Mathematik

Question 1

Welche eigenschaften muss eine mathematische Gruppe erfüllen.

Answer 1

Das Assoziativgesetz muss erfüllt sein.
Es muss ein neutrales Element vorhanden sein.
Es muss ein inverses Element vorhanden sein.

Question 2

Welche Eigenschaften muss eine Äquivalenzrelation aufweisen?

Answer 2

Sie muss reflexiv, transitiv und symmetrisch sein.

Question 3

Was ist eine reflexive Relation?

Answer 3

Eine reflexive Relation muss immer im Bezug zu sich selbst stehen. (=, <=, >=, …)

Question 4

Was ist eine transitive Relation?

Answer 4

Eine transitive Relation ist in der Mathematik eine zweistellige Relation R auf einer Menge, die die Eigenschaft hat, dass für drei Elemente x, y, z dieser Menge aus x R y und y R z stets x R z folgt.

Question 5

Was ist eine symmetrische Relation?

Answer 5

Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch.

Question 6

Wann sind Mengen disjunkt?

Answer 6

Zwei Mengen sind disjunkt, wenn ihr Schnitt leer ist.

Question 7

Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?

a. ∅⊆{𝑎,2,3,4}
b. 3⊆{𝑎,2,3,4}
c. 3∈{𝑎,2,3,4}
d. ∅⊆{{∅},𝑎,5}

Answer 7

a. falsch
b. falsch
c. wahr
d. falsch

Question 8

Bilden Sie die Potenzmenge der Mengen 𝑀={𝑎,𝑏,𝑐} und 𝑁={∅}.

Answer 8

𝑃(𝑀)={∅,{𝑎},{𝑏},{𝑐},{𝑎,𝑏},{𝑎,𝑐},{𝑏,𝑐},{𝑎,𝑏,𝑐}}

𝑃(𝑁)={∅,{∅}}

Question 9

Angenommen |𝑀|= x. Wie viele Elemente besitzt dann die Potenzmenge von M?

Answer 9

Wenn |𝑀|=x, dann gilt |𝑃(𝑀)|=2^x

Question 10

Wann sind zwei Mengen gleichmächtig?

Answer 10

Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn eine Bijektion zwischen ihnen besteht.

Question 11

Wann ist eine Funktion bijektiv?

Answer 11

Eine Funktion ist Bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Question 12

Wann ist eine Funktion injektiv?

Answer 12

Eine Funktion ist injektiv, wenn alle Elemente aus einer Menge A mindestens einem eigenen Element aus einer Menge B zugeordnet sind. D.h. jedes Element aus B hat höchstens ein Urbild

Question 13

Wann ist eine Funktion surjektiv?

Answer 13

Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedem Element aus einer Menge B mindestens ein Element aus einer Menge A zugeordnet sind.

Question 14

Welcher logische Junktor bezeichnet eine „genau dann, wenn“ – Verknüpfung?

Answer 14

Die Äquivalenz ⇔

Question 15

Welche zweistelligen Junktoren der Aussagenlogik sind kommutativ?

Answer 15

UND, ODER, ÄQUIVALENZ

Question 16

Geben Sie die Bindungsprioritäten der fünf aussagenlogischen Junktoren an.

Answer 16

(1) NICHT
(2) UND, ODER
(3) IMPLIKATION, ÄQUIVALENZ

Question 17

Welche Eigenschaften muss eine abelsche Gruppe erfüllen?

Answer 17

Es sei 𝐺 eine Menge und ⋆∶𝐺×𝐺∶ →𝐺 eine Verknüpfung auf 𝐺. Dann heißt (𝐺,⋆) Gruppe, wenn gilt:

(1) Für alle 𝑥,𝑦,𝑧∈𝐺 gilt (𝑥⋆𝑦)⋆𝑧=𝑥⋆(𝑦⋆𝑧)
(2) Es existiert ein neutrales Element 𝑒∈𝐺 mit 𝑒⋆𝑥=𝑥 für alle 𝑥∈𝐺.
(3) Zu jedem 𝑥∈𝐺 gibt es ein inverses Element 𝑥−1∈𝐺 mit 𝑥⋆𝑥−1=𝑥−1⋆𝑥=𝑒.
(4) 𝑥⋆𝑦=𝑦⋆𝑥 für alle 𝑥,𝑦∈𝐺.

Question 18

Welche eigenschaften musse eine Gruppe erfüllen?

Answer 18

n der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.