Taluppfattning Flashcards
Förklara med ett konkret exempel vad som menas med att vårt talsystem är ett
positionssystem.
Det kallas positionssystem just för att det är positionen eller platsen för varje siffra som avgör dess värde. Varje position har ett visst värde (ental, tiotal, hundratal osv.), och siffran på den positionen berättar hur många av det värdet vi har.
T.ex. talet 523.
Talet 3 har samma värde som ett ental.
Talet 20 har samma värde som ett tiotal.
Talet 500 har samma värde som ett hundratal.
Pengar används ibland för att tydliggöra positionssystemet. Vad kan vara risken
med att använda pengar till just detta?
T.ex. om man har 152 kr (100 kr-lapp, 50kr-lapp och 2 mynt) kan man flytta pengarna i olika positioner utan att värdet i sig ändras. Det kan därför bli förvirrande för elever som inte greppat positionssystemet att förstå när vi skriver 152, behöver sifforna vara i rätt position för att kunna skriva 152, annars blir talet fel värde.
Ge ett annat exempel på praktiskt material som man kan använda för att
tydliggöra positionssystemet och ge förslag på en konkret övning.
För att undvika dessa risker kan det vara bra att kombinera användningen av pengar med andra verktyg och representationer, såsom:
Tiobasmaterial: Kuber, stavar och plattor som tydligt visar förhållandet mellan ental, tiotal, hundratal osv.
Med hjälp av tiobasmaterial kan man göra en övning där man ritar upp en tabell där varje tabell motsvarar en position i positionssystemet. Först kan man som lärare säga ett tal de ska bygga (t.ex. 342) och eleverna får då bygga med tiobasmaterialet så det motsvarar rätt position. Om eleverna sedan får utforska och laborera med egna tal, får eleverna möjlighet att öva på sina egna färdigheter och komma med egna förslag.
Vilka risker för missförstånd behöver du vara extra uppmärksam på om du
bestämmer dig för att använda en balansvåg för att introducera likhetstecknet för
eleverna?
Det största missförståndet kan vara att det handlar om vikt/volym och inte lär ut om likhetstecknets betydelse. Det kan bli förvirrande.
I uppgiften 2 + 3 = __ övas en aspekt av likhetstecknet. Ge ytterligare två
exempel på uppgifter där olika aspekter av likhetstecknet övas. Förklara också
varför det är viktigt att öva på olika aspekter.
4 + _ = 5 eller 5 = 6 - _
Flerdimensionell förståelse: Genom att variera uppgifterna får eleverna en mer nyanserad bild av vad likhetstecknet betyder. De lär sig att det inte bara handlar om att räkna ut ett svar, utan även om att jämföra, analysera och hitta olika lösningar.
Förbereder för algebra: Att arbeta med öppna meningar och jämförelser lägger en grund för senare algebraiska resonemang, där likhetstecknet spelar en central roll.
Förebygger missuppfattningar: Genom att exponeras för olika typer av uppgifter kan eleverna undvika att utveckla en för snäv eller felaktig uppfattning om likhetstecknet.
Ökar flexibiliteten i tänkandet: Genom att lösa problem på olika sätt blir eleverna mer flexibla i sitt matematiska tänkande.
Sammanfattningsvis är det viktigt att variera uppgifterna för att ge eleverna en så bred och djup förståelse som möjligt av likhetstecknet. Genom att öva på att fylla i tomma värden, jämföra uttryck och hitta olika lösningar utvecklar eleverna en solid grund för fortsatt matematiskt lärande.
Beskriv kortfattat en aktivitet (utan en balansvåg) som ökar elevernas förståelse
för likhetstecknet.
Aktivitet: “Bygg ett tåg”
Material:
Bildkort med olika antal tågvagnar (1-10)
Likhetstecken ritade på kort
Tågspår ritade på golvet eller på ett stort papper
Genomförande:
Introduktion: Förklara för eleverna att likhetstecknet betyder “lika mycket som”. Använd enkla exempel som två likadana muggar med lika mycket vatten.
Bygga tåg: Dela ut bildkort med tågvagnar till eleverna. Be dem att ställa upp sina tåg på tågspåret.
Skapa likheter: Visa två elever som har byggt tåg med lika många vagnar. Placera likhetstecknet mellan de två tågen och förklara att de har lika många vagnar.
