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Matemática > Matemática I > Flashcards

Matemática I Flashcards

1
Q

Relação de Stewart

A

b²m + c²n = a(x² + mn)

Em que a, b, c são os lados do triângulo, x é uma ceviana e, m e n são, respectivamente as projeções dos lados c e b em a

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2
Q

Relação entre as tangentes dos ângulos de um triângulo

A

tgα + tgβ + tgγ = tgα.tgβ.tgγ

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3
Q

Reconhecimento de cônicas

A 
Seja Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
α = | 2A  B    D|
      |  B  2C   E|
      |  D   E  2F|
β = 4AC − B²
γ = A + C
----------------------------------------------------------------
α ≠ 0, β > 0 e αγ < 0 ⇔ Elipse
α ≠ 0 e β < 0 ⇔ Hipérbole
α ≠ 0 e β = 0 ⇔ Parábola
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4
Q

Volume da calota

A

⅓πh²(3R − h)

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5
Q

Rotação de sistemas

A

(a) _ ( cos θ -senθ).(a’)

b) − ( sen θ cosθ ) (b’

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6
Q

Altura do tetraedro regular

A

⅓a√6

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7
Q

Elipse (elementos)

A

2a → eixo maior (a é o semi-eixo maior)
2b → eixo menor (b é o semi-eixo menor)
2c → distância focal

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8
Q

Relação fundamental da elipse

A

a² = b² + c²

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9
Q

Relação notável da elipse

A

a² = b² + c²

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10
Q

Equação da elipse

A

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 1

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11
Q

Área e raio médio da elipse

A 
S = πab
Rm = √ab
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12
Q

Definição de elipse

A

PF₁ + PF₂ = 2a

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13
Q

Definição de hipérbole

A

|PF₁ - PF₂| = 2a

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14
Q

Hipérbole (elementos)

A

2a → eixo real ou transverso
2b → eixo imaginário
2c → distância focal

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15
Q

Excentricidade da hipérbole

A

e = c/a; e > 1

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16
Q

Relação notável da hipérbole

A

c² = b² + a²

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17
Q

Equação da hipérbole

A

(x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² = 1

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18
Q

Equação das assíntotas da hipérbole

A

(y - y₀) = ±a/b.(x - x₀) — eixo real x

(y - y₀) = ±b/a.(x - x₀) — eixo real y

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19
Q

Parábola (elementos)

A 
p: parâmetro
F: foco
V: vértice
D: diretriz (reta d)
DV = VF = ½ p
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20
Q

Equação da parábola

A

y² = 2px

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21
Q

Definição de parábola

A

d(PF) = D(Pd)

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22
Q

Relação de Euler (Geometria dos Poliedros)

A

V + F = A + 2

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23
Q

Soma dos ângulos de todas as faces (Geometria dos Poliedros)

A

S = (V – 2).360°

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24
Q

Equação das retas bissetrizes

A

Sejam r: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0

a₁x + b₁y + c₁/√(a₁²+ b₁²) = ± [a₂x + b₂y + c₂/√(a₂²+ b₂²)]

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25
Q

Tangência com cônicas

A

A equação da reta tangente à cônica no ponto P: (x₁,y₁)
é: y - y₀ = m(x - x₀)
Deve substituir o ponto P na equação da reta, isolar o y (ou x) e, em seguida, substituir o y/x na equação da cônica

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26
Q

Área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita

A

S = p.r

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27
Q

Lei dos senos

A

a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R

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28
Q

Lei dos cossenos

A

a² = b² + c² - 2bc.cosÂ

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29
Q

Fórmula trigonométrica da área

A

S = b.c.senÂ/2

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30
Q

Função seno

A

Domínio: |R
Período: 2π/|m| para f(x) = sen(mx)
Função ímpar
Im[f] = [-1,1]

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31
Q

Função cosseno

A

Domínio: |R
Período: 2π/|m| para f(x) = cos(mx)
Função par
Im[f] = [-1,1]

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32
Q

Função tangente

A

Domínio: = {x ∈ R | x ≠ π/2+ kπ, k ∈ Z}
Período: π/|m| para f(x) = tg(mx)
Função ímpar e estritamente crescente
Im[f] = |R

