Matemática frente 2 Flashcards
O que são números Naturais? Qual letra o representa?
Números para frente de 0, que são inteiros. N
O que são números Inteiros? Qual letra os representa?
números sem casas decimais do infinito para trás do 0 e para frente.
(…,-1,0,1,…). Z
O que são números racionais? Qual letra os representa?
São números inteiros, decimais exatos ou dízimas periódicas. Q
O que são números irracionais? Qual letra os representa?
são números que não podem ser escritos como a razão entre dois inteiros: Ex: Pi, raiz de 2, raiz de 3, pi + 1. R/Q
O que são números reais? Qual letra os representa?
Os reais são os racionais e os irracionais juntos, ou seja, todos, menos os complexos. R
potenciação
•a^m . a^n = ?
•a^m/a^n =?
•(a^m)^n = ?
•(a.b)^m = ?
•(a/b)^m = ?
•a^1=?
•a^0=?
•a^-1=?
• a^m+n
• a^m-n
• a^m.n
• a^m . b^m
•a^m/b^m
•a
•1
•(1/a)
Quais são os casos de racionalização? (3)
•quando a raiz é quadrada, só repetir o número
•quando a raiz é diferente de quadrada, multiplicar pelo o que falta pra alcançar o índice
•diferença de quadrados quando é uma soma de raiz com número inteiro
Qual o processo de transformar dízima em fração?
multiplica a dizima por 10, até achar 2 números que tem os decimais iguais. Subtrai eles e subtrai qnts vezes um foi multiplicado por 10 por quanto o outro foi
Como achar o MDC? Qual tipo de questão aborda ele?
fatore os números até o último que divide ambos. O MDC é a “interseção” dos números que usaram para fatorar (menor expoente). Questões sobre dividir algo
Como achar o MMC? Qual tipo de questão aborda ele?
fatore os números até 1,1. Depois do último divisor comum, continue até dividir completamente todos.
O MMC é a “união” (maior expoente de cada número) das fatorações. Questões de encontro.
Qual a fórmula da multiplicação entre MMC e MDC?
MMC (x,y) . MDC (x,y) = x.y
Qual a fórmula Do número de divisores inteiros de um inteiro?
d= 2. (expoente1+ 1). (expoente2+1). ………. (expoenteN+ 1)
Ex:
12= 2^2 . 3^1
d= 2. (2+1).(1+1)
d= 2. 3.2 = 12 divisores positivos e negativos.
Qual a fórmula da divisão euclidiana?
N= d. Q + R
N= dividendo
d= divisor
Q= quociente
R= resto
Como é o quadrado da soma de 2 termos? E da diferença?
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
da diferença= troca para -2ab
Como é o produto da soma pela diferença de dois termos?
(a+b).(a-b) = a^2 - b^2
Como é o quadrado da soma de 3 termos? 
(a+b+c)^2= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
Como é o cubo da soma? E da diferença?
(a+b)^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Na diferença troca-se para
-3a^2b e -b^3
Como é a soma de dois cubos?
a^3 + b^3 = (a+b). (a^2 -ab + b^2)
perceba que é diferente do cubo da soma!! z
Quais são as formas de fatoração? Na ordem de tentativa!
1-Fator comum
2-Agrupamento
3-Fatoração do 2º grau
4-Trinômios quaisquer
5-Fatoração do 3º grau
Como determina o fator comum?
Deve-se atentar ao fator que aparece em todas as partes, evidenciá-lo enquanto multiplica o “resto”
Ex: ax+bx -> x.(a+b)
x em comum multiplicando o resto
Como determinar um agrupamento?
Encontrar os n fatores comuns, evidenciar eles e depois evidenciar de novo o fator comum entre os diferentes agrupamentos. (Costuma ser em expressões com número par de partes)
Ex: ax+bx+ay+by ->
x(a+b) + y(a+b) -> (a+b).(x+y)
Como fazer uma fatoração com trinômios quaisquer?
descobrir as raizes da equação (iguala a expressão a 0),
usar a fórmula: a.(x-x1).(x-x2).
Ex: x^2 + x - 2 = 0
x1= -2
x2= 1
1.(x+2)(x-1)
Qual a fórmula do juros simples?
J= C. i. t
—-
100
J:juros
C: capital
i:taxa de juros
t:tempo
Qual a fórmula do juros composto?
