savokos 1 Flashcards
euristinis samprotavimas
samprotavimas, kuriuo bandoma suprasti teiginį, nuspėti, ar jis gali būti teisingas ar klaidingas ir galiausiai numatyti išsikelto hipotezės įrodymą
loginis samprotavimas
nuoseklus mąstymo procesas, kuriuo nuo prielaidų einama prie išvadų kiekviename žingsnyje taikant loginio išvedimo taisykles.
matematinis samprotavimas
a. Euristinis ir loginis samprotavimas atliekami vienas po kito yra matematinis samprotavimas.¬
b. Siekia supratimom aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosim kuriame svarbu tik gebėjimasnaudtis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės
ekvivalenčios aibės
kurios turi tą patį elementų skaičių arba gali būti vienodai priskirtos viena kitai pagal tam tikras taisykles.
lyginiai ir nelyginiai skaičiai
sveikasis skaičius yra lyginis, jei jis dalosi iš dviejų. Priešingu atveju, kai nesidalo iš dviejų, sveikasis skaičius vadinamas nelyginiu
teiginys
a. teiginiu (angl. proposition) vadiname tai, kas išreiškiama prasmingu deklaratyviu sakiniu ir yra arba teisinga, arba klaidinga.
paprasti ir sudėtiniai teiginiai
paprasti teiginiai - Tai teiginiai, kurie neapima kitų teiginių ir neišreiškia sudėtingų loginių struktūrų. Paprastai jie turi tik vieną reikšmę – tiesą arba melą.
sudėtiniai - Tai teiginiai, kurie sujungia kelis paprastus teiginius naudodami logines jungtis, tokias kaip “ir”, “arba”, “jeigu…tai”, “ne” ir t. t.
negalimo trečiojo dėsnis
kiekvienas teiginys yra arba teisingas arba klaidingas
neprieštaringumo dėsnis
kiekvienas teiginys nėra teisingas ir klaidingas
teiginio loginė forma
frazė, kurią sudaro loginiai kintamieji ir loginiai jungtukai
konjunkcija
a. loginis veiksmas, sujungiantis du ar daugiau teiginių ir yra atliekamas vartojant jungtuką „ir“.
disjunkcija
a. loginis veiksmas, sujungiantis du ar daugiau teiginių, ir yra atliekamas vartojant jungtuką „arba“.
implikacija
a. sakinys „jei A, tai B”, žymimas „A → B”. Yra klaidingas, jei A teisingas ir B klaidingas.
atvirkštinė implikacija
a. Sakinys „¬B → ¬A“, jei ne b, tai ne a
priešingoji implikacija
a. B → A yra A→ B priešingoji implikacija. Kai sukeiti hipotezę ir išvadą
ekvivalencija
a. sakinys „A tada ir tik tada, kai B”, žymimas „A ↔ B”. Yra klaidingas, jei A → B klaidinga arba B → A klaidinga. Visais kitais atvejais yra teisingas.
loginė išvada
a. jei implikacija A → B teisinga visada, tai implikacija vadinama logine išvada ir žymima A ⇒ B.
ekvivalentumas
a. kai ekvivalencija A ↔ B teisinga visada, žymima A ⇔ B.
Ekvivalentumas logikoje ir matematikoje reiškia dviejų teiginių santykį, kai jie abu turi tą pačią tiesos reikšmę — abu yra arba teisingi, arba klaidingi.
tautologija
a. sudėtinis teiginys, kurio teisingumo reikšmė visada t, nepriklausomai nuo jį sudarančių paprastųjų teiginių teisingumo reikšmių.
prieštara
a. sudėtinis teiginys, kurio teisingumo reikšmė visada k, nepriklausomai nuo jį sudarančių paprastųjų teiginių teisingumo reikšmių.
taisyklingas dedukcinis argumentas
a. jei prielaidos yra teisingos, tai išvada taip pat privalo būti teisinga. Taisyklingumo kriterijus grindžiamas tuo, kad logiškai neįmanoma, jog prielaidos būtų teisingos, o išvada — klaidinga.
kvantifikuoti teiginiai
Kvantoriais apriboti nuo kintamųjų priklausantys sakiniai
predikatas
a. sakinys, priklausantis nuo vieno ar kelių kintamųjų ir tampantis teiginiu, kai įstatomos kintamųjų reikšmės arba yra apriboti kvantoriais.
egzistavimo kvantorius
Egzistavimo kvantorius yra simbolis logikoje, žymimas ∃, kuris reiškia „egzistuoja bent vienas“. Jis naudojamas teiginiams, kurie nurodo, kad egzistuoja bent vienas objektas, tenkinantis tam tikrą sąlygą. Egzistavimo kvantorius sako, kad teiginys teisingas bent vienam iš tam tikros srities objektų.
bendrumo kvantorius
Bendrumo kvantorius yra simbolis logikoje, žymimas ∀, reiškiantis „visiems“ arba „kiekvienam“. Jis naudojamas teiginiams, kurie nurodo, kad tam tikra savybė galioja visiems tam tikros srities objektams.
