Matemática I Flashcards
1
Q
Relação de Stewart
A
b²m + c²n = a(x² + mn)
Em que a, b, c são os lados do triângulo, x é uma ceviana e, m e n são, respectivamente as projeções dos lados c e b em a
2
Q
Relação entre as tangentes dos ângulos de um triângulo
A
tgα + tgβ + tgγ = tgα.tgβ.tgγ
3
Q
Reconhecimento de cônicas
A
Seja Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
α = | 2A B D|
| B 2C E|
| D E 2F|
β = 4AC − B²
γ = A + C
----------------------------------------------------------------
α ≠ 0, β > 0 e αγ < 0 ⇔ Elipse
α ≠ 0 e β < 0 ⇔ Hipérbole
α ≠ 0 e β = 0 ⇔ Parábola
4
Q
Volume da calota
A
⅓πh²(3R − h)
5
Q
Rotação de sistemas
A
(a) _ ( cos θ -senθ).(a’)
b) − ( sen θ cosθ ) (b’
6
Q
Altura do tetraedro regular
A
⅓a√6
7
Q
Elipse (elementos)
A
2a → eixo maior (a é o semi-eixo maior)
2b → eixo menor (b é o semi-eixo menor)
2c → distância focal
8
Q
Relação fundamental da elipse
A
a² = b² + c²
9
Q
Relação notável da elipse
A
a² = b² + c²
10
Q
Equação da elipse
A
(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 1
11
Q
Área e raio médio da elipse
A
S = πab Rm = √ab
12
Q
Definição de elipse
A
PF₁ + PF₂ = 2a
13
Q
Definição de hipérbole
A
|PF₁ - PF₂| = 2a
14
Q
Hipérbole (elementos)
A
2a → eixo real ou transverso
2b → eixo imaginário
2c → distância focal
15
Q
Excentricidade da hipérbole
A
e = c/a; e > 1
16
Q
Relação notável da hipérbole
A
c² = b² + a²
17
Q
Equação da hipérbole
A
(x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² = 1
18
Q
Equação das assíntotas da hipérbole
A
(y - y₀) = ±a/b.(x - x₀) — eixo real x
(y - y₀) = ±b/a.(x - x₀) — eixo real y
19
Q
Parábola (elementos)
A
p: parâmetro F: foco V: vértice D: diretriz (reta d) DV = VF = ½ p
20
Q
Equação da parábola
A
y² = 2px
21
Q
Definição de parábola
A
d(PF) = D(Pd)
22
Q
Relação de Euler (Geometria dos Poliedros)
A
V + F = A + 2
23
Q
Soma dos ângulos de todas as faces (Geometria dos Poliedros)
A
S = (V – 2).360°
24
Q
Equação das retas bissetrizes
A
Sejam r: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0
a₁x + b₁y + c₁/√(a₁²+ b₁²) = ± [a₂x + b₂y + c₂/√(a₂²+ b₂²)]
25
Tangência com cônicas
A equação da reta tangente à cônica no ponto P: (x₁,y₁)
é: y - y₀ = m(x - x₀)
Deve substituir o ponto P na equação da reta, isolar o y (ou x) e, em seguida, substituir o y/x na equação da cônica
26
Área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita
S = p.r
27
Lei dos senos
a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R
28
Lei dos cossenos
a² = b² + c² - 2bc.cosÂ
29
Fórmula trigonométrica da área
S = b.c.senÂ/2
30
Função seno
Domínio: |R
Período: 2π/|m| para f(x) = sen(mx)
Função ímpar
Im[f] = [-1,1]
31
Função cosseno
Domínio: |R
Período: 2π/|m| para f(x) = cos(mx)
Função par
Im[f] = [-1,1]
32
Função tangente
Domínio: = {x ∈ R | x ≠ π/2+ kπ, k ∈ Z}
Período: π/|m| para f(x) = tg(mx)
Função ímpar e estritamente crescente
Im[f] = |R
33
Função cotangente
Domínio: = {x ∈ |R | x ≠ kπ, k ∈ Z}