M= C. F^t
F= 100% + i%
M: montante
C: capital
i:taxa de juros
t:tempo
Como é uma grandeza diretamente proporcional? E inversamente?
GDP
x
— = K
y
um aumenta, o outro aumenta
GIP
x.y= K
um aumenta, o outro diminui
Em uma regra de três composta como se faz a conta para achar uma incógnita?
Se for diretamente proporcional multiplica as frações, se for inversamente, mutiplica as frações inversas.
Ex:
GDP (todos)
16 12 6
— = —— . ——
x 24 8
GIP (16/x e 6/8)
16 12 8
— = —— . ——
x 24 6
Como descobrir a razão de uma progressão aritmética?
R= (An) - (An-1)
Como é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética? 
An= Ap + (n - p). r
An= termo que quer descobrir
Ap= termo que já tem
n= posição do An
p= posição do Ap
r= razão
Qual é a propriedade dos três termos consecutivos de uma P.A? 
Seja (…a, b, c,…)
b= a+c
——-
2
Qual a propriedade dos termos equidistantes dos extremos de uma P.A? 
O primeiro termo somado com o último é igual o segundo com o penúltimo, que é igual ao terceiro com o anti penúltimo…
Seja: (An, Ap, Aq, As, At)
An+ At= Ap+ As = 2.Aq
Qual a propriedade de uma P.A ímpar ou de três termos?
(x-r), (x), (x+r)
Qual a propriedade de uma P.A de quatro termos?
(x - 3y), (x -y), (x), (x+y), ( x + 3y)
Qual a fórmula da soma dos termos de uma P.A? 
Sn= (A1 + An). n/2
Como descobre a razão de uma progressão geométrica?
q= An
——-
An-1
An:termo
An-1:termo anterior
q:razão
Qual a fórmula do termo geral de uma P.G?
An= A1. q^ n-1
OU
An= Ap. q^n-p
q:razão
A1:primeiro termo
An:termo
Ap:outro termo
n: posição
p:posição
Como é a propriedade dos três termos consecutivos de uma P.G?
Seja (…,a,b,c,…):
b^2= a.c
Como é a propriedade dos termos equidistantes dos extremos de uma P.G?
Seja (A1,A2,A3,…,An-2, An-1, An) uma P.G:
A1.An= A2.An-1= A3.An-2=…
Qual a propriedade da P.G de três termos? 
x/q; x; x.q
Como é a propriedade do produto de n termo de uma P.G?
Pn= a1.a2.a3. … . an:
Pn= (A1)^n . q^ 1+2+3+…+ n-1
n-1:penúltima posição
Qual é a fórmula da soma de n termos de uma P.G? 
Sn= a1.(q^n -1)
—————-
q-1
Qual é a fórmula da soma de infinitos termos de uma P.G? 
S= A1
——-
1-q
Quais as formas de uma matriz?
Amxn=
m: linha
n:coluna
Aij=
i: linha
j: coluna
O que é uma matriz linha e coluna?
matriz linha só tem 1 linha
matriz coluna só tem 1 coluna
O que é uma matriz retangular ou matriz quadrada?
matriz retangular:
possui número de linhas diferente de número de colunas
matriz quadrada:
possui mesmo número de linhas e colunas
O que é uma matriz nula?
uma matriz que possui apenas 0
O que é uma matriz oposta e o que é uma matriz transposta?
•matriz oposta:
é uma matriz que possui os sinais opostos da matriz original->
A1x3= [1 0 -3]
-A1x3= [-1 0 3]
•matriz transposta:
a linha troca pela coluna e a coluna pela linha
Ex:
A2x3 = [ 5 -1 2]
[ 0 4 3]
A^t 3x2= [ 5 0]
[-1 4]
[ 2 3]
O que é uma matriz triangular superior e uma matriz triangular inferior?
•matriz triangular superior:
abaixo da diagonal principal só tem 0
•matriz triangular inferior:
acima da diagonal principal só tem 0
O que é uma matriz diagonal?
Só tem número diferente de 0 na diagonal
O que é uma matriz identidade?
tem o número 1 só na diagonal e 0 no resto
O que é uma matriz simétrica e antissimetrica?
matriz simétrica:
A^t= A
antissimetrica:
A^t= -A
Como faz adição de matrizes?
Elas precisam ter a mesma ordem, a soma é feita entre um elemento de uma linha e coluna com cada elemento dessa mesma linha e coluna da outra matriz.
