savokos 3 Flashcards
Funkcija
Funkcinį sąryšį F⊂X×Y vadiname funkcija iš X į Y ir žymime f:X→Y. Funkcija f kiekvienam elementui x∈X, priskiria tokį elementą f(x)∈Y, kad (x,f(x))∈F.
Funkcinis sąryšis
Sąryšis F⊂X×Y yra funkcinis, jei kiekvienam x∈X egzistuoja vienintelė sutvarkytoji pora (x,y)∈F su kuriuo nors y∈Y.
Funkcijos apibrėžimo sritis
Funkcinį sąryšį F ⊂ X × Y vadiname funkcija iš X į Y ir žymime f : X → Y .Aibė X vadinama funkcijos f apibrėžimo sritimi
Funkcijos reikšmių sritis
Funkcinį sąryšį F ⊂ X × Y vadiname funkcija iš X į Y ir žymime f : X → Y. Aibė Y vadinama funkcijos f reikšmių sritimi.
Funkcijos reikšmių aibė
Funkcijos f:X→Y visos įmanomos Y aibės reikšmės, kurias gali įgyti ši funkcija.
Vertikaliosios tiesės požymis
- kiekvienam x∈X yra bent vienas y∈Y, kuriam (x,y)∈F;
- kiekvienam x∈X yra ne daugiau kaip vienas y∈Y, kuriam (x,y)∈F;
skaičių seka
Jei N yra natūraliųjų skaičių aibė ir R yra realiųjų skaičių aibė, tai bet kuri funkcija f:N→R vadinama skaičių seka ir žymima savo reikšmėmis: (x_n)=(x_0,x_1,x_2,…,x_n,… ):=(f(0),f(1),f(2),…,f(n),…).
tuščioji funkcija
Tegul Y yra aibė ir f:∅→Y yra tuščioji funkcija. Teiginiai f yra bijekcija, f yra siurjekcija, Y=∅ yra ekvivalentūs.
funkcijos siaurinys
Tegul f:X→Y yra funkcija ir A⊂X. Funkcija f_A:A→Y su reikšmėmis f_A(x):=f(x) kiekvienam x∈A vadinama funkcijos f siauriniu aibėje A
atvirkštinė funkcija
tegul f yra funkcija f:X→Y. Jei binariojo sąryšio sąlygas tenkinanti funkcija g:Y→X egzistuoja, tai ją vadinsime atvirkštine funkcijai f ir žymėsime f^−1.
funkcijų kompozicija
Tegul f:X→Y ir g:U→V yra tokios dvi funkcijos, kurioms Y⊂U. Funkcija g◦f: X→V su reikšmėmis (g◦f )(x):= g(f(x)), x∈X, vadinama funkcijų g ir f kompozicija.
aibės vaizdas funkcijos atžvilgiu
Tarkime, kad f yra funkcija f:X→Y, o A yra X poaibis. Aibė f[A]:={y∈Y: ∃x∈A: y=f(x)}={f(x): x∈A}, vadinama aibės A vaizdu atžvilgiu funkcijos f.
a f : X → Y
kiekvienam aibės X elementui priskiria reikšmių srities Y elementą. Bet ne kiekvienas šios aibės elementas privalo būti funkcijos f reikšme. Todėl yra prasmė
apibrėžti Y poaibį, kurį sudaro tik funkcijos f reikšmės.
aibės pirmavaizdis funkcijos atžvilgiu
Tegul f:X→Y yra funkcija ir B⊂Y. Aibė f^−1[B]:={x∈X: f(x)∈B}, vadinama aibės B pirmavaizdžiu atžvilgiu funkcijos f.
vienodos galios aibės
Tegul X ir Y yra aibės. X ir Y yra vienodos galios, rašoma X∼Y, jei egzistuoja bijekcija f:X→Y.
aibės galia
Baigtinės aibės X elementų skaičius vadinamas aibės X galia. Aibės X galia žymima |X|.
baigtinė aibė
Tegul X yra aibė. X yra baigtinė, jei egzistuoja toks n∈N, kad X yra vienodos galios su {i∈N:1 ≤ i ≤ n}, t.y. kai X=∅ arba X∼{1,2,…,n} su kuriuo nors n∈N\{0}.
begalinė aibė
Tegul X yra aibė. X yra begalinė, jei X nėra baigtinė.
