matriz Flashcards
equivalencia por filas
A~A reflexiva
Si B~A entonces A~B simetria
si A~B y B~C entonces A~C transitiva
matriz escalon reducida por fila (MERF)
- si A tiene filas nulas estan debajo de las NO NULAS
- el primer elemento no nulo de cada fila no nula es 1 (elemento conductor)
- en la columna correspondiente el primer elemento no nula de cada fila no nula los elementos restantes son todos = 0
- las final no nulas están en escalera llamado elemento conductor de una fila al primer elemento nulo cada fila presenta a la izquierda de su elemento conductor más ceros que la anterior
teorema (merf)
toda matriz es equivalente por fila a una matriz escalón reducida por final (merf) mediante operaciones elementales
rango de matriz
si A una matriz y RA su reducida por filas. Se llama rango de A y lo denotamos r(A) al número de filas no nulas de RA
RA = reducida
teorema rouche-frobenius
un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.
Corolario =
r(a) = r(a/h) < N° incognita = sistema compatible indeterminado.
r(a) = r(a/h) = N° incógnitas = sistema compatible determinado.
a/h= matriz ampliada
sistema de ecuaciones homogeneo
Es un sistema de ecuaciones cuyo términos independientes son todos iguales a cero
ej = A.X = 0
suma de matrices def
Sean a,b ∈ R ^ m×n A+B = [aij + bij]
suma propiedades
sean a,b,c € R
A+B = B+A (conmutativa)
(A+B)+C = A+(B+C) asociativa
∃ elemento neutro (matriz nulo)
∀ A€ R ^ m×n ∃0∈^m×n tq A+0 = A
∃ elemento opuesto
∀ -A ∈ R ^ m×n ∃ -A∈R ^m×n tq (A+(-A)) = 0 ,
-A = [aij]
producto de un escalar por una matriz def
k∈R
A∈R
K.A = [K aij] ∈ R^m×n
Producto de un escalar por una matriz propiedades
sea α,β ∈ R A,B ∈ R^m×n
α (A + B) =αA + αB
(α+β)A = αA + βA
(αβ )A = α(βA)
1.A= A
multiplicacion matrices del
sea A∈R ^mxn y B∈R^nxp
llamaremos multiplicación de A×B a la matriz C∈R^m×p cuyos elementos son
Cij = aijb1j + ai2b2j + ….. + ainbnj
multiplicacion de matriz propiedades
(AB)C = A(BC) asociativa
(A+B)C = AC +BC distributiva
A(B+C) = AB + AC distributiva
α(AB)=(αA)B + A(αB)
matriz elemental
E ∈ R mxn es una matriz elemental si se puede obtener de la identidad de orden “n” mediante una unica operacion por fila.
teorema (matriz elemental)
sea e una operacion elemental de filas tal que E = e(Idn)
para toda matriz A ∈ R se cumple e(A)= EA
demostracion =
teorema???
sean A,B ∈ R mxn entonces B~A si y solo si B=PA donde p es un producto de matrices elementales
matriz inversible
sea A∈R mxn si existee B∈R mxn tq AB=BA (identidad) diremos que es inversible, regular o no singular y que B es inversa de A
teorema (matriz inversible)
si A ∈ R mxn es inversible entonces su inversa es unica
demostracion=
supongamos que A tiene 2 inversos C y B como c y b son inversos se cumple
(BA = AB) = I
(CA = AC) = I
(BA)C = B (AC)
(I)C=B(I)
C=B
lo llamamos A a la menos 1
dos teoremas (inversible)
si A Y B ∈ R nxn son inversibles
i_ A es simplificable
ii_AB es inversible y (AB) elevado a la menos 1 = B elevado a la -1 A elevado a -1
demostracion i=
por izquierda
como existe A a la menos 1
AD=AC por hipotesis
(A^-1 A)D=(A^-1 A)C por asociat
(I)D=(I)C por neutro
D=C A se puede simplicar x izquierda
por derecha
como existe A a la menos 1
MA=NA por hipotesis
M(A^-1 A)=N(A^-1 A) por asociat
M(I)=N(I) por neutro
M=N A se puede simplicar por derecha
demostracio ii=
(AB)(AB)^-1 = (AB) B^-1 A^-1
Teorema
toda matriz elemental es inversible
demostracion= sea E una matriz elemental que surge de aplicar la oef a la matriz identidad
E= e(I) *
como todo oef tiene una oef inversa e^-1 entonces E ^-1 = e^-1(I) debemos probar que
EE^-1= I *1
E^-1 E = I *2
1
EE^-1= e^-1 (sea A pert R mxn para todo e se cumple eA= EA, E=e(I) # )
= e(e^-1(I) por definicion de oef y su inverrso
= I
2
E^-1 E = e^-1(E) (por teo #)
= e^-1(e(I)) *
= I (por deff inverso y su inversa)
