MA2 Flashcards
Vnitrni bod mnoziny M
Bod je vnitrnim bodem mnoziny M, pokud najdu okoli (jakekoliv) tak, ze se cele schova do M
Hranicni bod mnoziny M
Bod je hranicni, pokud pro jakekoliv okoli zasahuje jak do M, tak i mimo
Pokud ale izolovany prvek je definovan jako soucast M, ale lezi mimo M, je sam o sobe jejim hranicnim bodem, protoze jeho prunik sam se sebou lezi v M i v doplnku M
Vnejsi bod mnoziny M
Bod je vnejsi, pokud najdu okoli (jakekoliv) tak, ze nelezi v M
Vnitrek mnoziny
Mnozina vnitrnich bodu M
Hranice mnoziny
Mnoziny hranicnich bodu M
Uzaver mnoziny
Sjednoceni vnitrku a hranice mnoziny M vsechno dohromady ohledne M
Otevrena mnozina
Pokud vsechny body M jsou vnitrni (nema hranicni body)
Uzavrena mnozina
Pokud vsechny body jsou vnitrni nebo hranicni
Neboli pokud hranicni body patri do M
Kdy je mnozina uzavrena a omezena?
P.t.k. pro kazdou posloupnost z M existuje vybrana podposloupnost, ktera konverguje k bodu lezicim v M
(Je omezena nejakym tim bodem)
Doplnek otevrene/uzavrene mnoziny
Je mnozina uzavrena/otevrena
Vykrojim z prostoru neco a zbytek ma opacnou vlastnost
Hromadny bod mnoziny M
Je takovy bod, v jehoz libovolnem okoli lezi nekonecne mnoho bodu mnoziny M
Izolovany bod mnoziny M
Bod s libovolnym okolim (ktere najdu) takovym ze v nem nelezi zadny prvek mnoziny M
Mnozina je omezena kdyz
Se da vepsat do koule o polomeru R
Omezena nekonecna mnozina ma…
Hromadny bod
Dukaz pomoci vnorenych intervalu v kvadrantech
Pokud omezime mnozinu, tak nutne se nekde musi zahustit -> hromadny bod
Rovnice roviny v prostoru
ax+by+cz+d=0
Rovnice paraboloidu
z=x^2+y^2
Rovnice kuzele
z=(x^2+y^2)^1/2
Polarni souradnice
x=ρcosx
y=ρsinx
Vypocet limity pro dve promenne
Zkusim priblizeni po krivkach (ruznych) a musi vychazet stejna hodnota
Zkusim dosadit x=0, y=0, y=kx, y=x^2…
Spojita funkce na omezene uzavrene mnozine nabyva…
Minima i maxima
Derivace fce f ve smeru vektoru v
δf(x)/δv = lim(t->0) f(x + tv) - f(x) / t
Neboli je to pomer mezi tim, jaka je hodnota v bode puvodnim oproti tomu kdyz se posuneme t nasobkem ve smeru v
Pocitame smernici tecny v bode ke grafu - ukazujeme jak se meni graf v danem smeru
Definice diferencialu
U funkce vice promennych diferencial odpovida derivaci.
Mejme funkci f a bod b. Rekneme, ze f ma diferencial v bode b pokud existuje linearni zobrazeni L takove ze
lim(v->0) f(b+v) - f(b) - L(v) / ||v|| = 0
Je to stejny jako derivace (pomer rozdilu hodnot v pocatku oproti posunutemu ku posunuti), akorat se tam prida linearni zobrazeni jako chyba aproximace a chyba je nejmensi, tedy rozdil je nulovy
JINAK
differencial je L = df(x) je linearni zobrazeni, ktere nejlepe apeoximuje fci f vice promennych
Ma-li fce v bode x diferencial, pak je v bode x…
Spojita
Gradient
Vektor, jehoz slozky jsou parcialni derivace puvodniho vektoru
Derivuji puvodni vektor po slozkach
Diferencial funkce f v bode x(a, b)
Je to skalarni soucin obecneho vektoru v (ve smeru) s gradientem fce (do ktereho dosadim bod x)
Je to smer*gradient
Vyznam grafientu
Gradient je vektor, ktery udava smer nejvetsiho rusti funkcni hodnoty fce f. Pokud pujdu opacnym smerem, je to nejvetsi spad, pokud jdu kolmo ke grafientu - pohybuju se po vrstevnici, tedy na stejne urovni.