baigtinės skaičių aibės maksimumas ir minimumas
Baigtinės natūraliųjų skaičių aibės S elementas v yra maksimumas, jei x ≤ v kiekvienam x ∈ S. Baigtinės
natūraliųjų skaičių aibės S elementas u yra minimumas, jei x ≥ u kiekvienam x ∈ S.
suskaičiuojama aibė (10.2 apibrėžtis)
Aibė X vadinama suskaičiuojama, jei X∼N.
nesuskaičiuojama aibė (10.2 apibrėžtis)
Aibė yra nesuskaičiuojama, jei ji yra begalinė ir nėra suskaičiuojama.
realiųjų skaičių seka
Tarkime, kad sveikųjų skaičių aibė I yra baigtinė arba begalinė. Realiųjų skaičių seka, žymima (a_n)_n∈I, yra funkcija iš aibės I į aibę R.
skaičių sekos indeksas
Skaičių sekos (a_n)_n∈I argumentas n∈I vadinamas sekos indeksu.
skaičių sekos narys
Skaičių sekos (a_n)_n∈I reikšmė a_n∈R vadinama sekos nariu.
skaičių seka (an) konverguoja į skaičių a
Tarkime, kad (a_n) yra realiųjų skaičių seka ir a yra realusis skaičius. (a_n) konverguoja į a, jei kiekvienam realiajam skaičiui ϵ>0 egzistuoja toks natūralusis skaičius N_0=N(ϵ), kad kiekvienam n∈N teisinga implikacija: jei n≥N_0, tai |a_n−a|<ϵ.
konverguojanti seka
Seka (a_n) konverguoja, jei egzistuoja toks a∈R, kad (a_n) konverguoja į a.
konverguojančios sekos riba
Jei realiųjų skaičių seka (a_n) konverguoja į realujį skaičių a, tai a vadinamas sekos (a_n) riba, o šis faktas išreiškiamas simboliu lim(n→∞)a_n=a.
diverguojanti seka
Jei realiojo skaičiaus, į kurį konverguoja seka (a_n), nėra, tai sakoma, kad ji diverguoja. (nėra ribos į kurią ji konverguotų).
aprėžta seka
Sakoma, kad (an) yra aprėžta, jei egzistuoja toks realusis skaičius M, kad nelygybė |an| ≤ M teisinga visiems n ∈ IN.
Cauchy seka
Realiųjų skaičių seka (a_n) vadinama Cauchy seka, jei bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui ϵ, egzistuoja toks natūralusis skaičius N=N(ϵ)∈IN, kad visiems n∈IN ir k∈IN galioja implikacija
jei n > k ≥ N, tai |a_n−a_k|<ϵ.
skaičių sekų suma
Jei (a_n) ir (b_n) yra sekos, tai jų suma yra seka (a_n + b_n), t.y a_0+b_0, a_1 + b_1, …., an + bn.
aprėžta iš viršaus aibė ir jos viršutinis rėžis
Aibė A aprėžta iš viršaus, jei egzistuoja toks M∈R, kad ∀x∈A,x≤M. M vadinamas aibės A viršutiniu rėžiu.
aprėžta aibė
Aibė A yra aprėžta, jei ji yra aprėžta iš viršaus ir iš apačios.
aibės mažiausias viršutinis rėžis
Tegu A yra realiųjų skaičių aibė ir M∈R ir M yra aibės A mažiausias viršutinis rėžis, jei jis yra tos aibės viršutinis rėžis ir kiekvienas kitas tos aibės viršutinis rėžis yra nemažesnis už M.
aibės didžiausias apatinis rėžis
m∈R yra aibės A didžiausias apatinis rėžis arba DAR, jei jis yra tos aibės apatinis rėžis ir kiekvienas kitas tos aibės apatinis rėžis yra nedidesnis už m.
aibės tikslus viršutinis rėžis
Aibės mažiausias viršutinis rėžis M vadinamas supremumu arba tiksliuoju viršutiniu rėžiu ir žymimas sup A:=M.
aibės tikslus apatinis rėžis
Aibės didžiausias apatinis rėžis m vadinamas infimumu arba tiksliuoju apatiniu rėžiu ir žymimas inf A := m.
aibės maksimumas ir minimumas
Tegul A yra netuščia realiųjų skaičių aibė. Jei supA∈A, tai supA vadinamas aibės A maksimumu ir žymima maxA:=supA. Jei infA∈A, tai infA vadinamas aibės A minimumu ir naudojamas žymėjimas minA:=infA.