Jämföra och diskutera: Låt eleverna jämföra sina tåg med andra elevers tåg. Fråga: “Har du lika många vagnar som din kompis?” “Hur kan vi visa det med likhetstecknet?”
Utmaning: Ge eleverna två tåg med olika antal vagnar. Be dem lägga till eller ta bort vagnar så att tågen blir lika långa.
Hemliga tal - En spännande resa med likhetstecknet
Syfte:
Förstärka förståelsen för likhetstecknets betydelse som ett tecken på balans eller lika mycket på båda sidor.
Träna på att tänka logiskt och resonera kring matematiska samband.
Göra matematiken rolig och engagerande.
Material:
Kort med olika matematiska uttryck (t.ex. 5 + 3, 8, 10 - 2, 6 + 1)
Kort med likhetstecknet
Ett kuvert för att gömma det hemliga talet
Genomförande:
Välj ett hemligt tal: Läraren eller en elev väljer ett tal och skriver det på ett kort, som sedan göms i kuvertet.
Ge ledtrådar: Läraren ger klassen ledtrådar om det hemliga talet genom att visa olika matematiska uttryck.
Skapa likheter: Eleverna arbetar i par eller grupp och försöker hitta vilka uttryck som är lika med det hemliga talet. De använder likhetstecknet för att visa dessa samband.
Resonera: Uppmuntra eleverna att resonera om varför de tror att ett visst uttryck är lika med det hemliga talet.
Avslöja det hemliga talet: När eleverna har diskuterat och kommit fram till några möjliga svar, öppnas kuvertet och det hemliga talet avslöjas.
Du jobbar med uppdelning av talet 5 och vill gärna börja i det konkreta för att
sedan gå över till det mer abstrakta.
a) Ge ett exempel på en konkret övning med praktiskt material.
b) Ge ett exempel på en mer abstrakt övning.
a) En konkret övning skulle kunna vara att använda föremål (klossar eller föremål som eleverna själva har samlat) och visa hur man kan dela upp talet 5. Denna uppdelning kan man göra med addition och subtraktion. Och visa olika exempel med föremålen (rita uppdelning av 5).
b) En mer abstrakt övning är att börja rita mer abstrakt. Det kan vara linjer på tavlan eller bollar. Kan även vara att man börjar introducera symbolerna (siffror) för att eleverna ska öva på de mer abstrakta symbolerna.
Du har ritat upp en hundraruta på skolgården och går ut med dina elever i åk 2 för
att använda den.
a) Ge två konkreta exempel på övningar du kan göra med dina elever i
hundrarutan för att utveckla deras taluppfattning.
b) Ge ett konkret exempel på en övning du kan göra i hundrarutan för att träna på
något av de fyra räknesätten. Observera att detta inte får vara samma övning som
du använt i uppgift a.
a) Övning 1: Skapa mönster
Material: Krita, hundrarutan på skolgården, olika färgade klossar eller stenar
Genomförande:
Låt eleverna tillsammans skapa olika mönster i hundrarutan.
Exempel på mönster: Hoppa två steg, hoppa tre steg, hoppa tio steg.
Markera varje hopp med en färg (röd för udda siffror, blå för jämna,).
Diskutera vilka mönster som uppstår och varför.
Syfte:
Utveckla förståelse för talföljder och mönster.
Se samband mellan tal och position i hundrarutan.
Stimulera till problemlösning och kreativitet.
Övning 2: Hoppa och räkna
Material: Krita, hundrarutan på skolgården
Genomförande:
Dela in klassen i mindre grupper.
Ge varje grupp en startsiffra.
Bestäm ett hopp (t.ex. hoppa två steg framåt, hoppa tio steg bakåt).
Låt eleverna turas om att hoppa och säga vilket tal de landar på.
Variera hopp och startsiffror för att öka svårighetsgraden.
Exempel:
Startsiffra: 25. Hoppa 3 steg framåt. Var hamnar du?
Startsiffra: 50. Hoppa 10 steg bakåt. Var hamnar du?
Syfte:
Träna på att hoppa framåt och bakåt i talraden.
Förstå talens position i förhållande till varandra.
Utveckla taluppfattning och siffersinne.
b) Det skulle kunna vara att träna multiplikation. Där man t.ex. arbetar med 3-tabell och se att när man multiplicerar med tre, måste man hoppa tre tre steg framåt. Medans 5-tabell måste man hoppa 5 steg. Samma sak skulle man göra med division, men där man hoppar tillbaka från det tal man har täljaren i och vilket tal som ska vara nämnaren.
