Mengenlehre Flashcards
Was sind Mengensysteme?
Mengensysteme sind Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind.
Gelegentlich wird für ein Mengensystem auch der Begriff **Familie von Mengen **verwendet.
Beispiele für Mengensysteme sind {∅,{1},{2},{1,2,3}} und {{0},N,Z,Q,R}.
Was ist die Mächtigkeit von Mengen und wie schreibt man das?
Die Anzahl der Elemente einer Menge A heißt Mächtigkeit von A und wird mit |A| bezeichnet.
Was ist die Mächtigkeit von leeren Mengen? Npch eine Frage ofrmulieren
Eine Menge, deren Mächtigkeit Null beträgt, besitzt keine Elemente und ist somit
leer. Weiterhin ist die M¨achtigkeit der leeren Menge gleich Null, d.h. es gilt
|A| = 0 ⇐⇒ A=∅.
Was ist die Grundmenge? Welches Symbol bezeichnet sie?
Die Menge aller betrachteten Objekte wird Grundmenge genannt. Als Bezeichnung wird der griechische Buchstabe Ω verwendet.
Was bezeichnet der griechische Buchstabe Ω ?
Die Menge aller betrachteten Objekte wird Grundmenge genannt. Als Bezeichnung wird der griechische Buchstabe Ω verwendet.
Warum gilt:
Ω={Kopf,Zahl} ≠ {{Kopf},{Zahl}} =
die Elemente von Ω sind die Ergebnisse Kopf und Zahl während die Mengen {Kopf} und {Zahl} die Elemente von M sind.
Was ist die Potenzmenge?
Sei Ω eine nicht-leere Menge. Die Menge aller (verschiedenen) Teilmengen von Ω (inklusive der leeren Menge) heißt Potenzmenge von Ω und wird mit P(Ω) bezeichnet.
Die Potenzmenge der Menge Ω = {1,2,3} ist
P(Ω)= ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} .
Sie besitzt:
8 = 2^3 = 2^|Ω| = 2^*(Anzahl der Elemente von Ω) *
Elemente. Diese Beziehung zwischen der Mächtigkeit der Potenzmenge und der ursprünglichen Menge gilt auch allgemein.
Wie berechnet man die Potenzmenge?
Sei Ω eine nicht-leere Menge mit n Elementen. Die Mächtigkeit der Potenzmenge von Ω ist
|P(Ω)| = ^|Ω| = 2^n.
Was beschreibt diese Gleichung?
|P(Ω)| = ^|Ω| = 2^n.
Die Berechnung der Potenzmenge P(Ω)
Was sind Disjunkte Mengen?
(Disjunkte Mengen)
Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, d.h.wenn A∩B=∅ gilt.
Was beschreibt A∩B=∅ .
A∩B=∅ beschreibt eine Disjunkte Mengen. Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, d.h. wenn A∩B=∅ gilt.
Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, dass A∪B={x∈Ω|x∈A oder x∈B} ?
A,B ⊆ Ω
Was ergibt:
Ω\A= {x∈Ω|x∈A}
= ¬A
Was ist das kartesische Produkt?
Was beschreibt:
A×B={(a,b)|a ∈ A,b∈ B}
Das kartesische Produkt.
Seien A,B Mengen. Das kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt) A × B der Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) von Elementen a ∈A und b∈B
Die Reihenfolge der Komponenten a und b eines Elements (a,b) der Menge A×B ist fest und darf nicht vertauscht werden.
Also:
i.Allg. nicht kommutativ, d.h. i .Allg. gilt A × B= B×A.
In einfach(er):
Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist.
Beschreibe die Grundmenge Q2 des zweifachen Würfelwurfs
Die Grundmenge Ω2 des zweifachen Würfelwurfs ist das kartesische Produkt der Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4,5,6} zweier einfacher Würfelwürfe, denn es gilt:
Ω2 = {(1,1),(1,2),…,(6,6)} = {1,2,3,4,5,6} × {1,2,3,4,5,6} =
Ω × Ω.
Besitzen beide Mengen A und B jeweils endlich viele Elemente, gilt f¨ ur die M¨achtigkeit des kartesischen Produkts |A ×B| = |B×A| =|A|·|B|.
Was ist der Unterschied zwischen dern Potenzmenge und der Mächtigkeit einer Menge?