Grafient je kolmy na mnozinu M ktera je vrstevnici
Tecna rovina ke grafu fce f v bode x0
Je to mnozina vsech vektoru, ktere jsou kolme na normalovy vektor fce F.
Funkci F ziskam jako puvodni fci f(x,y) od ktere jeste odectu z. Gradient F v bode x0 je normalovy vektor.
Potom spocitam rozdil obecneho bodu (x,y,z) - (zadany body) a jeho skalarni soucin s gradientem. Vysledna rovnice je tecna rovina
Derivace vyssiho radu
Operator δf/δx je funkce ktera vraci novou funkci -> derivuje f po slozce x. Muzeme to retezit jako δ^2f/δxδy a na poradi jestli derivujeme nejdriv podle nebo nejdriv polde y a obracene v MA2 nezalezi, ale obecne to nemusi platit a na poradi muze zalezet. Pokud jsou tyto dve varianty spojote v bode ve kterym derivujeme, pak na poradi nezalezi
Tayloruv rozvoj fce vice promennych
Pokud je fce f tridy C^k+1 (ma spojite derivave do radu k+1) na otevrene mnozine G a usecka od x0 do x0+h lezi v G, pak plati:
f(x0+h) = Σ1/k! * (h*grad)^k * f(x0) + chyba
Kde chyba je k+1 clen v bode f(x+Θh) pro theta v intervalu (0,1)
F je tridy c^K na otevrene mnozine G
Pokud vsechny parcialni derivace fce f na mnozine G do radu K jsou spojite
Prubeh najiti taylorova polynomu napr stupne dva pro fci f v bode a
Spocitam f(a), spocitam gradient v bode a, spocitam matici druhych derivaci v bode a, dosadim do rovnice
T2=f(a) + gradh + 1/2! * hgrad^2*h…
Jeli v bode x lokalni extrem, pak…
je smerova derivace v tomto bode nulova a je to stacionarni bod
Hessian
Matice druhych derivaci vsech kombinaci slozek, je symetricka, tudiz potrebuju jen diagonalu a pravou polovinu
Kvadraticka forma
Je bileniarni zobrazeni Q(h) = B(h,h). Napriklad Hessian je bilinearni zobrazeni (bere dvojici vektoru a vraci posila je na R pomoci matice). Pokud do Hessianu dosadime dva stejne vektoru, obdrzime kvadratickou formu typu xAx.
Kvadraticka forma zadava skalarni soucin a urcuje lok extremy.
Pozitivne/negitivne/indefinitni definitni kvadraticka forma
ex c>0: Q(h) >= c*||h||^2 “je kladna, paraboloid natoceny nahoru”, je lok. minimum
=|= <= -c “je zaporny paraboloid”, je lok. maximum
pro h1,h2 plati Q(h1) > 0, Q(h2) < 0 “sedlo, v jednom smeru klesa, ve druhem roste” neni lok. extrem
Silvestrovo kriterium - jak poznat definitnost matice
Poz def p.t.k. vsechny subdeterminanty jsou kladne
Neg def p.t.k determinanty stridaji znamenka a prvni je ZAPORNY
Indefinitni p.t.k. determinant matice je nenulovy a neplati prvni dve trvezeni
Vazany extrem fce f na mnozine
Je to takovy extrem, ktery je splnen ne na celem oboru fce f, ale pouze v ramci mnoziny M, je ji vazan
Vazebni podminka
rovnice rovna nule pro fci dvou/tri promennych x+y=0 jako mnozina M na ktere kledame extrem
Lagrangeova veta, funkce
Mejme fci f radu C^k a vazebni funkce g1…gn na otevrene mnozine. Mnozine M(vazebnich funkci) je mnozina vazebnich podminek, na ktere vysetrujeme extremy f. Gradienty vazebnich funkci jsou lin nezavisle na M. Jeli v bode x extrem funkce f, pak plati, ze Lagrangeova funkce L = f - (lambda1g1 + lambda2g2 … + lambdangn). Kde lambda jsou lagrangeovz multiplikatory
Postup nalezeni vazaneho extremu fce f pri vazebni podmince zadanou ROVNOSTI
Sestavim rovnici L = f - lambda1g1 - lambda2g2 …
Derivuju L podle VSECH promennych - x,y,z,lambda1,lambda2…
vyjde soustava rovnic, kde prvni jsou derivace podle neznamych A puvodni vazebni rovnice. Resim soustavu rovnic kdy jsou rovne nule (stacionarni body). Dosadim je do puvodni rovnice, pak mi vyjdou maximum i minimum (PROTOZE ZADANA FUNKCE JE SPOJITA A OMEZUJICI MNOZINA JE OMEZENA UZAVRENA -> TUDIZ SE NABYVA MAXIMA I MINIMA, JINAK NEPLATI)
Postup nalezeni extremu funkce f pri vazebni podmince zadanou NEROVNOSTI
Rozdelim na dva priprady - lokalni extrem na vnitrku (delam prvni derivaci vazebni podminky, polozim rovnou nule, najdu stacionarni bod, pokud on lezi v M, pak je to lokalni extrem.
Dale resim hranici M - tedy vazebni podminku polozim rovnost a resim jako normalni lagraneovou vetou
Dosadim uplne vsechny body, fce je omezena uzavrena, tedy nejaky bod je maximum a nejaky minimum
Derivace slozene funkce
Necht funkce f(x,y) je slozena funkce, kde x a y zavisi na (u,v).
Tedy f je f(x(u,v), y(u,v,)) = F
Derivace F podle u je = (derivace x podle u) * (derivace f podle x) + (derivace y podle u) * (derivace f podle y)
Pro v je to analogicky
Tedy je to derivace vnejsi funkce krat vnitrni funkce, ale je tam soucet, protoze se u objevuje v obou slozkach. Tedy derivuju nejdriv “levou cast” jako jednu slozenou funkci a pak k ni prictu derivaci “prave slozene funkce”
Bud rovnou do puvodni funkce dosadim prepisy za x=…, y=…, z=… a pak to proste derivuju podle novych promennych, anebo postavim novou funkci F(a,b) a derivace F podle a je nejdriv derivace x podle a * derivace F podle x (vnejsi krat vnitrni) PLUS ALE i vsechny ostatni prvky, kde se a vyskytuje.
Integral vice promennych co pocita
Objem telesa, jehoz podstava je zadana jako mnozina M na ktere to zkoumam a seshora ohranicene grafem funkce
Stejnoměrně spojita fce
Je takova funkce, ktera je vsude spojita stejne moc
Spojita fce na uzavrene omezene mnozina je spojita jak?
Stejnomerne
Objem telesa nad obdelnikem T pod grafem funkce f
Dvojny integral pres T z F
Zakladni oblast
Mnozina bodu v rovine pro ktere plati, ze x je vintervalu a y je omezeno dvemi funkcemi podle x
NEBO
y je v intervalu a x je omezeno dvemi funkcemi podle y
Integral pres zakladni oblast dxdy nebo dydx
Je stejna hodnota a nezavis na poradi
Pokud mam interval x a sekam funkci na svisle rezy
Pak je to dydx vnejsi integral prochazim podle osy x a pro kazde x ho zafiksuju a integruju y
Pokud mam interval y a sekam funkci na vodorovne rezy
Pak je to dxdy
Transformace souradnic / substituce co dela
Neprijemnou mnozinu pro vypocet integralu prevedu do jinych souradnic, ve kterych zkoumanou mnozinu vidim jako hezci a jendodussi pro vypocet integralu -> narovnavam nejaky blob na obdelnik opticky
Jakobiho matice, jakobian
J(x) je to matice, kde na prvnim radku je parcialni derivace fce fí1 podle vsech slozek, na druhem radku parcialni derivace fí2 podle vsech slozek az to n-teho radku
PRIKLAD. Fí(ro, fí) = (rcosf, rsinf) polárni souřadnice
Jakobihomatice F = (derivace rcosf podle r, derivace rcosf podle f)
(derivace rsinf podle r, derivace rsinf podle f)
Jakobiho matice je gradient zobrazeni (ne funkce!)
