matriz

Question 1

equivalencia por filas

Answer 1

A~A reflexiva
Si B~A entonces A~B simetria
si A~B y B~C entonces A~C transitiva

Question 2

matriz escalon reducida por fila (MERF)

Answer 2

• si A tiene filas nulas estan debajo de las NO NULAS
• el primer elemento no nulo de cada fila no nula es 1 (elemento conductor)
• en la columna correspondiente el primer elemento no nula de cada fila no nula los elementos restantes son todos = 0
• las final no nulas están en escalera llamado elemento conductor de una fila al primer elemento nulo cada fila presenta a la izquierda de su elemento conductor más ceros que la anterior

Question 3

teorema (merf)

Answer 3

toda matriz es equivalente por fila a una matriz escalón reducida por final (merf) mediante operaciones elementales

Question 4

rango de matriz

Answer 4

si A una matriz y RA su reducida por filas. Se llama rango de A y lo denotamos r(A) al número de filas no nulas de RA
RA = reducida

Question 5

teorema rouche-frobenius

Answer 5

un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.

Corolario =
r(a) = r(a/h) < N° incognita = sistema compatible indeterminado.
r(a) = r(a/h) = N° incógnitas = sistema compatible determinado.
a/h= matriz ampliada

Question 6

sistema de ecuaciones homogeneo

Answer 6

Es un sistema de ecuaciones cuyo términos independientes son todos iguales a cero
ej = A.X = 0

Question 7

suma de matrices def

Answer 7

Sean a,b ∈ R ^ m×n A+B = [aij + bij]

Question 8

suma propiedades

Answer 8

sean a,b,c € R
A+B = B+A (conmutativa)
(A+B)+C = A+(B+C) asociativa
∃ elemento neutro (matriz nulo)
∀ A€ R ^ m×n ∃0∈^m×n tq A+0 = A
∃ elemento opuesto
∀ -A ∈ R ^ m×n ∃ -A∈R ^m×n tq (A+(-A)) = 0 ,
-A = [aij]

Question 9

producto de un escalar por una matriz def

Answer 9

k∈R
A∈R
K.A = [K aij] ∈ R^m×n

Question 10

Producto de un escalar por una matriz propiedades

Answer 10

sea α,β ∈ R A,B ∈ R^m×n
α (A + B) =αA + αB
(α+β)A = αA + βA
(αβ )A = α(βA)
1.A= A

Question 11

multiplicacion matrices del

Answer 11

sea A∈R ^mxn y B∈R^nxp
llamaremos multiplicación de A×B a la matriz C∈R^m×p cuyos elementos son

Cij = aijb1j + ai2b2j + ….. + ainbnj

Question 12

multiplicacion de matriz propiedades

Answer 12

(AB)C = A(BC) asociativa
(A+B)C = AC +BC distributiva
A(B+C) = AB + AC distributiva
α(AB)=(αA)B + A(αB)

Question 13

matriz elemental

Answer 13

E ∈ R mxn es una matriz elemental si se puede obtener de la identidad de orden “n” mediante una unica operacion por fila.

Question 14

teorema (matriz elemental)

Answer 14

sea e una operacion elemental de filas tal que E = e(Idn)
para toda matriz A ∈ R se cumple e(A)= EA
demostracion =

Question 15

teorema???

Answer 15

sean A,B ∈ R mxn entonces B~A si y solo si B=PA donde p es un producto de matrices elementales

Question 16

matriz inversible

Answer 16

sea A∈R mxn si existee B∈R mxn tq AB=BA (identidad) diremos que es inversible, regular o no singular y que B es inversa de A

Question 17

teorema (matriz inversible)

Answer 17

si A ∈ R mxn es inversible entonces su inversa es unica
demostracion=
supongamos que A tiene 2 inversos C y B como c y b son inversos se cumple
(BA = AB) = I
(CA = AC) = I
(BA)C = B (AC)
(I)C=B(I)
C=B
lo llamamos A a la menos 1

Question 18

dos teoremas (inversible)

Answer 18

si A Y B ∈ R nxn son inversibles
i_ A es simplificable
ii_AB es inversible y (AB) elevado a la menos 1 = B elevado a la -1 A elevado a -1
demostracion i=
por izquierda
como existe A a la menos 1
AD=AC por hipotesis
(A^-1 A)D=(A^-1 A)C por asociat
(I)D=(I)C por neutro
D=C A se puede simplicar x izquierda
por derecha
como existe A a la menos 1
MA=NA por hipotesis
M(A^-1 A)=N(A^-1 A) por asociat
M(I)=N(I) por neutro
M=N A se puede simplicar por derecha
demostracio ii=
(AB)(AB)^-1 = (AB) B^-1 A^-1

Question 19

Teorema

Answer 19

toda matriz elemental es inversible
demostracion= sea E una matriz elemental que surge de aplicar la oef a la matriz identidad
E= e(I) *
como todo oef tiene una oef inversa e^-1 entonces E ^-1 = e^-1(I) debemos probar que
EE^-1= I *1
E^-1 E = I *2
1
EE^-1= e^-1 (sea A pert R mxn para todo e se cumple eA= EA, E=e(I) # )
= e(e^-1(I) por definicion de oef y su inverrso
= I
2
E^-1 E = e^-1(E) (por teo #)
= e^-1(e(I)) *
= I (por deff inverso y su inversa)