Como faz subtração de matrizes?
Elas precisam ter a mesma ordem, a subtração é feita entre um elemento de uma linha e coluna com cada elemento dessa mesma linha e coluna da outra matriz.
Como faz multiplicação escalar de matriz?
Multiplica o fator por cada elemento da matriz
Ex:
- |1 -2|
|5 3 |
= | 2 -4|
|10 6|
Como multiplica matrizes?
A matriz deve ter mesmo número número de colunas = linhas da outra e a matriz resultante vai ter mesmo número de linhas da primeira e de colunas da segunda.
A operação é feita de modo que cada elemento da linha da primeira deve ser multiplicado por cada elemento da coluna da segunda e somados.
Ex:
|1 2 -1| x |1 2 |
|0 4 3| |0 1 |
| 4 5|
= 1.1 + 2.0 + (-1). 4 = -3
1.2 + 2.1 + (-1). 5 = -1
0.1+ 4.0 + 3.4 = 12
0.2 + 4.1 + 3.5 = 19
então:
= | -3 -1|
| 12 19|
Como calcular determinante pela regra de Sarrus? 
É usado para matrizes de ordem três copia-se os dois primeiros termos das 3 linhas e multiplica em diagonal, somando para obter o determinante.
Como funciona o teorema de Laplace?
O determinante da matriz é a soma dos produtos entre os elementos de uma fila pelos respectivos cofatores. O cofator é calculado por:
Aij= (-1)^ i+j . Dij
i: linha
j: coluna
Dij: determinante quando elimina a linha e coluna do elemento
Como funciona a regra de Chio?
A regra usada para achar o determinante de uma matriz que o primeiro elemento é 1.
Primeira coluna e linha são destacadas. Cada elemento restante é subtraído pelo elemento destacado de sua linha e coluna, formando uma matriz de ordem 3, aplica-se a regra de Sarrus e descobre o determinante correspondente
Como descobre a matriz inversa?
A. A^-1 = I
I: matriz identidade
ex: de uma I 2
[10]
[01]
Qual a regra pratica para descobrir a matriz inversa de ordem 2?
I) trocar posição dos elementos da diagonal principal
II) trocar sinal dos elementos da diagonal secundária
III) dividir todos elementos pelo determinante
Quais são as propriedades operacionais das matrizes?
as propriedades normais dos números em relação a soma, subtração e potenciação é igual, mas as propriedades normais de multiplicação e divisão não se aplicam.
Como é o teorema de Jacobi?
serve para facilitar o cálculo da determinante e é a regra de que uma combinação linear não altera o determinante da matriz
Ex:
|2 7 4|1ª linha .-4 soma na 3ª linha
|6 8 0|——->
|3 25 18|
|2 7 4|
|6 8 0| = det= 36
|-5 -3 2|
Como é o teorema de Binet?
det (An. Bn. … Nn) =
det(A). det(B). … . det(N)
ou seja, a determinante pode ser calculada separadamente e depois multiplicadas, não precisa achar a matriz multiplicada
Como é o determinante de uma matriz inversa?
det (A^-1)= 1
———
det(A)
Quais fatores alteram uma determinante?
-trocar filas paralelas de posição (troca o sinal da determinante)
-multiplicar uma fila por K (também multiplica o determinante)
-multiplicar todos os elementos de uma matriz por K (det. K^n)
n: ordem da matriz
Quando o determinante é nulo?
-fila de elementos nulos
-filas paralelas iguais
|2 1 7|
|3 0 2| = 0
|2 1 7|
-filas paralelas proporcionais
|2 1 3 |
|5 4 12|= 0
|3 2 6 |
-filas geradas por combinações lineares
O que é um sistema possível e determinado? Como é seu determinante?
É um sistema linear com uma solução única. O determinante é diferente de 0
O que é um sistema impossível? Como é seu determinante?
É um sistema linear que não possui solução. Determinante é igual a 0, mas o Dx ou o Dy são diferentes de 0.
ex:
x+ 3y= -7
2x + 6y = 12
impossível pq multiplica por 2 e o resultado não
O que é um sistema possível e indeterminado? Como é seu determinante?
é um sistema linear com infinitas soluções. Seu determinante é igual a 0, e o Dx=Dy=Dz=0
ex:
x+2y= 4
3x + 6y = 12
multiplicou por 3
seja y=k
S: {(4-2k;k); k E R}
Como realiza a regra de Cramer?
