savokos 3

Question 1

Funkcija

Answer 1

Funkcinį sąryšį F⊂X×Y vadiname funkcija iš X į Y ir žymime f:X→Y. Funkcija f kiekvienam elementui x∈X, priskiria tokį elementą f(x)∈Y, kad (x,f(x))∈F.

Question 2

Funkcinis sąryšis

Answer 2

Sąryšis F⊂X×Y yra funkcinis, jei kiekvienam x∈X egzistuoja vienintelė sutvarkytoji pora (x,y)∈F su kuriuo nors y∈Y.

Question 3

Funkcijos apibrėžimo sritis

Answer 3

Funkcinį sąryšį F ⊂ X × Y vadiname funkcija iš X į Y ir žymime f : X → Y .Aibė X vadinama funkcijos f apibrėžimo sritimi

Question 4

Funkcijos reikšmių sritis

Answer 4

Funkcinį sąryšį F ⊂ X × Y vadiname funkcija iš X į Y ir žymime f : X → Y. Aibė Y vadinama funkcijos f reikšmių sritimi.

Question 5

Funkcijos reikšmių aibė

Answer 5

Funkcijos f:X→Y visos įmanomos Y aibės reikšmės, kurias gali įgyti ši funkcija.

Question 6

Vertikaliosios tiesės požymis

Answer 6

1. kiekvienam x∈X yra bent vienas y∈Y, kuriam (x,y)∈F;
2. kiekvienam x∈X yra ne daugiau kaip vienas y∈Y, kuriam (x,y)∈F;

Question 7

skaičių seka

Answer 7

Jei N yra natūraliųjų skaičių aibė ir R yra realiųjų skaičių aibė, tai bet kuri funkcija f:N→R vadinama skaičių seka ir žymima savo reikšmėmis: (x_n)=(x_0,x_1,x_2,…,x_n,… ):=(f(0),f(1),f(2),…,f(n),…).

Question 8

tuščioji funkcija

Answer 8

Tegul Y yra aibė ir f:∅→Y yra tuščioji funkcija. Teiginiai f yra bijekcija, f yra siurjekcija, Y=∅ yra ekvivalentūs.

Question 9

funkcijos siaurinys

Answer 9

Tegul f:X→Y yra funkcija ir A⊂X. Funkcija f_A:A→Y su reikšmėmis f_A(x):=f(x) kiekvienam x∈A vadinama funkcijos f siauriniu aibėje A

Question 10

atvirkštinė funkcija

Answer 10

tegul f yra funkcija f:X→Y. Jei binariojo sąryšio sąlygas tenkinanti funkcija g:Y→X egzistuoja, tai ją vadinsime atvirkštine funkcijai f ir žymėsime f^−1.

Question 11

funkcijų kompozicija

Answer 11

Tegul f:X→Y ir g:U→V yra tokios dvi funkcijos, kurioms Y⊂U. Funkcija g◦f: X→V su reikšmėmis (g◦f )(x):= g(f(x)), x∈X, vadinama funkcijų g ir f kompozicija.

Question 12

aibės vaizdas funkcijos atžvilgiu

Answer 12

Tarkime, kad f yra funkcija f:X→Y, o A yra X poaibis. Aibė f[A]:={y∈Y: ∃x∈A: y=f(x)}={f(x): x∈A}, vadinama aibės A vaizdu atžvilgiu funkcijos f.
a f : X → Y

kiekvienam aibės X elementui priskiria reikšmių srities Y elementą. Bet ne kiekvienas šios aibės elementas privalo būti funkcijos f reikšme. Todėl yra prasmė
apibrėžti Y poaibį, kurį sudaro tik funkcijos f reikšmės.

Question 13

aibės pirmavaizdis funkcijos atžvilgiu

Answer 13

Tegul f:X→Y yra funkcija ir B⊂Y. Aibė f^−1[B]:={x∈X: f(x)∈B}, vadinama aibės B pirmavaizdžiu atžvilgiu funkcijos f.

Question 14

vienodos galios aibės

Answer 14

Tegul X ir Y yra aibės. X ir Y yra vienodos galios, rašoma X∼Y, jei egzistuoja bijekcija f:X→Y.

Question 15

aibės galia

Answer 15

Baigtinės aibės X elementų skaičius vadinamas aibės X galia. Aibės X galia žymima |X|.

Question 16

baigtinė aibė

Answer 16

Tegul X yra aibė. X yra baigtinė, jei egzistuoja toks n∈N, kad X yra vienodos galios su {i∈N:1 ≤ i ≤ n}, t.y. kai X=∅ arba X∼{1,2,…,n} su kuriuo nors n∈N\{0}.

Question 17

begalinė aibė

Answer 17

Tegul X yra aibė. X yra begalinė, jei X nėra baigtinė.