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33
Q

Função cotangente

A

Domínio: = {x ∈ |R | x ≠ kπ, k ∈ Z}
Período: π/|m| para f(x) = cotg(mx)
Função ímpar e estritamente decrescente
Im[f] = |R

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34
Q

Função secante

A

Domínio: = {x ∈ |R | x ≠ π/2+ kπ, k ∈ Z}
Período: 2π/|m| para f(x) = sec(mx)
Função par
Im[f] = ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[

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35
Q

Função cossecante

A

Domínio: = {x ∈ |R | x ≠ kπ, k ∈ Z}
Período: 2π/|m| para f(x) = sec(mx)
Função ímpar
Im[f] = ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[

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36
Q

Seno da soma e diferença

A

sen (a±b) = sen(a).cos(b) ± sen(b).cos(a)

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37
Q

Cosseno da soma e diferença

A

cos (a±b) = cos(a).cos(b) ∓ sen(a).sen(b)

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38
Q

Tangente da soma e diferença

A

tg(a±b) = [tg(a) ± tg(b)]/[ 1 ∓ tg(a).tg(b)]

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39
Q

Seno do arco metade

A

sen (a/2) = ±√{[1 - cos (a)]/2}

40
Q

Cosseno do arco metade

A

cos (a/2) = ±√{[1 + cos (a)]/2}

41
Q

Seno do arco triplo

A

sen (3a) = 3sen(a) - 4sen³(a)

42
Q

Cosseno do arco triplo

A

cos (3a) = 4cos³(a) - 3cos(a)

43
Q

Tangente do arco triplo

A

tg (3a) = [3tg(a) - tg³(a)]/[1 - 3tg²(a)]

44
Q

Transformação soma e produto de senos

A

sen p ± sen q = 2sen[(p ± q)/2].cos[(p ∓ q)/2]

45
Q

Transformação soma e produto de cossenos

A

cos p + cos q = 2cos[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

cos p + cos q = -2sen[(p + q)/2].sen[(p - q)/2]

46
Q

Função arco seno

A

Para -1 ≤ x ≤ 1 temos -π/2 ≤ y ≤ π/2

47
Q

Função arco cosseno

A

Para -1 ≤ x ≤ 1 temos 0 ≤ y ≤ π

48
Q

Função arco tangente

A

Para x ∈ |R, temos -π/2 < y < π/2

49
Q

Função arco cotangente

A

Para x ∈ |R, temos 0 < y < π

50
Q

Função arco secante

A

Para x ≤ –1 ou x ≥ 1, temos 0 ≤ y ≤ π, y ≠ π/2

51
Q

Função arco cossecante

A

Para x ≤ –1 ou x ≥ 1, temos -π/2 < y < π/2, y ≠ 0

52
Q

Condição de existência de um triângulo

A

|b − c| < a < b + c

53
Q

Natureza de um triângulo

A

a² = b² + c² ⇒ triângulo retângulo
a² < b² + c² ⇒ triângulo acutângulo
a² > b² + c² ⇒ triângulo obtusângulo

54
Q

Base média de um triângulo

A

É paralela à base desse triângulo e mede a metade dessa base

55
Q

Base média de um trapézio

A

É paralela às bases e é a média aritmética delas

56
Q

Mediana de Euler

A

Seja um trapézio ABCD.
Se os pontos P e Q são os pontos de interseção da base média MN com as diagonais AC e BD, então PQ é a mediana de Euler
PQ = (CD - AB)/2

57
Q

Ortocentro (O)

A

Ponto de encontro das alturas do triângulo
Acutângulo: Interior
Retângulo: No vértice oposto à hipotenusa
Obtusângulo: Exterior

58
Q

Baricentro (G)

A

Ponto de encontro das medianas do triângulo

A distância do baricentro a um dos vértices é 2/3 do comprimento da mediana

59
Q

Incentro (I)

A

Ponto de interseção das bissetrizes internas, centro da circunferência inscrita

60
Q

Mediana x Mediatriz

A

Mediana: Segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto
Mediatriz: Reta perpendicular a um dos lados desse triângulo no seu ponto médio