Definiera följande begrepp:
a) Primtal
b) Kvot
c) Ordningstal
d) Positionssytemet
e) Kardinaltalsprincipen (antalsprincipen)
f) Subitisering
a) Primtal: Primtal är speciella tal som bara är delbara med sig själva och talet 1. Det betyder att de inte kan delas upp i mindre hela tal. Exempel på primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Exempel på tal som inte är primtal: 4 (kan delas med 2), 9 (kan delas med 3), 12 (kan delas med 2, 3, 4, 6). Primtal är som byggstenarna i matematiken. Alla andra tal kan byggas upp genom att multiplicera ihop primtal. Till exempel kan talet 12 skrivas som 2 x 2 x 3.
b) Kvot: Kvot är ett annat ord för resultatet av en division. När du delar ett tal med ett annat, så är svaret kvoten.
c) Ordningstal: Ordningstal är tal som visar vilken plats eller ordning något har i en serie. Till exempel: Första, andra, tredje.
d) Positionsystemet: Positionsystemet är ett sätt att skriva tal där varje siffras position anger dess värde. I vårt vanliga talsystem, det decimala systemet, använder vi tio olika siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Varje position i ett tal har ett visst värde. Positionen längst till höger är för ental. Nästa position till vänster är för tiotal. Sedan kommer hundratal, tusental och så vidare.
Exempel:
Talet 234 består av:
4 ental
3 tiotal
2 hundratal
Varför är positionsystemet viktigt?
Positionsystemet är grundläggande för vår förståelse av tal och räkning. Det gör det möjligt för oss att skriva och arbeta med stora tal på ett enkelt sätt. Utan positionsystemet skulle det vara mycket svårt att räkna med tal större än 9.
e) Kardinaltalsprincipen (antalsprincipen): en grundläggande princip som säger att två mängder har samma antal element om och endast om det finns en en-till-en-korrespondens mellan dem.
En-till-en-korrespondens: Det betyder att varje element i den ena mängden kan kopplas ihop med exakt ett element i den andra mängden, och vice versa.
Samma antal: Om det finns en en-till-en-korrespondens mellan två mängder, betyder det att de har samma antal element.
f) Subitisering: Subitisering är en förmåga som innebär att en individ kan snabbt uppfatta en liten grupp av föremål utan att behöva räkna varje föremål för sig. När vi ser en liten grupp av föremål, kan våra hjärnor omedelbart identifiera antalet utan att behöva räkna varje enskilt objekt. Detta sker genom att hjärnan använder mönster och grupperingar för att snabbt uppfatta det totala antalet.
Exempel på subitisering:
När vi ser en tärning, kan vi oftast omedelbart säga hur många prickar det är på den utan att behöva räkna varje prick. När vi ser en grupp av tre eller fyra objekt, kan vi oftast säga hur många det är utan att behöva räkna.
Du och din klass jobbar med positionssystemet och du har bett eleverna att
skriva talet 953 på miniräknaren. Du frågar sedan vilket tal som ska adderas
för att “femman” i talet ska bli en “sjua”. Flera elever i klassen kommer fram
till att man ska addera 2 på miniräknaren men ser när de testar att det inte
stämmer.
a) Förklara hur de har tänkt och vad de har missat.
b) Ge exempel på ett lämpligt material och en konkret övning med
materialet där man tydliggör det eleverna missförstått i uppgift a.
a) Deras tänkande går ut på att om man vill öka från värdet 5 till 7, så bör man addera 2 till talet. Detta är ett logiskt steg baserat på deras nuvarande förståelse.
Vad de har missat:
Positionsvärdet: Eleverna har inte fullt ut förstått att varje siffras värde beror på dess position i talet. När man adderar 2 till talet, adderar man egentligen 2 * 1 (två ental), vilket inte påverkar tiotalets värde på samma sätt som de tänkt sig.
Helhetsperspektivet på tal: Eleverna har fokuserat på en enskild siffra (femman) och glömt att talet är en helhet där varje siffra har ett specifikt värde beroende på sin position.
Förslag på konkret övning
Material:
Platsvärdetavla (eller liknande material som visar ental, tiotal, hundratal)
Kuber eller annat räknematerial
Övning:
Visualisera talet:
Låt eleverna representera talet 953 på platsvärdetavlan. De ska använda kuber för att visa 9 hundratal, 5 tiotal och 3 ental.