É usado para resolver um sistema linear, resolve-se descobrindo o Dx, Dy e Dz. Primeiro descobre-se a determinante geral, colocando os coeficientes de cada incógnita. Depois os Dx, Dy e Dz são descobertos a partir da substituição do resultado de cada equação na coluna do x para o Dx, do y para o Dy e do z do Dz, deixando os outros coeficientes.
Depois o resultado das incógnitas é:
x= Dx y= Dy z= Dz
——- ——- ——-
D D D
Como calcula a média geométrica?
Xg= raiz de x1. x2. … . xn
índice: n
Como calcula a média harmônica?
Xh= n
———————-
1 1 1
— + —+ … + ——
x1 x2 xn
Como calcula a média quadrática?
Xg= X1^2 + X2^2 + … + xn^2
————————————
n
O que é moda?
Elemento que mais aparece em um grupo de números
O que é mediana?
é o elemento central de uma distribuição em rol
caso sejam 2, faz-se a média aritmética deles
Como calcula a variância? e o Desvio padrão?
variância^2=
(x1 - Xa)^2 + … + (Xn - Xa)^2
—————————————-
n
x1: dado
xa: média
desvio padrão = raiz da variância
Como é a representação algébrica de um número complexo?
Z1= a + b.i
a: parte real
b: parte imaginária
Oq é um número imaginário puro e um real puro?
número imaginário puro é um número que possui 0 como parte real
ex: Z= 3i
número real puro é um número que possui parte imaginária = 0
ex: Z= -2
Oq é um número complexo conjugado?
É o número complexo, no qual ocorre a troca do sinal da parte imaginária
ex: Z= 2 + 3i
conjugado= 2 -3i
Como soma e subtrai números complexos?
Faz a parte de real com a parte de real e a imaginária com imaginária
ex:
2+ 3i + 5 -2i= 7 + i
Como multiplica números complexos?
Faz uma distributiva entre os números
ex:
(2+ 3i) . (-5+ i) = -13 -13i
Como divide números complexos?
É como uma racionalização, você multiplica em cima e em baixo pelo conjugado do número de baixo.
Ex:
2+3i (-5-i) -7 - 17i
—— . ——- = —— ——
-5+i (-5-i) 26 26
Quais são as potências de i? Como calcula um i elevado a um número muito grande?
i^1= i
i^2= -1
i^3= -i
i^4= 1
dps repete
Divide o expoente por 4 e use o resto como referência de expoente para potência de i
ex: i^2025
2025/4 = 506 e sobra 1
logo i^1= i
Como é a forma trigonométrica de um número complexo?
Z = | Z | . (cosO + i.senO)
|Z|: módulo de Z
O: ângulo entre reta e eixo x
Qual é a fórmula do módulo de um número complexo?
|Z|= raiz de a^2 + b^2
a e b: afixo/ imagem de Z
Qual é a fórmula do argumento de um número complexo?
senO= b
——-
|Z|
cosO= a
——
|Z|
O que é o termo independente de um polinômio?
P(x)= An. X^n + An-1. X^n-1+…+A1.x + A0
Termo independente é o A0, ou seja,
P(0) = A0
Como calcula a soma dos coeficientes de um polinômio?
P(x)= An. X^n + An-1. X^n-1+…+A1.x + A0
Soma dos coeficientes é obtida quando:
P(1) = An* An-1 + … + A1 + A0
O que é coeficiente dominante de um polinômio?
P(x)= An. X^n + An-1. X^n-1+…+A1.x + A0
É o coeficiente que multiplica o grau do polinômio ( An)
Como realiza a divisão polinomial?
O método da chave é uma divisão normal e o método briot ruffini:
coloca a raiz do divisor, separa por uma linha, coloca em sequência os coeficientes, aí multiplica o coeficiente pela raiz e soma por cima, repete esse processo em todos, o último número é o resto, e os demais são os coeficientes do polinômio resultante da divisão.
Quais são as relações de girard?
Ex: x1,x2 e x3 são raízes de um polinômio de terceiro grau
f(x) = ax^3 + b.x^2 + c.x + d
•x1+ x2+ x3 = -b/a
•x1.x2+ x1.x3 + x2.x3 =6 c/a
•x1.x2.x3=-d/a