Período: π/|m| para f(x) = cotg(mx)
Função ímpar e estritamente decrescente
Im[f] = |R
34
Função secante
Domínio: = {x ∈ |R | x ≠ π/2+ kπ, k ∈ Z}
Período: 2π/|m| para f(x) = sec(mx)
Função par
Im[f] = ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[
35
Função cossecante
Domínio: = {x ∈ |R | x ≠ kπ, k ∈ Z}
Período: 2π/|m| para f(x) = sec(mx)
Função ímpar
Im[f] = ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[
36
Seno da soma e diferença
sen (a±b) = sen(a).cos(b) ± sen(b).cos(a)
37
Cosseno da soma e diferença
cos (a±b) = cos(a).cos(b) ∓ sen(a).sen(b)
38
Tangente da soma e diferença
tg(a±b) = [tg(a) ± tg(b)]/[ 1 ∓ tg(a).tg(b)]
39
Seno do arco metade
sen (a/2) = ±√{[1 - cos (a)]/2}
40
Cosseno do arco metade
cos (a/2) = ±√{[1 + cos (a)]/2}
41
Seno do arco triplo
sen (3a) = 3sen(a) - 4sen³(a)
42
Cosseno do arco triplo
cos (3a) = 4cos³(a) - 3cos(a)
43
Tangente do arco triplo
tg (3a) = [3tg(a) - tg³(a)]/[1 - 3tg²(a)]
44
Transformação soma e produto de senos
sen p ± sen q = 2sen[(p ± q)/2].cos[(p ∓ q)/2]
45
Transformação soma e produto de cossenos
cos p + cos q = 2cos[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]
| cos p + cos q = -2sen[(p + q)/2].sen[(p - q)/2]
46
Função arco seno
Para -1 ≤ x ≤ 1 temos -π/2 ≤ y ≤ π/2
47
Função arco cosseno
Para -1 ≤ x ≤ 1 temos 0 ≤ y ≤ π
48
Função arco tangente
Para x ∈ |R, temos -π/2 < y < π/2
49
Função arco cotangente
Para x ∈ |R, temos 0 < y < π
50
Função arco secante
Para x ≤ –1 ou x ≥ 1, temos 0 ≤ y ≤ π, y ≠ π/2
51
Função arco cossecante
Para x ≤ –1 ou x ≥ 1, temos -π/2 < y < π/2, y ≠ 0
52
Condição de existência de um triângulo
|b − c| < a < b + c
53
Natureza de um triângulo
a² = b² + c² ⇒ triângulo retângulo
a² < b² + c² ⇒ triângulo acutângulo
a² > b² + c² ⇒ triângulo obtusângulo
54
Base média de um triângulo
É paralela à base desse triângulo e mede a metade dessa base
55
Base média de um trapézio
É paralela às bases e é a média aritmética delas
56
Mediana de Euler
Seja um trapézio ABCD.
Se os pontos P e Q são os pontos de interseção da base média MN com as diagonais AC e BD, então PQ é a mediana de Euler
PQ = (CD - AB)/2
57
Ortocentro (O)
Ponto de encontro das alturas do triângulo
Acutângulo: Interior
Retângulo: No vértice oposto à hipotenusa
Obtusângulo: Exterior
58
Baricentro (G)
Ponto de encontro das medianas do triângulo
| A distância do baricentro a um dos vértices é 2/3 do comprimento da mediana
59
Incentro (I)
Ponto de interseção das bissetrizes internas, centro da circunferência inscrita
60
Mediana x Mediatriz
Mediana: Segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto
Mediatriz: Reta perpendicular a um dos lados desse triângulo no seu ponto médio
61
Ângulo interno do polígono convexo
A(i) = (n - 2).180°/n
62
Soma dos ângulos externos do polígono convexo
A(e) = 360°
63
Propriedades dos pontos notáveis
• Em um triângulo isósceles, coincidem a mediana, a altura, a bissetriz interna e a mediatriz relativas à base.
