ siendo n = mín{m ∈ Z+ : g^m ∈ H}.
Proposición 3.9.3. Sean (G,∗,eG) y (K, ★,eK) dos grupos, f : G → K un homomorfismo y g ∈ G. Entonces
Proposición 3.9.7. Sean (G,∗,eG) y (K, ★,eK) dos grupos, f : G → K un homomorfismo y g ∈ G. Entonces (nucleo e imágen)
Proposición 3.9.9. Sean G un grupo cíclico finito con generador g y K un grupo finito..
Proposición 4.1.3. Sea n ∈ Z+. Si existe una raíz primitiva módulo n, entonces…
Proposición 4.1.4. Sea n ∈ Z+ y g ∈ {1,··· ,n}, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes
Proposición 5.3.1. Sean p,q,n,d y e definidos como antes, y las funciones de cifrado E(x) = x^e (mód n) y D(x) = x^d (mód n). Entonces se tiene que:
