Geometrie du College Flashcards
Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment (Definition)
Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment.
Caracterisation mathematique:
O appartient à [AB] et OA = OB donc O est le milieu de [AB].
Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment (grace a une propriete du parallelogramme)
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. (C’est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.)
Caracterisation mathematique:
ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment (grace a symetrie centrale)
Si A et A’ sont symétriques par rapport à un point O alors O est le milieu du segment [AA’].
Caracterisation mathematique:
A et A’ sont symétriques par rapport au point O donc le point O est le milieu de [AA’].
Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment (grace a une Mediatrice)
Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle coupe ce segment en son milieu.
Caracterisation mathematique:
(d) est la médiatrice du segment [AB] donc (d) coupe le segment [AB] en son milieu.
Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment (grace a un triangle rectangle inscrit dans un cercle)
Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.
Caracterisation mathematique:
ABC est un triangle rectangle d’hypoténuse [AB] donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [AB].
Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment (Theoreme reciproque du theoreme des milieux)
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
Caracterisation mathematique:
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et la parallèle (d) à (BC) coupe [AC] en J donc J est le milieu de [AC].
Démontrer que deux droites sont parallèles (transitivite du parallelisme)
Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.
Caracterisation mathematique:
(d1) // (d2) et (d2) // (d3) donc (d1) // (d3)
Démontrer que deux droites sont parallèles (par la perpendicularite)
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles
Caracterisation mathematique:
(d1) ⊥ (d3) et (d2) ⊥ (d3) donc (d1) // (d2).
Démontrer que deux droites sont parallèles (en utilisant un parallelogramme)
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles. (C’est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.)
Caracterisation mathematique:
ABCD est un parallélogramme donc (AB) // (CD) et (AD) // (BC).
Démontrer que deux droites sont parallèles (par les angles alternes-internes)
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure alors ces droites sont parallèles.
Caracterisation Mathematique:
- Les droites (vt) et (uy) sont coupées par la sécante (zw),
- les angles (vGw) et (zEy) sont alternes-internes et de même mesure
- Donc (vt) // (uy).
Démontrer que deux droites sont parallèles (par les angles correspondants)
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure alors ces droites sont parallèles.
Caracterisation Mathematique:
- Les droites (vt) et (uy) sont coupées par la sécante (zw),
- Les angles (zGt) et (zEy) sont correspondants et de même mesure
- Donc (vt) // (uy).
Démontrer que deux droites sont parallèles (par le theoreme des Milieux)
Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
Caracterisation Mathematique:
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] donc (IJ) est parallèle à (BC).
Démontrer que deux droites sont parallèles (par symetrie centrale)
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles.
Caracterisation Mathematique:
- Les droites (d) et (d’) sont symétriques par rapport au point O
- Donc (d) // (d’)
Démontrer que deux droites sont parallèles (par Reciproque du Theoreme de Thales)
Réciproque du théorème de Thalès :
- Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
- B et M sont deux points de (d) distincts de A.
- C et N sont deux points de (d’) distincts de A.
- Si les points A, B, M d’une part et les points A, C, N d’autre part sont alignés dans le même ordre et si AM / AB = AN / AC ,
- Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèle
Caracterisation Mathematique:
- Les points M, A, B d’une part et les points N, A, C
d’autre part sont alignés dans le même ordre.
- Si, de plus, AM /AB = AN / AC ,alors, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires (Transitivite de la relation de Perpendicularite)
Si deux droites sont parallèles et si
une troisième droite est perpendiculaire à
l’une alors elle est perpendiculaire à l’autre.
Caracterisation Mathematique:
- (d1) ⊥ (d3) et (d1) // (d2)
- donc
- (d2) ⊥ (d3).
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires (utiliser une propriete du Losange)
Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Caracterisation Mathematique:
ABCD est un losange donc (AC) ⊥ (BD).
(C’est aussi vrai pour le carré qui est un losange particulier.)
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires (utiliser les proprietes du Rectangle)
Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires.
(C’est aussi vrai pour le carré qui est un rectangle particulier.)
Caracterisation Mathematique:
- ABCD est un rectangle
- donc
- (AB) ⊥ (BC), (BC) ⊥ (CD), (CD) ⊥ (AD) et (AD) ⊥ (AB).
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires (Mediatrice)
Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment.
Caracterisation Mathematique:
- (d) est la médiatrice du segment [AB]
- donc
- (d) est perpendiculaire à [AB].
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires (Tangente a un cercle)
Si une droite est tangente à un cercle en un point alors elle est perpendiculaire au rayon de ce cercle qui a
pour extrémité ce point.
Caracterisation Mathematique:
- (d) est tangente en M au cercle de centre O
- donc
- (d) est perpendiculaire à [OM].