- Išvedimo taisyklė: Modus Ponens;
a. loginio išvedimo taisyklė, kai žinoma, kad teiginys A teisingas ir implikacija A->B teisinga, tada daroma išvada, kad teiginys B privalo būti teisingas.
- Kvantifikuotų teiginių neigimas;
a. Kvantifikuotų teiginių neigimas – teiginių su bendrumo (∀) arba egzistavimo (∃) kvantoriumi neigimas, t. y. kvantoriaus teiginyje pakeitimas kitu, taip paneigiant pradinį kvantifikuotą teiginį.
sąvoka
a. Matematikos objektų savybių deriniai sudaro tai, kas vadinama matematikos sąvoka. Pavyzdžiui, funkcijos tolydumo savybė apibrėžia tolydžiosios funkcijos sąvoką.
sąvokos apimtis
a. Rinkinys objektų, turinčių sąvokos apibūdinime išvardintas savybes, vadinamas sąvokos ekstensija - tai sąvokos apimtis
sąvokos turinys
Turinys apibūdina, kokios savybės turi turėti objektai, kad jie patektų į sąvokos apimtį (kokie yra požymiai).
apibrėžtis
Apibrėžtis yra tikslus ir aiškus sąvokos apibrėžimas, nurodantis, kokie požymiai būdingi sąvokai ir kas ją išskiria iš kitų. Tai būdas tiksliai apibrėžti, kas yra tam tikras objektas ar reiškinys.
teorema
teorema yra teiginys, turintis bent vieną įrodymą
teiginio įrodymas
nustatymas ar teiginys yra teisingas ar klaidingas naudojant loginius argumentus \
matematinis įrodymas yra loginis samprotavimas pagrindžiantis intuityvias idėjas apie matematinius objektus. Kitaip tariant, įrodymas logikos priemonėmis pagrindžia euristinį samprotavimą apie abstrakčių objektų savybes
tiesioginis įrodymas
a. Tai yra implikacijos A->B įrodymas , kai siekiama parodyti, kad negalima A-t, o B-k teisingumo reikšmių pora. Įrodinėjant tariama, kad teiginys A teisingas; 2. naudojant A teisingumą, išvedamas B teisingumas; 3. atsisakoma teiginio A teisingumo prielaidos ir daroma išvada, kad A ⇒ B
netiesioginis įrodymas
a. taip vadinamas įrodymas naudojant kontrapoziciją, t.y. remiantis implikacijų A ⇒ B ir (¬B) ⇒ (¬A) ekvivalentumu.
įrodymas prieštaros būdu
a. įrodinėjimo būdas, kai tariama, kad priešingas teiginiui teiginys yra teisingas ir su juo gaunama prieštara C ir (-|c). Čia pagrįsta trečio dėsnio negalimumo prielaida, kai teiginys yra arba teisingas arba klaidingas
matematinė indukcija
a. įrodyti teiginį T(0) ir, laisvai pasirinkus n, įrodyti teiginį T(n + 1), jei teisingas teiginys T(n). Pastaruoju atveju, remiantis MP išvedimo taisykle, galima daryti išvadą, kad teiginys T(n) teisingas kiekvienam n ∈ N. Toks įrodymas vadinamas įrodymu matematinės indukcijos principu
b. Matematinė indukcija yra loginis įrodymo metodas, naudojamas teiginiams, kurie priklauso nuo natūralių skaičių (n = 1, 2, 3, …), įrodyti. Tai veikia remiantis tuo, kad jei tam tikras teiginys teisingas pradinei reikšmei, ir jei, darant prielaidą, kad jis teisingas bet kokiam natūraliam skaičiui nnn, galima įrodyti, jog jis teisingas ir n+1n+1n+1, tada teiginys yra teisingas visiems natūraliems skaičiams.