• Em todo triângulo isósceles, os pontos notáveis (baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro) são alinhados.
• Em todo triângulo equilátero, os pontos notáveis são
coincidentes
64
Diagonais de um polígono
d = n(n -3)/2
65
Ângulo de segmento ou semi-inscrito
α = (AB)/2
66
Ângulo excêntrico interior
α = [(AB) + (CD)]/2
67
Ângulo excêntrico exterior
α = [(AB) - (CD)]/2
68
Teorema de Tales
a/b = c/d
69
Teorema da bissetriz interna
Seja o triângulo ABC com bissetriz interna AD que divide BC em m e n
c/m = b/n, m + n = a
70
Teorema da bissetriz externa
Seja o triângulo ABC com bissetriz externa AD
| c/m = b/n, m - n = a
71
Razão de semelhança (k) entre dois sólidos
Se a razão de semelhança entre os lados é k, a proporção das áreas será k² e dos volumes k³
72
Teorema de Pitot
A soma de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência é igual a dos outros dois
73
Relação entre uma circunferência e duas cordas
Sejam AB e CD as cordas e P a interseção entre elas
| PA.PB = PC.PD
74
Relação entre uma circunferência e duas secantes
Sejam AB e CD duas cordas e P um ponto exterior à circunferência
PA.PB = PC.PD
75
Relação entre uma circunferência, uma reta tangente e outra secante
Seja AB uma corda, T um ponto da circunferência e P um ponto exterior à circunferência
PT² = PA.PB
76
Teorema de Menelaus
AB/BC . CD/DE . EF/FA = 1
77
Teorema de Ceva
Seja ABC um triângulo qualquer e sejam D, E e F, respectivamente, pontos sobre os lados AB, BC, e AC
Então, AF, B D e CE são concorrentes em P se, e somente se,
AE/EB . BF/FC . CD/DA = 1
78
Teorema de Ptolomeu
Em um quadrilátero ABCD inscritível, a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais
79
Teorema de Hiparco
A razão entre as diagonais de um quadrilátero inscritível é igual a razão entre as somas dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais.
AC/BD = (AB.AD + BD.BC)/(AB.BC + AD.DC)
80
Teorema de Carnot
Em um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência, a distância do circuncentro aos lados do triângulo é igual a soma do inraio com o circunraio
81
Teorema de Euler
A distância entre o incentro e o ortocentro de um triângulo é R² -2Rr, em que R é o circunraio e r o inraio
82
Área de um triângulo em função do inraio
A = p.r
83
Área de um triângulo em função do circunraio
A = abc/4R
84
Área de um triângulo em função dos lados
A = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]
85
Área do setor circular
S = d.R/2; d: arco
86
Área do polígono regular
S = n.R²senα/2; α = 360°/n
87
Relação de Euler (Geometria de Posição)
V + F = A + 2
88
Soma dos ângulos internos das faces do poliedro
S = (V – 2) ⋅ 360º
89
Tetraedro regular
– Faces triangulares
| – Vértices triédricos
90
Hexaedro regular
– Faces quadrangulares
| – Vértices triédricos
91
Octaedro regular
– Faces triangulares
| – Vértices tetraédricos
92
Dodecaedro regular
– Faces pentagonais
| – Vértices triédricos
93
Icosaedro regular
– Faces triangulares
| – Vértices pentaédricos
94
Volume do tronco de pirâmide
h(B + b + √Bb)/3
95
Volume da Pirâmide
hB/3
96
Soma da distância das distâncias entre um ponto P pertencente a elipse e seus focos
É constante e igual ao eixo maior
97
Arestas de um poliedro
2A = 3F₃ = 4F₄ = ...