Förändra tiotalet:
Fråga eleverna: “Vad händer om vi vill att det ska stå en 7 istället för en 5 på tiotalsplatsen?”
Låt dem byta ut 5 tiotal mot 7 tiotal på tavlan. De kommer att behöva lägga till 2 tiotal.
Diskutera värdet:
Fråga: “Hur mycket har talet ökat när vi bytte ut 5 tiotal mot 7 tiotal?”
Eleverna kommer att se att talet har ökat med 20, inte 2.
Jämför med addition:
Gå tillbaka till den ursprungliga frågan: “Vad ska vi addera till 953 för att femman ska bli en sju?”
Låt eleverna testa att addera 2 på miniräknaren igen och jämföra resultatet med det de fått fram på platsvärdetavlan.
När man arbetar med likhetstecknet är det viktigt att elever får möta olika
typer av uppgifter. Ge exempel på tre olika subtraktionsuppgifter som elever behöver möta för att få en bra förståelse för likhetstecknet. Beskriv kortfattat på vilket sätt
uppgifterna bidrar till en förståelse för likhetstecknet.
- Traditionell subtraktionsuppgift:
Exempel: 12 - 5 = ?
Förståelse: Denna typ av uppgift är grundläggande och hjälper eleverna att förstå subtraktion som en operation för att ta bort eller jämföra mängder. De tränar på att hitta skillnaden mellan två tal. - Öppen subtraktionsuppgift:
Exempel: 8 = 15 - ?
Förståelse: Här måste eleverna tänka baklänges och förstå att likhetstecknet betyder att uttrycken på båda sidor är lika mycket värda. De behöver resonera om vilket tal som ska subtraheras från 15 för att få 8. Denna typ av uppgift utvecklar elevernas flexibla tänkande och förståelse för likhetstecknets roll som ett balanstecken. - Subtraktion med ett okänt tal på båda sidor:
Exempel: ? - 4 = 12 - 7
Förståelse: Den här typen av uppgift är mer komplex och kräver att eleverna analyserar hela uttrycket och jämför de två sidorna. De måste först förenkla båda sidor för att sedan lösa ut det okända talet. Detta bidrar till en djupare förståelse för likhetstecknets roll som en jämförelse mellan två uttryck.
Varför är dessa uppgifter viktiga för förståelsen av likhetstecknet?
Flera representationer: Genom att variera uppgifterna får eleverna möta likhetstecknet i olika sammanhang, vilket hjälper dem att se bortom den traditionella synen på likhetstecknet som enbart ett resultat av en beräkning.
Flexibelt tänkande: Öppna uppgifter och uppgifter med okända tal på båda sidor uppmuntrar eleverna att tänka flexibelt och använda olika strategier för att lösa problemen.
Djup förståelse: Genom att arbeta med olika typer av uppgifter får eleverna en djupare förståelse för vad likhetstecknet representerar, nämligen ett balans förhållande mellan två uttryck.
Beskriv hur man kan jobba med uppdelning av talet 7 i till exempel årskurs 1.
Du ska börja i det konkreta och avsluta i det abstrakta. Beskriv med tydliga
exempel vilka olika steg du som lärare behöver visa dina elever för att kunna
gå från det konkreta till det abstrakta med uppdelning av talet 7.
Konkreta material och aktiviteter
Manipulativa material:
Kuber, bilar eller andra små föremål: Låt eleverna dela upp en grupp om 7 föremål i olika mindre grupper. De kan till exempel dela upp 7 kuber i två grupper: 5 och 2, eller 3 och 4.
Tärningar: Slå en tärning två gånger och lägg ihop resultatet. Låt eleverna dela upp det totala antalet prickar i olika grupper.
Fingerspel: Använd fingrarna för att visa olika sätt att dela upp talet 7.
Visuella representationer:
Bildkort: Använd bilder på olika föremål (t.ex. äpplen, ballonger) för att visualisera uppdelningen.
Talraden: Använd en talrad för att hoppa framåt och bakåt för att visa olika sätt att dela upp talet 7.
Talsorteringsmattor: Låt eleverna sortera talkort i olika grupper beroende på hur de kan delas upp.
Från konkret till halvabstrakt
Tallinjer:
Använd en tallinje för att visualisera olika sätt att hoppa framåt och bakåt för att skapa talet 7. Till exempel kan man hoppa 3 steg och sedan 4 steg för att komma till 7.