Question 18

baigtinės skaičių aibės maksimumas ir minimumas

Answer 18

Baigtinės natūraliųjų skaičių aibės S elementas v yra maksimumas, jei x ≤ v kiekvienam x ∈ S. Baigtinės
natūraliųjų skaičių aibės S elementas u yra minimumas, jei x ≥ u kiekvienam x ∈ S.

Question 19

suskaičiuojama aibė (10.2 apibrėžtis)

Answer 19

Aibė X vadinama suskaičiuojama, jei X∼N.

Question 20

nesuskaičiuojama aibė (10.2 apibrėžtis)

Answer 20

Aibė yra nesuskaičiuojama, jei ji yra begalinė ir nėra suskaičiuojama.

Question 21

realiųjų skaičių seka

Answer 21

Tarkime, kad sveikųjų skaičių aibė I yra baigtinė arba begalinė. Realiųjų skaičių seka, žymima (a_n)_n∈I, yra funkcija iš aibės I į aibę R.

Question 22

skaičių sekos indeksas

Answer 22

Skaičių sekos (a_n)_n∈I argumentas n∈I vadinamas sekos indeksu.

Question 23

skaičių sekos narys

Answer 23

Skaičių sekos (a_n)_n∈I reikšmė a_n∈R vadinama sekos nariu.

Question 24

skaičių seka (an) konverguoja į skaičių a

Answer 24

Tarkime, kad (a_n) yra realiųjų skaičių seka ir a yra realusis skaičius. (a_n) konverguoja į a, jei kiekvienam realiajam skaičiui ϵ>0 egzistuoja toks natūralusis skaičius N_0=N(ϵ), kad kiekvienam n∈N teisinga implikacija: jei n≥N_0, tai |a_n−a|<ϵ.

Question 25

konverguojanti seka

Answer 25

Seka (a_n) konverguoja, jei egzistuoja toks a∈R, kad (a_n) konverguoja į a.

Question 26

konverguojančios sekos riba

Answer 26

Jei realiųjų skaičių seka (a_n) konverguoja į realujį skaičių a, tai a vadinamas sekos (a_n) riba, o šis faktas išreiškiamas simboliu lim(n→∞)a_n=a.

Question 27

diverguojanti seka

Answer 27

Jei realiojo skaičiaus, į kurį konverguoja seka (a_n), nėra, tai sakoma, kad ji diverguoja. (nėra ribos į kurią ji konverguotų).

Question 28

aprėžta seka

Answer 28

Sakoma, kad (an) yra aprėžta, jei egzistuoja toks realusis skaičius M, kad nelygybė |an| ≤ M teisinga visiems n ∈ IN.

Question 29

Cauchy seka

Answer 29

Realiųjų skaičių seka (a_n) vadinama Cauchy seka, jei bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui ϵ, egzistuoja toks natūralusis skaičius N=N(ϵ)∈IN, kad visiems n∈IN ir k∈IN galioja implikacija
jei n > k ≥ N, tai |a_n−a_k|<ϵ.

Question 30

skaičių sekų suma

Answer 30

Jei (a_n) ir (b_n) yra sekos, tai jų suma yra seka (a_n + b_n), t.y a_0+b_0, a_1 + b_1, …., an + bn.

Question 31

aprėžta iš viršaus aibė ir jos viršutinis rėžis

Answer 31

Aibė A aprėžta iš viršaus, jei egzistuoja toks M∈R, kad ∀x∈A,x≤M. M vadinamas aibės A viršutiniu rėžiu.

Question 32

aprėžta aibė

Answer 32

Aibė A yra aprėžta, jei ji yra aprėžta iš viršaus ir iš apačios.

Question 33

aibės mažiausias viršutinis rėžis

Answer 33

Tegu A yra realiųjų skaičių aibė ir M∈R ir M yra aibės A mažiausias viršutinis rėžis, jei jis yra tos aibės viršutinis rėžis ir kiekvienas kitas tos aibės viršutinis rėžis yra nemažesnis už M.

Question 34

aibės didžiausias apatinis rėžis

Answer 34

m∈R yra aibės A didžiausias apatinis rėžis arba DAR, jei jis yra tos aibės apatinis rėžis ir kiekvienas kitas tos aibės apatinis rėžis yra nedidesnis už m.

Question 35

aibės tikslus viršutinis rėžis

Answer 35

Aibės mažiausias viršutinis rėžis M vadinamas supremumu arba tiksliuoju viršutiniu rėžiu ir žymimas sup A:=M.

Question 36

aibės tikslus apatinis rėžis

Answer 36

Aibės didžiausias apatinis rėžis m vadinamas infimumu arba tiksliuoju apatiniu rėžiu ir žymimas inf A := m.

Question 37

aibės maksimumas ir minimumas

Answer 37

Tegul A yra netuščia realiųjų skaičių aibė. Jei supA∈A, tai supA vadinamas aibės A maksimumu ir žymima maxA:=supA. Jei infA∈A, tai infA vadinamas aibės A minimumu ir naudojamas žymėjimas minA:=infA.