Maths

Question 1

H est un ss groupe de E si

Answer 1

H est inclu dans E
Non nul
x.y E H et (x)-1 E H

Question 2

Sous groupe de (Z,+)

Answer 2

H est un ss groupe de Z,+ ssi il existe n tq H = nZ

N est unique au signe près et si H n’est pas l.ensemble vide alors n=min(H*+)

Question 3

Sous groupe de (R,+)

Answer 3

Si G est un ses groupe de R alors soit G est dense dans R soit il existe å>0 tq G=åZ

Question 4

(H,+,x) est un anneau si

Answer 4

H est muni d’une loi multiplicative et d’une loi additives qui sont INTERNES
(H,+) est un GROUPE ABELIEN
La loi multiplicative est
associative distributive sur l’addition et admet un élément neutre

Question 5

(H,+,x) est un sous anneau de (A,+,x) ssi

Answer 5

H est inclu dans A
1 E H (élément neutre de la multiplication)
x+y / x.y / (x)-1 E H

Question 6

(H,x,+) est un corps ssi

Answer 6

(H,x,+) est un anneaux

U(H) = H{0} ie tous les élément sont inversibles sauf 0

Question 7

Relation racine coefficient pour

P= som(k,1,n):a(k)X^k

Answer 7

Ÿ(k) est la somme des produits des racines de P par paquets de longueur k ; ÿ(n) est le produit de ttes les racines ; ÿ(1) est la somme de toutes les racines

       a(n-k)=(-1)^k*a(n)*ÿ(k)

Question 8

Somme et produit des racines d’un polynômes ou les coefficients sont les a(k)

Answer 8

Somme : -a(n-1)/a(n)

Produit : (-1)^n*a(0)/a(n)

Question 9

Formule de Taylor des polynômes

Answer 9

a un élément de K. P = somme sur k de P dérivé k fois en a sur k factorielle facteur de (X-a)^k
En séparant les termes strictement inférieur à n et en factorisation le quotient par (X-a)^n on a une expression du reste et du quotient de P par (X-a)^n

Question 10

Si a est racine de P de multiplicité n>=1 ssi

Answer 10

Pour tout k E [0,n-1] on a P dérivé k fois de a = 0 et P dérivé n fois en a différent de 0

Se montre avec la formule de Taylor des polynômes

Question 11

E est un groupe pour la loi * si

Answer 11

La loi est interne associative élément neutre et symétrisable