Jakobian = absolutni hodnota z determinantu jakobiho matice
Jakobian zprostredkovava vlastne transformaci souradnic (je to dan co musim dat za to, ze pocitam jendodussi integral)
Dvojity integral pres osklivou zakladni oblast, substituce…
Nahradim x,y,z jinymi souradnicemi, prepocitam meze, pocitam jednodussi integral treba drdf ALE MUSIM TO VYNASOBIT JAKOBIANEM JAKO ZPROSTREDKOVATELE TRANSFORMACE SOURADNIC
Integral sinu/cosinu pres celou peridou 2pi je…
0
Prohozeni poradi dydx na dxdy znamena…
ze musim prepocitat meze zakladni oblasti
Je vyhodnejsi poradi drdf nebo dfdr?
drdf, protoze obecne se pohubujeme po kruznici dokola - jednoducha vnejsi mez, r se dopocita bud z obrazku, nebo dosazenim pol. souradnic do rovnic, ktere zadavaji zakladni oblast
Jediny integral, dvojny, trojny, co popisujou a analogie
Jednoduchy - pocita plochu ohranicenou 1.rozmernym intervalem ohranicenym grafem fce jedne promenne
Dvojity - pocita objem ohraniceny dvojrozmernou podstavou a seshora grafem fce dvou promennych
Trojity - pocita ctyrrozmerny objem tesela, ohraniceneho trojrozmernou podstavou a seshora grafem fce ctyr promennych
Je to analogie o pridani dalsich dimenzi - obsah -> objem -> 4D objem…
Nebo trojny integral je hmotnost 3D telesa s nerovnomernou hustototou (hustota je dalsi fce)
Zakladni teleso
Je teleso, jehoz podstava je zakladni oblast x,y (ale nemusi se dotykat, je to pouze vyhranicene omezeni x a y) a z je omezeno dvemi funkcemi
Cylindricke souradnice
Jsou to polarni souradnice, ke kterym pridame pouze osu z.
x=rcosf
y=rsinf
z=z
Jde o valce (cylindr), jehoz podstava je tvorena polarnimi souradnicemi jako kruhem a pridame vysku z.
Jakobian je stejny r
Dobre popisu osove soumerene telesa jako valec
Sfericke souradnice
Popisuji sfery
x=rcos(f)sin(theta)
y=rsin(f)sin(theta)
z=rcos(theta)
ro^2 = x^2 + y^2 + z^2
jakobian = r^2sin(theta)
Parametrizace krivky
Zavedeme nove promenne, ktere popisuji nejakou krivku, tedy je to f(t1,t2) kde x je t1 a y je t2. Dosadim krajni body, kterych nabyva t a pak si vyjadrim y.
Parametrizace kruznice
f(cost, sint) pro polomer 1
f(acost, asint) pro polomer = a
Parametrizace sroubovnice
Stejne jako kruznice, ale prida se rostouci parametr z
f(acost, asint, bt)
Oblouk
Oblouk je zobrazeni intervalu a,b na R^n takove, ze je spojite, proste, existuje derivace a parametrizaci f
delka oblouku
je cislo, ktere splnuje additivitu, monotonii a je jednoznacne urcena
a spocita se jako
Integral od a do b z normy derivace funkce f
Obsah plaste vznikleho nad krivkou C a funkci f
Mame v rovine krivku a nad krivkou je funkce. Vznikne jakysi si dvourozmerny plot a chci spocitat jeho obsah.
