5 T-Test

Question 1

Was benötigt man um Behauptung zu überprüfenn?

Answer 1

Hypothese und Hypothesenpaar

Question 2

H0

Answer 2

(Nullhypothese): Das mittlere Gewicht von Äpfeln
beträgt 160g.

Question 3

H1

Answer 3

(Alternativhypothese):

Das mittlere Gewicht von Äpfeln unterscheidet sich von 160g.

Question 4

Stichprobe

Answer 4

Mit Hilfe einer Stichprobe sammeln wir Indizien gegen die Nullhypothese.

Question 5

Wenn die Indizien stark genug gegen H0 (bzw. für H1 ) sprechen

Answer 5

so verwerfen wir H0 (bzw. entscheiden uns für H1 )

Question 6

Wenn die Indizien nicht stark genug gegen H0 sprechen

Answer 6

dann behalten wir H0 bei

Question 7

Schließende Statistik

Answer 7

T-Test und Konfidenzintervalle

Question 8

Konfidenzintervalle

Answer 8

Wir versuchen basierend auf dem Mittelwert einer
Stichprobe Rückschlüsse auf den Mittelwert der
Grundgesamtheit (Erwartungswert μ) zu ziehen.

Das kann mit einem statistischen Test (zB T-Test)
oder/und mit Konfidenzintervallen erfolgen.

Question 9

T-Test für eine Stichprobe

Answer 9

Sei μ der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit
eines metrisch skalierten Merkmals.

• Wir erheben eine Stichprobe der Größe n.

• Aus der Stichprobe ermitteln wir den Mittelwert und
die Standardabweichung

Question 10

Signifikanzniveau

Answer 10

Wir testen auf dem Signifikanzniveau α

Question 11

Teststatistik

Answer 11

Question 12

Je größer der Betrag der Teststatistik |T| ist

Answer 12

desto eher stützt dies die Alternativhypothese H1

Question 13

|T| ist (tendenziell) umso größer je

Answer 13

– weiter von c entfernt ist,

– größer die Stichprobengröße n ist und

– je kleiner die Standardabweichung s ist.

Question 14

Wir verwerfen H0 falls gilt:

Answer 14

Question 15

Fehler 1. Art und das Signifikanzniveau α

Answer 15

• Wenn wir H0
verwerfen, so besteht immer ein Risiko,
dass wir dies fälschlicherweise getan haben.
• Wir begehen einen Fehler 1. Art, wenn wir H0
verwerfen, obwohl H0
zutrifft.

• Das Risiko, einen Fehler 1. Art zu begehen, wollen wir
beschränken.

• Dies geschieht mit dem Signifikanzniveau α.

• Übersteigt also |T| den kritischen Wert, so ist die
Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen,
höchstens α, also klein genug, um H0
zu verwerfen.

• Je kleiner das Signifikanzniveau α, desto größer wird
der kritische Wert beim T-Test, das heißt wir müssen
stärkere Indizien gegen H0
sammeln.

• Häufig wird α = 0.05 = 5% gewählt.

• In zweiseitigen Tests wird α in der Regel
gleichermaßen auf beide Enden aufgeteilt

Question 16

Folgende Aussagen wären falsch

Answer 16

„Die Nullhypothese konnte daher bewiesen werden.“
– „Das mittlere Gewicht von Äpfeln beträgt daher 160g.

Question 17

Wir gehen immer davon aus, dass H0 stimmt und müssen mit Hilfe der Daten aus der Stichprobe genügend Indizien gegen H0 sammeln.

• Folglich wäre folgende Aussage unsauber:

Answer 17

– „H1 kann daher verworfen werden.“

• Empfohlene Formulierungen:
– H0 kann (nicht) verworfen werden.
– Entscheidung für H0 /H1

Question 18

Konfidenzintervall für den Einstichprobenfall

Answer 18

Das (1 – α)-Konfidenzintervall
enthält das wahre μ (Mittelwert der Grundgesamtheit) mit einer Wahrscheinlichkeit von (1 – α)·100%.

Question 19

Zusammenhang Konfidenzintervall mit dem Einstichproben-T-Test:

Answer 19

– Liegt der Referenzwert c in diesem Intervall, kann H0 nicht
verworfen werden.

– Liegt der Referenzwert c nicht in diesem Intervall, so kann H0
verworfen werden.

Question 20

Das Konfidenzintervall wird für ein gegebenes α kleiner

Answer 20

wenn die Stichprobengröße n größer wird.

• Die Auswahl des Quantils erfolgt wie beim
Einstichproben-T-Test.

Question 21

Hypothesen bsp

Answer 21

– H0 (Nullhypothese): Weibliche und männliche Studierende
der Ernährungswissenschaften sind gleich groß.

– H1 (Alternativhypothese): Weibliche und männliche
Studierende der Ernährungswissenschaften sind nicht
gleich groß

Question 22

T-Test für zwei unabhängige Stichproben

Answer 22

Wir wollen wissen, ob sich die Mittelwerte eines
metrisch skalierten Merkmals von zwei Gruppen
unterscheiden.