61
Q

Ângulo interno do polígono convexo

A

A(i) = (n - 2).180°/n

62
Q

Soma dos ângulos externos do polígono convexo

A

A(e) = 360°

63
Q

Propriedades dos pontos notáveis

A

• Em um triângulo isósceles, coincidem a mediana, a altura, a bissetriz interna e a mediatriz relativas à base.
• Em todo triângulo isósceles, os pontos notáveis (baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro) são alinhados.
• Em todo triângulo equilátero, os pontos notáveis são
coincidentes

64
Q

Diagonais de um polígono

A

d = n(n -3)/2

65
Q

Ângulo de segmento ou semi-inscrito

A

α = (AB)/2

66
Q

Ângulo excêntrico interior

A

α = [(AB) + (CD)]/2

67
Q

Ângulo excêntrico exterior

A

α = [(AB) - (CD)]/2

68
Q

Teorema de Tales

A

a/b = c/d

69
Q

Teorema da bissetriz interna

A

Seja o triângulo ABC com bissetriz interna AD que divide BC em m e n
c/m = b/n, m + n = a

70
Q

Teorema da bissetriz externa

A

Seja o triângulo ABC com bissetriz externa AD

c/m = b/n, m - n = a

71
Q

Razão de semelhança (k) entre dois sólidos

A

Se a razão de semelhança entre os lados é k, a proporção das áreas será k² e dos volumes k³

72
Q

Teorema de Pitot

A

A soma de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência é igual a dos outros dois

73
Q

Relação entre uma circunferência e duas cordas

A

Sejam AB e CD as cordas e P a interseção entre elas

PA.PB = PC.PD

74
Q

Relação entre uma circunferência e duas secantes

A

Sejam AB e CD duas cordas e P um ponto exterior à circunferência
PA.PB = PC.PD

75
Q

Relação entre uma circunferência, uma reta tangente e outra secante

A

Seja AB uma corda, T um ponto da circunferência e P um ponto exterior à circunferência
PT² = PA.PB

76
Q

Teorema de Menelaus

A

AB/BC . CD/DE . EF/FA = 1

77
Q

Teorema de Ceva

A

Seja ABC um triângulo qualquer e sejam D, E e F, respectivamente, pontos sobre os lados AB, BC, e AC
Então, AF, B D e CE são concorrentes em P se, e somente se,
AE/EB . BF/FC . CD/DA = 1

78
Q

Teorema de Ptolomeu

A

Em um quadrilátero ABCD inscritível, a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais

79
Q

Teorema de Hiparco

A

A razão entre as diagonais de um quadrilátero inscritível é igual a razão entre as somas dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais.
AC/BD = (AB.AD + BD.BC)/(AB.BC + AD.DC)

80
Q

Teorema de Carnot

A

Em um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência, a distância do circuncentro aos lados do triângulo é igual a soma do inraio com o circunraio

81
Q

Teorema de Euler

A

A distância entre o incentro e o ortocentro de um triângulo é R² -2Rr, em que R é o circunraio e r o inraio

82
Q

Área de um triângulo em função do inraio

A

A = p.r

83
Q

Área de um triângulo em função do circunraio

A

A = abc/4R

84
Q

Área de um triângulo em função dos lados

A

A = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

85
Q

Área do setor circular

A

S = d.R/2; d: arco

86
Q

Área do polígono regular

A

S = n.R²senα/2; α = 360°/n

87
Q

Relação de Euler (Geometria de Posição)

A

V + F = A + 2

88
Q

Soma dos ângulos internos das faces do poliedro

A

S = (V – 2) ⋅ 360º

89
Q

Tetraedro regular

A

– Faces triangulares

– Vértices triédricos

90
Q

Hexaedro regular

A

– Faces quadrangulares

– Vértices triédricos

91
Q

Octaedro regular

A

– Faces triangulares

– Vértices tetraédricos

92
Q

Dodecaedro regular

A

– Faces pentagonais

– Vértices triédricos

93
Q

Icosaedro regular

A

– Faces triangulares

– Vértices pentaédricos

94
Q

Volume do tronco de pirâmide

A

h(B + b + √Bb)/3

95
Q

Volume da Pirâmide

A

hB/3

96
Q

Soma da distância das distâncias entre um ponto P pertencente a elipse e seus focos

A

É constante e igual ao eixo maior

97
Q

Arestas de um poliedro

A

2A = 3F₃ = 4F₄ = …

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