Racines Carrees

Question 1

Définition géométrique d’une racine carrée (Construction géométrique de la racine carrée)

Answer 1

La racine carrée d’un nombre réel positif a est la longueur d’un côté d’un carré dont l’aire est égale à a

Question 2

Définition algébrique d’une racine carrée

Answer 2

Définition algébrique.

La racine carrée d’un nombre réel positif X est le nombre réel positif dont le carré est X. On la note √X . Le symbole √ est appelé radical.

Definition PLUS mathematique

Soit {x,y}⊆R{x,y}, alors la racine carrée d’un nombre y correspond à un nombre réel positif x qui, élevé au carré, donne y.
Si x≥0 et x²=y, alors √y=x

Attention

1/ Lorsqu’on parle des racines carrées de 25, il y en a deux.

Racines carrées de 25 = -5 ou +5

2/ Par contre, le radical, indique que l’on s’intéresse à la racine carrée principale, celle positive

3/ Cette distinction est subtile et rarement respectée. Elle est présente chez les Anglo-saxons

The square roots of 36 are +6 and -6 but √36=6 (not -6)

• Racine*
• Racine carrée*

Root

Square root

Radical

Surd

Question 3

Conditions d’existence d’une racine carrée

Answer 3

a) Condition d’existence : √a existe ⇔ ≥a 0 .
b) Si a ≥ 0 alors (√a)^2 = a et √( a^2) = . a
c) Par définition : √a = b ⇔ b^2=a et b ≥ 0 .

Question 4

Donner 3 methodes pour dessiner geometriquement une racine carree

Answer 4

1/ Pythagore - hypotenuse

2/ Diagonal d’un carree (hypotenuse d’un triangle rectangle isocele)

3/ Hauteur d’un triangle rectangle

Question 5

donner une methode d’encadrement d’une racine carree par encadrement

Answer 5

A la main, par approximations successives en partant de carree parfait

e.g., V2

• 1< 2<4 et donc 1²<2<2² donc 1<v2>
  </v2><li>1.4*1.4 = 1.96 et 1.5*1.5=2.25 donc 1.4<v2>
  <li>1.41*1.41 = 1.9881 et 1.42*1.42 = 2.0164</li>
  </v2></li>

</v2>
</li></v2>

1.41

Question 6

Donner la methode d’encadrement d’une racine carree par la “Méthode de Héron d’Alexandrie (1er siècle après J.-C.)”

Answer 6

Pour calculer par exemple 60 :

• On part d’une valeur approchée de 60 - Par exces, par exemple x₀ = 8 . (8*8=64)
• On calcule 60/x₀₌60/8= 15/2= 7,5

On remarque que:

• 7,5 et 8 sont les côtés d’un rectangle d’aire 60 (60/8=7.5 -> 60=8*7.5)
• et 60 est aussi l’aire du carree de cote √60 )

• Comme 8 est une valeur approchée par excès de√60 , 7,5=60 : 8 en est une valeur approchée par défaut

c.-à-d. 7,5 < 60 < 8

• Pour obtenir une 2eme meilleure approximation de 60 , on calcule la moyenne : x₁=(7,5 + 8)/2= 7,75

7,75 est une bonne approximation de √60

Si on veut une valeur approchée encore plus précise, on recommence l’algorithme avec x₁ = 7,75 .

(calculatrice : 60 ≈ 7,74596669…)

Question 7

Racine carrée d’un produit et d’un quotient

Answer 7

∀ a ∈ R₊ , ∀ b ∈ R₊ = √(a b)= √a √b

(∀ a ∈ R₊) (∀ b ∈ R*₊​)= √(a / b)= √a /√b

Question 8

Racine carrée d’une puissance

Answer 8

(∀ a ∈ |R*+​) (∀ n ∈ Z​) √(aⁿ) = (√a)ⁿ

Question 9

contre-exemple de √(a+b) <> √a+√b

Answer 9

3, 4 –> (9+16=25) et (3+4=7 <>5)

Question 10

Comparaison d’expressions contenant des radicaux

Answer 10

****************

(∀ a, b ∈ |R₊​) √a<√b ⇔ a < b

———————-

Question 11

Quantité conjuguée

Answer 11

On appelle quantite conjuguee du nombre irrationnel a+b le nombre a-b et vice versa

mais le nombre (a+b)(a-b) = a^2-b^2 est rationnel

1/(√5-√2) = (√5+√2) /[(√5+√2) * (√5-√2)] =

1/(√5-√2) = (√5+√2) / (5-2)

1/(√5-√2) = (√5+√2) / 3

-

Question 12

Identites remarquables et quantites conjuguees

Answer 12

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

l’interet de cette identite repose sur:

(A√a+B√b)(A√a-B√b) = A^2*a-B^2*b

e.g., 1/(2-√3)=(2+√3)/[(2+√3) *(2-√3)]

1/(2-√3)= (2+√3) /(4-3) = 2+√3

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

On dit que (a^2+ab+b^2) est le trinôme conjugué de (a-b)

1/(x^1/3-2)= [(x^1/3)²+2³x^1/2+2²)/[(x^1/3-2)*(x^1/3)²+2³x^1/2+2²​)]

1/(x^1/3-2)= [(x^1/3)²+2³x^1/2+2²)/[(x^1/3)³-2³]

1/(x^1/3-2)= [(x^1/3)²+2³x^1/2+2²)/[x-8​]

Question 13

Definition du radical et du radicande

Answer 13

Le symbole √ se nomme radical, ou racine. Par ailleurs, son appellation peut varier en fonction du nombre qui lui est associé.

√x ou ²√x est la racine carrée du nombre x.
³√x est la racine cubique du nombre x.
⁴√x est la racine quatrième du nombre x.
ⁿ√x est la racine neme du nombre x.

Le nombre ou l’expression algébrique qui se trouve sous le radical s’appelle le radicande.

Question 14

1/ Quelle est la relation entre racine carree et exposant 2

2/Quelle est la relation entre racine carree et exposant 2

Answer 14

la racine carrée est l’opération inverse de l’exposant deux.

la racine cubique est l’opération inverse de l’exposant 3

Question 15

Definition d’une racine cubique

Answer 15

Soit {x,y}⊆R{x,y}, alors la racine cubique d’un nombre y correspond à un nombre réel x qui, élevé au cube, donne y.
Si (x)³=y, alors ³√y=x

Contrairement à la racine carrée d’un nombre, il est possible de calculer la racine cubique d’un nombre qui fait partie de l’ensemble des réels.

De plus, la réponse d’une racine cubique dans les réels est une réponse unique.

Si (-3)³=-27, alors ³√-27=-3

Question 16

Lien entre racine carree et valeur absolue

Answer 16

1/ Pour tout nombre a positif

(∀ a ∈|R+), on a (√a)²= a

2/ Pour tout nombre a (∀ a, b ∈ |R), on a

√(a²) = a si a> 0

√(a²​)= −a si a < 0

Autrement dit, √(a²​) = |a|

Question 17

solutions de l’equation Equation x² = a

Answer 17

1/ Si a > 0, l’équation x² = a deux solutions, qui sont √ a et − √ a

2/ Si a = 0, l’équation x² = a a une seule solution, qui est 0.

3/ Si a < 0, l’équation n’a aucune solution

Question 18

Pourquoi √ 0=0

Answer 18

car 0²=0 (Appliquer la definition)