Rita bilder:
Låt eleverna rita bilder för att visa olika sätt att dela upp talet 7. Till exempel kan de rita 7 äpplen och dela upp dem i två korgar.
Abstrakta representationer
Talpar:
Introducera begreppet talpar. Till exempel kan man skriva 7 = 3 + 4.
Använd en tabell för att organisera olika talpar som tillsammans blir 7.
Matematiska symboler:
Använd matematiska symboler för att skriva olika uppdelningar av talet 7. Till exempel: 7 = 5 + 2.
Du hör två elever diskutera vad som händer om man adderar två udda tal. En av
eleverna säger att man alltid får en jämn summa. Den andra eleven håller inte
med. Beskriv en aktivitet med konkret material du kan visa tillsammans med
eleverna för att de ska få syn på att två udda tal tillsammans alltid ger en jämn
summa.
En konkret aktivitet för att visa att två udda tal alltid ger en jämn summa
Material:
Två olika färgade klossar eller liknande föremål (t.ex. röda och blå)
En yta att arbeta på (t.ex. ett bord eller golvet)
Aktivitet:
Introduktion:
Börja med att förklara vad ett udda och ett jämnt tal är. Använd konkreta exempel och låt eleverna själva få känna på skillnaden genom att jämföra antalet fingrar på sina händer.
Visa att udda tal har “en över” när man delar dem i två lika stora grupper.
Konkret demonstration:
Steg 1: Ta fram ett udda antal röda klossar (t.ex. 3) och ett udda antal blå klossar (t.ex. 5).
Steg 2: Be eleverna räkna antalet klossar i varje grupp.
Steg 3: Sätt samman de två grupperna och räkna antalet klossar tillsammans.
Steg 4: Be eleverna att försöka dela upp den totala gruppen i två lika stora delar. De kommer att upptäcka att det går att göra utan att det blir någon “över”.
Upprepa med olika udda tal:
Upprepa steg 1-4 med olika kombinationer av udda tal.
Efter varje exempel, diskutera tillsammans varför summan alltid blir ett jämnt tal.
Visualisering:
Rita en enkel bild på tavlan för att illustrera vad som händer när man lägger ihop två udda tal. T.ex. kan man rita cirklar för att representera klossarna och visa hur de “parar ihop sig” när man lägger ihop dem.
Du har en grupp elever i klassen som behöver utmanas matematiskt och de har nu
fått i uppgift att skriva talet 38 i 5-bas. De börjar med att lägga ut 38 kuber på
bordet. Förklara/visa på ett elevnära sätt hur de kan lösa uppgiften.
Att skriva talet 38 i 5-bas: En steg-för-steg guide
Förståelse för 5-bas
Innan vi börjar är det viktigt att eleverna förstår vad 5-bas innebär. I vårt vanliga talsystem (bas 10) använder vi tio siffror (0-9) och grupperar om till tio när vi räknar. I 5-bas använder vi bara fem siffror (0-4) och grupperar om till fem.
Steg-för-steg guide
Dela in kuberna i femmor:
Be eleverna att dela in sina 38 kuber i grupper om fem. De kan använda olika färger eller former för att markera varje grupp om fem.
När de har gjort detta, kommer de att ha ett antal grupper om fem och några enstaka kuber över.
Tänk i femmor:
Förklara att varje grupp om fem kuber motsvarar ett “5-tal” i 5-bas. De enstaka kuberna representerar “entalen” i 5-bas.
Låt eleverna räkna hur många grupper om fem de har. Detta blir siffran på “femtalsplatsen” i 5-bas.
De enstaka kuberna som blev över blir siffran på “entalsplatsen” i 5-bas.
Skriv talet i 5-bas:
Nu när eleverna vet hur många femmor och hur många ental de har, kan de skriva talet i 5-bas.
Siffrorna skrivs i samma ordning som i vårt vanliga talsystem, men nu representerar de olika värden. Den första siffran från höger representerar entalen, och den andra siffran representerar femtalen.
Exempel:
Låt oss säga att eleverna har fått 38 kuber. När de delar in dem i grupper om fem får de 7 grupper om fem och 3 kuber över.
7 grupper om fem motsvarar 7 på “femtalsplatsen” i 5-bas.
3 enstaka kuber motsvarar 3 på “entalsplatsen” i 5-bas.
Så talet 38 i 5-bas skrivs som 13₅. (5-talet skrivs som en liten femma nere till höger för att visa att vi räknar i 5-bas.)