• Seien μ1 und μ2 die wahren Mittelwerte der 1 und μ2 die wahren Mittelwerte der
Grundgesamtheit der ersten und zweiten Gruppe.

• In der Stichprobe sind n1 Daten der 1. Gruppe und n2
Daten der 2. Gruppe.

• Wir bestimmen aus der Stichprobe den Mittelwert
und die Standardabweichung für jede Gruppe:

Question 23

Wenn die Daten beider Gruppen normalverteilt und unabhängig sind

Answer 23

so ist unter H0 die Teststatistik t-verteilt mit n1 + n2 – 2 Freiheitsgraden.

Question 24

Konfidenzintervall für den Zweistichprobenfall

Answer 24

: Das (1 – α)-Konfidenzintervall enthält die wahre Differenz μ1 - µ2 mit einer Wahrscheinlichkeit von (1 – α)·100%.

Question 25

Zusammenhang mit dem T-Test für zwei unabhängige Stichproben:

Answer 25

– Liegt der Wert 0 in diesem Intervall, kann H0 nicht
verworfen werden.

– Liegt der Wert 0 nicht in diesem Intervall, so kann H0
verworfen werden.

Question 26

Konfidenzintervall für den Zweistichprobenfall wird für ein gegebenes α kleiner

Answer 26

wenn die Stichprobengrößen n1 und n2 größer werden

Question 27

Wann darf der T-Test angewendet werden?

Answer 27

Voraussetzung ist, dass die Daten (beider Gruppen) normalverteilt sind

Question 28

Optische Tests auf Normalverteilung

Answer 28

– Histogramm mit Normalverteilungskurve

– QQ-Plot

Es gibt auch statistische Tests auf Normalverteilung, diese werden wir jedoch nicht besprechen

Question 29

Histogramm mit Normalverteilungskurve

Answer 29

Wenn die Kurve schön über dem Histogramm liegt, dann können wir Normalverteilung annehmen

Question 30

QQ-Plot:

Answer 30

Wenn die Linie schön durch die Punkte geht, können wir Normalverteilung annehmen

Question 31

Optischer Test: Histogramm

Answer 31

• Die Normalverteilungskurve liegt “relativ”
schön über den Daten.

• Es spricht nicht allzu viel
gegen die Normalverteilung.

Question 32

Optischer Test: QQ-Plot

Answer 32

• Die Punkte verlaufen recht schön entlang der Geraden, was für die Normalverteilung
spricht.

• Eine winzig kleine systematische
Abweichung von der
Geraden ist erkennbar

Question 33

Der T-Test ist robust gegenüber Abweichungen

Answer 33

von der Normalverteilungsannahme

Question 34

Faustregel für den Einstichprobenfall:

Answer 34

Wenn die Daten keine bzw. nicht zu viele (extreme) Ausreißer
haben und nicht allzu schief verteilt sind, kann der T-Test auch für nicht normalverteilte Daten ab einer
Stichprobengröße von n = 30 verwendet werden.

Question 35

Faustregel für den Zweistichprobenfall

Answer 35

Sofern die Daten beider Gruppen keine bzw. nicht zu viele
(extreme) Ausreißer haben und nicht allzu schief
verteilt sind, kann der T-Test auch für nicht
normalverteilte Daten ab einer Stichprobengröße
von jeweils 30 verwendet werden.

– Darüber hinaus sollten beide Gruppen ungefähr gleich
groß sein.

Question 36

Der QQ-Plot ist tendenziell einfacher zu interpretieren

Answer 36

insbesondere für kleine Stichprobengrößen.

Question 37

T-Test für verbundene Stichproben

Answer 37

Gegeben sind zwei Variablen, meist in Form von Vorher-Nachher-Messungen

• Wichtig: Die beiden Messungen müssen für die
selben Beobachtungseinheiten vorhanden sein!

• Der Zweistichproben-T-Test, wie wir ihn oben
besprochen haben, ist so nicht zulässig, da die
beiden Stichproben nicht unabhängig sind.

• Stattdessen gibt es den T-Test für verbundene
Stichproben.

Question 38

T-Test für verbundene Stichproben Synonyme

Answer 38

– T-Test für zwei abhängige Stichproben

– T-Test für zwei gepaarte Stichproben

Question 39

Der T-Test für verbundene Stichproben lässt sich auf einen T-Test für eine Stichprobe zurückführen

Answer 39

– Wir bilden die Differenzen zwischen der 2. und der 1.
Messung. Also zB den Cholesterinspiegel nach der Diät –
Cholesterinspiegel vor der Diät (in SPSS mittels
Transformieren/Variable berechnen).

– Positive Werte bedeuten, dass der Cholesterinspiegel nach
der Diät größer ist als vor der Diät und umgekehrt.

– Mit diesen Differenzen führen wir einen T-Test für eine
Stichprobe durch (Referenzwert c = 0)