Relationen und Funktionen - nicht fertig Flashcards
Was bedeutet Reflexivität in Bezug auf Relationen?
Eine Relation R auf einer Menge A ist reflexiv, wenn für jedes Element a in A gilt: (a, a) ∈ R.
Gibt es eine Reflexivität in der Relation R = {(1, 1), (1, 2)}?
Nein, da (2, 2) in der Relation fehlt, ist sie nicht reflexiv.
Was ist eine symmetrische Relation?
Eine Relation R ist symmetrisch, wenn für alle a, b gilt: Wenn (a, b) ∈ R, dann ist auch (b, a) ∈ R.
Ist die Relation R = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} symmetrisch?
Ja, da für jedes (a, b) auch (b, a) in der Relation enthalten ist.
Was versteht man unter Transitivität von Relationen?
Eine Relation R ist transitiv, wenn für alle a, b, c gilt: Wenn (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R, dann ist auch (a, c) ∈ R.
Gibt es Transitivität in der Relation R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}?
Ja, die Relation ist transitiv, da (1, 2) und (2, 3) zu (1, 3) führen.
Fülle die Lücke: Eine Relation ist __________, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
äquivalent
Ist die Relation R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} reflexiv?
Ja, da (1, 1) und (2, 2) enthalten sind.
Wahr oder Falsch: Jede leere Relation ist reflexiv.
Falsch, da keine Elemente vorhanden sind, die die Bedingung erfüllen.
Nenne ein Beispiel für eine nicht-symmetrische Relation.
Die Relation R = {(1, 2)} ist nicht symmetrisch, da (2, 1) fehlt.
Wie prüft man, ob eine Relation transitiv ist?
Man überprüft, ob für alle a, b, c die Bedingung gilt: Wenn (a, b) und (b, c) in der Relation sind, dann muss auch (a, c) in der Relation sein.
Was ist die Beziehung zwischen Reflexivität und Symmetrie?
Eine Relation kann reflexiv sein, ohne symmetrisch zu sein, und umgekehrt.
Wahr oder Falsch: Jede symmetrische Relation ist auch reflexiv.
Falsch, da eine symmetrische Relation auch ohne Reflexivität existieren kann.
Wie viele Eigenschaften hat eine Relation, um als Äquivalenzrelation zu gelten?
Drei: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Nenne eine Eigenschaft, die alle Äquivalenzrelationen besitzen.
Sie sind immer reflexiv.
Was ist eine Halbordnung?
Eine Halbordnung ist eine Relation, die reflexiv und antisymmetrisch ist, aber nicht notwendigerweise für alle Paare von Elementen vergleichbar.
Was ist eine totale Ordnung?
Eine totale Ordnung ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und total ist, was bedeutet, dass jedes Paar von Elementen vergleichbar ist.
Was versteht man unter einer Äquivalenzklasse?
Eine Äquivalenzklasse ist eine Menge von Elementen, die durch eine Äquivalenzrelation verbunden sind, wobei jedes Element der Klasse mit jedem anderen Element der Klasse äquivalent ist.
Was ist ein Repräsentant einer Äquivalenzklasse?
Ein Repräsentant einer Äquivalenzklasse ist ein Element, das die gesamte Klasse repräsentiert und als Beispiel für alle anderen Elemente der Klasse dient.
True or False: In einer Halbordnung sind alle Elemente vergleichbar.
False
Nenne ein Beispiel für eine totale Ordnung.
Das Zahlenfeld der reellen Zahlen mit der üblichen < Beziehung.
Fülle die Lücke: Eine Äquivalenzrelation ist __________.
reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Was ist der Unterschied zwischen Halbordnung und totaler Ordnung?
Der Unterschied liegt darin, dass in einer totalen Ordnung alle Elemente vergleichbar sind, während in einer Halbordnung dies nicht der Fall sein muss.
Welche Eigenschaft ist nicht Teil der Definition einer Halbordnung?
Symmetrie.
Wie viele Repräsentanten kann eine Äquivalenzklasse haben?
Eine Äquivalenzklasse hat unendlich viele Repräsentanten, aber sie kann durch einen einzigen Repräsentanten dargestellt werden.
True or False: Jede totale Ordnung ist auch eine Halbordnung.
True
Was ist eine wichtige Anwendung von Äquivalenzklassen?
Sie werden häufig in der Mathematik verwendet, um Partitionen von Mengen zu definieren.
Nenne eine Eigenschaft einer totalen Ordnung.
Für alle a und b gilt entweder a ≤ b oder b ≤ a.
Fülle die Lücke: In einer Halbordnung kann es Paare von Elementen geben, die __________ sind.
nicht vergleichbar sind.
