MMC e MDC Flashcards
MMC - CONCEITO
O Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) corresponde ao menor número inteiro positivo,
diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números.
Exemplo: Múltiplos de 2 e múltiplos de 6
N = {0, 1, 2, 3, 4,…}
M (2) = {0, 2, 4, 6, 8,…}
M (6) = {0, 6, 12, 18,…}
Mínimo múltiplo comum de 2 e 6:
M.M.C (2,6) = 6
MMC - MÉTODOS PARA OBTENÇÃO
O recomendável é usar o método da fatoração, ou seja, decompor os números em
fatores primos. Existem basicamente dois métodos: o método da decomposição em
fatores primos separadamente e o método da decomposição em fatores primos conjuntamente. Acompanhe no exemplo a seguir a aplicação dos dois métodos.
Exemplo: Calcular o M.M.C entre 4, 9 e 15.
1º Método: pela decomposição em fatores primos separadamente.
O conjunto dos números primos é formado pelos números que só podem ser divididos por 0 e por eles mesmos:
Primos (2, 3, 5, 7, 11,…)
M.M.C entre 4, 9 e 15:
4|2 9|3 15|3 4 = 22
2|2 3|3 5|5 9 = 32 ∙ 20
1| 1| 1| 15 = 3 ∙ 5 ∙ 20
O próximo base é verificar quais são as bases que são comuns de maior expoente:
M.M.C (4, 9, 15) = 22 ∙ 32 ∙ 5
M.M.C (4, 9, 15) = 180
M (4) = {0, 4, 8, 12, 16,…, 180,…}
M (9) = {0, 9, 18, 27,…, 180,…}
M (15) = {0, 15, 30, 45,…, 180,…}
2º Método: Pela decomposição em fatores primos conjuntamente.
M.M.C entre 4, 9 e 15:
4, 9, 15|2
2, 9, 15|2
1, 9, 15|3
1, 3, 5|3
1, 1, 5|5
1, 1, 1|
O próximo passo é multiplicar todos os fatores gerados pela decomposição:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 180
M.M.C (4, 9, 15) = 180
MMC - PROPRIEDADES
1ª) Entre dois números primos, o MMC será o produto entre eles.
O produto é o resultado de uma multiplicação.
Exemplo:
M.M.C (3, 5) = 3 ∙ 5 = 15
2ª) Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC será o maior deles.
Exemplo:
M.M.C (2, 8) = 8
Obs.: 8 é perfeitamente divisível por 2. Como 8 é maior do que 2, ele será o MMC deles.
3ª) Ao multiplicar ou dividir dois números por um outro diferente de zero, o MMC
aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
Exemplo:
M.M.C (2, 8) = 8
Multiplicação:
2 ∙ 3 = 6
8 ∙ 3 = 24
M.M.C (6, 24) = 24
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) - Conceito
Corresponde ao maior número divisível entre dois ou mais números inteiros.
Exemplo:
Qual seria o Máximo Divisor Comum de 12 e 20?
MDC (12,20) =?
O 12 pode ser dividido por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
O 20 pode ser dividido por 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Métodos de obtenção do M.D.C.
O recomendável é usar o método da fatoração, ou seja, decompor os números em
fatores primos. Existem basicamente dois métodos, o método da decomposição em
fatores primos separadamente e o método da decomposição em fatores primos conjuntamente.
Acompanhe no exemplo a seguir a aplicação dos dois métodos.
Exemplo: calcular o M.D.C entre 12 e 40.
1º Método: Pela decomposição em fatores primos separadamente.
Considerando os números divisíveis por 12 e 40 em comum. O 4 é o número maior.
2º Método: Pela decomposição em fatores primos conjuntamente.
ATENÇÃO
Números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo.
O único número primo par é o 2.
Características do Máximo Divisor Comum (MDC)
1ª) Os números são primos entre si quando o maior divisor entre eles é 1. Entre 33
e 31, por exemplo, o único que divide ambos simultaneamente é 1. Os números primos
entre si não necessariamente são números primos.
2ª) Entre dois números consecutivos, o MDC sempre será igual a 1, pois eles são
primos entre si. Por exemplo: 28 e 29 (o máximo divisor neste caso é 1).
3ª) Na fatoração de dois ou mais números, sendo um deles divisor de todos os outros,
conclui-se que o próprio divisor será o resultado do MDC. Entre os números 3 e 6, o 3 é
divisor de 6 e dele mesmo, logo é o Máximo Divisor Comum (MDC) de ambos.
RELAÇÃO ENTRE MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
MDC (a,b) x MMC (a,b) = a. b
Exemplo:
M.D.C (a,b) = 10
M.M.C (a,b) = 210
Um deles é 70, como, por exemplo, o “a”:
M.D.C (a,b) x M.M.C (a,b) = a. b
10 x 210 = 70. b
2100 = 70. b
2100/70 = b
30 = b
