Normalverteilung Flashcards
Sei X normalverteilt mit Erwartungswert μ und Varianz σ²
Wir schreiben auch kurz X ~ N(μ, σ²).
Die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner gleich x ist 0 notieren wir mit
P(X ≤ x0 )
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als x0 ist, ist die Gegenwahrscheinlichkeit:
P(X > x0 ) = 1 – P(X ≤ x0 ).
Verteilungstabelle
Die exakte Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeiten ist mühsam, daher existiert eine Verteilungstabelle
Standardnormalverteilung
Wenn μ = 0 und σ² = 1 gilt, so spricht man von einer
Standardnormalverteilung.
• Wenn X ~ N(μ, σ²), dann ist Z = (X – μ) / σ ~ N(0, 1)
standardnormalverteilt.
Standardisierung
Um also Gebrauch von der Normalverteilungstabelle
zu machen, müssen wir standardisieren
• Z ist standardnormalverteilt (μ = 0, σ² = 1).
• Sofern z0 ≥ 0 ist, können wir die Wahrscheinlichkeiten
direkt aus der Tabelle ablesen
Punktwahrscheinlichkeiten
Bei der Normalverteilung ist es egal, ob wir kleiner oder kleiner gleich einsetzen
Gleiches gilt für die umgekehrte Richtung:
Rechenregeln
helfen uns dabei, jene Form zu bekommen, welche die Tabelle verlangt
Die Symmetrieeigenschaft gilt in dieser Form nur, wenn µ = 0!
Rechenregeln
Gegenwahrscheinlichkeit
Symmetrieeigenschaft
keine Punktwahrscheinlichkeit
P(Z > z0 ) = 1 – P(Z ≤ z0 )
Gegenwahrscheinlichkeit
• P(Z ≥ z ) = P(Z ≤ -z )
Symmetrieeigenschaft
P(Z < z0 ) = P(Z ≤ z0
keine Punktwahrscheinlichkeit
P(Z > z0 ) = P(Z ≥ z0 )
keine Punktwahrscheinlichkeit
Tipp
Überlegt euch vor der Rechnung, ob das Ergebnis
größer oder kleiner als 50% sein muss.
• Passt euer Ergebnis nicht zu eurer Vorüberlegung, so
ist oft die Gegenwahrscheinlichkeit korrekt.
Wichtigster Vertreter der stetigen Verteilungen
die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung
Sie hat 2 Parameter, µ (Lageparameter) und sigma (Skalenparameter)
Theoretische Bedeutung im zentralen Grenzwert (Statistik 2)
Praktische Bedeutung bei der Modellierung von Messfehlern
Modell für Daten
Approximiert die Binomialverteilung
Dichtefunktion der Normalverteilung mit mü=10 und sigma =3
Dichtefunktion von verschiedenen Normalverteilungen
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
