savokos 2

Question 1

tuščioji aibė

Answer 1

a. Tuščioji aibė neturi elementų, tačiau ji pati gali būti kitos aibės elementu. Tuščioji aibė yra bet kurios aibės X poaibis, t.y. ∅ ⊂ X
b. Elementų neturinti vienintelė aibė vadinama tuščiąja aibe ir žymima ∅.

Question 2

aibė ir jos elementas

Answer 2

aibė yra savarankišką matematinį objektą sudarantis matematinių objektų rinkinys, galimai tuščias. Aibę sudarantys objektai vadinami aibės elementais.

Question 3

poaibis

Answer 3

tegul X ir Y yra aibės. Sakoma, kad X yra Y poaibis, žymima X ⊂ Y , jei teisingas teiginys ∀x, (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )

Question 4

aibių lygybė

Answer 4

Aibės X ir Y yra lygios tada ir tik tada, kai X ⊂ Y ir Y ⊂ X.

Question 5

aibių sąjunga

Answer 5

Dviejų aibių X ir Y sąjunga yra aibė X ∪ Y := {x: [x ∈ X] ∨ [x ∈ Y ]}

Question 6

aibių sankirta

Answer 6

Dviejų aibių X ir Y sankirta yra aibė X ∩ Y := {x ∈ X ∪ Y : [x ∈ X] ∧ [x ∈ Y ] } .

Question 7

aibių skirtumas

Answer 7

Dviejų aibių X ir Y skirtumas yra aibė tų X elementų, kurie nėra Y elementais, t.y. aibė X \ Y := {x ∈ X : x ̸∈ Y }.

Question 8

sutvarkytoji pora

Answer 8

Sutvarkytoji pora, yra dviejų objektų sudarytas rinkinys, kuriuo vienareikšmiškai nurodomas pirmasis objektas ir antrasis objektas.

Question 9

binarusis sąryšis

Answer 9

Tegul X ir Y yra aibės. Kai X=Y, bet kuris Descarteso sandaugos X x X poaibis B vadinamas aibės X binariuoju sąryšiu

Question 10

Descarteso sandauga

Answer 10

dviejų aibių X ir Y Descarteso sandauga yra aibė, žymima X × Y, kurios elementais yra visos tos sutvarkytos poros, kurių pirmoji komponentė yra aibės X elementas ir antroji komponentė yra aibės Y elementas. Kitaip tariant: X × Y := {(x, y): x ∈ X ir y ∈ Y}.

Question 11

sąryšio trichotomija

Answer 11

tegul X - aibė. Sakoma, kad aibės X binarusis sąryšis B yra trichotomija, jei bet kuriems x ∈ X ir y ∈ X galioja tik viena iš trijų alternatyvų:
arba (x, y) ∈ B,
arba (y, x) ∈ B,
arba x = y.

Question 12

sąryšio pilnumas

Answer 12

tegul X yra aibė. Sakoma, kad aibės X binarusis sąryšis B yra pilnas, jei bet kuriems x ∈ X ir y ∈ X yra
arba (x, y) ∈ B,
arba (y, x) ∈ B
(arba ir vienas, ir kitas).

Question 13

sąryšio tranzityvumas

Answer 13

tegul X yra aibė. Sakoma, kad aibės X binarusis sąryšis B yra tranzityvus,

jei bet kuriems x ∈ X, y ∈ X ir z ∈ X, iš to, kad (x, y) ∈ B
ir (y, z) ∈ B išplaukia (x, z) ∈ B;

Question 14

sąryšio simetriškumas

Answer 14

tegul X yra aibė. Sakoma, kad aibės X binarusis sąryšis B yra simetriškas, jei bet kuriems x ∈ X ir y ∈ X, (x, y) ∈ B tada ir tik tada, kai (y, x) ∈ B.

Question 15

sąryšio antisimetriškumas

Answer 15

tegul X yra aibė. Sakoma, kad aibės X binarusis sąryšis B yra antisimetriškas, jei visiems x ∈ X ir y ∈ X, iš (x, y) ∈ B ir (y, x) ∈ B išplaukia x = y.

Question 16

sąryšio refleksivumas

Answer 16

tegul X yra aibė. Sakoma, kad aibės X binarusis sąryšis B yra refleksyvus, jei (x, x) ∈ B kiekvienam x ∈ X.

Question 17

ekvivalentumo sąryšis

Answer 17

tegul X yra aibė. Aibės X binarusis sąryšis ≅ vadinamas ekvivalentumo sąryšiu, jei ≅ yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus.

Question 18

ekvivalentumo klasė

Answer 18

Jei ≃ yra aibės X ekvivalentumo binarusis sąryšis, tai elemento x ∈ X ekvivalentumo klase sąryšio ≃ atžvilgiu vadinama aibė

[x] := [x]≃ := {y ∈ X: y ≃ x}.

Question 19

faktoraibė

Answer 19

Ekvivalentumo klasių aibė [X]≃ := {[x]≃ : x ∈ X} vadinama faktoraibe sąryšio ≃ atžvilgiu.