Integral pres krivku C z f*norma derivace f. Je to doslova vyska (funkcni hodnoty f) krat delka krivky (norma derivace f)
Kolik existuje paramaetrizaci jednoho oblokou a jake jsou hodnoty pokud integrujeme pres tyto parametrizace
Parametrizaci muze byt hodne a krivkovz integral nezavisi na parametrizaci, vysledek je stejny
Vektorove pole
Je to pole vektoru, takove zobrazeni, ktere kazdemu bodu prostoru priradi vektor (napr silova pole, gravitacni, rychlost proudeni v kapaline…)
Tecne jednotkove pole
Mnozina vsech tecnych jednotkovych vektoru oblouku C ve vektorovem poli F (mam krivku v poli F a na te krivce v kazdem bode udelam jeji tecny jednotkovy vektor, tj derivace lomeno norma)
Jednotkova tecna udava orientaci oblouku C
Orientovany oblouk
Dvojice (C, T) je oblouk s tecnym jendotkovym polem T
Krivkovy integral vektoroveho pole F podel krivky C
Je to integral pres C z F(parametrizace)*derivace parametrizace
Vezmu vektorovoe pole F a dosadim do toho moji funkci.
Je to prace vykonana pri pohybu po krivce C v silovem poli F.
Doslova v kazdem bode se podivame, kam me tahne sila F a to vynasobim smerem po kterem se pohybuju (derivace) a vysledek je prace.
Polarni souradnice pro elipsu s opolosami a,b
x=acosf
y=bcosf
Krivkovy integral, plosny integral - analogie
Krivkovy integral mi pocita plochu 1D plotu, ktery vznikne nad krivkou C v rovine x,y a nad touto krivkou mi probiha funkce f(x,y). Kdybych hodnoty funkce promitnul na krivku, dostanu plot a umim spocitat jeho obsah jako delka krivky * vyska (funkcni hodnota) je to tedy integral pres C z derivace krivky * f.
Plosny integral do podstavy zavadi druhy rozmer, ted to neni 1D krivka ale nejaka 2D plocha. Nad touto plochou mi probiha funkce f(x,y). Kdybych probmitnul funkci hodnoty f na plochu dolu, dostanu jakysi kvadr nebo valec a umim pocitat obsah jeho plaste jako
Dvojny integral pres zakladni oblast z (normy gradientu f(x,y)) * f. Gradient dostanu tak, ze vsechno z predpisu funkce prevedu na jednu stranu a zderivuju.
Plosny integral rozsiruje krivkovy integral o jednu dimenzi a tudiz pridava jeden integral navíc. Je to plocha plaste krat jeho funkce
Plosny integral pro parametrizovanou plochu
Dvojity integral pres zakladni oblast z funkcni hodnoty v bodech parametrizace * velikost vektoroveho soucinu parcialnich derivaci parametrizace podle jejich promennych
Plosny integral vektoroveho pole podle funkce g
Dvojny integral pres zakladni oblast z vektoroveho pole * gradient g (ale vsechno prevedu k z a ne naopak)
Plosny integral vektoroveho pole pro parametrizovanou plochu
Dvojny integal pres zakladni oblast z vektoroveho pole parametrizace * vektorovy soucin v1 v2
kde v1 a v2 jsou vektory parcialnich derivaci parametrizace podle jejich promennych
Divergecne vektoroveho pole
Soucet vsech parcialnich derivaci vektoroveho pole F podle jeho promennych na indexech. Derivace 1. slozky podle 1. promenne + derivace 2. slozky podle 2. promenne atd…
Gaussova veta
Tok plochou v poli F je trojity integral diveregence
Plosny integral vek. pole = trojny integral divergence vek. pole
Greenova veta
Pro krivkovy integral vek. pole F(F1, F2) a uzavrenou krivku C
Pocita praci vykonanou kdyz projdem uzavrenou krivkou v vek. poli, nebo obsah plochy, ktrea je uvnitr krivky.
Krivkovy integral vek. pole = dvojny integral pres zakladni oblast z rozdilu A - B, kde
A = parcialni derivace F2 podle x,
B = parcialni derivace F1 podle y
Pro kladnou orientaci je hodnota + (proti s etu ho.d rucicek)
Pro zapornou orientaci je hodnota -
Rotace 3D vek. pole
Je nove vektorove pole, ktere vnizklo z vek. pole F(F1,F2,F3) jako:
e1 e2 e3 |
| d/dx d/dy d/dz| tedy normalne determinant rozvijim
| F1 F2 F3 |
Stokesova veta
Mejme elementrarni plochu M (vznikla jako graf funkce) a je orientovana normalou s kladnou z-slozkou. Kraj K plochy M je takovy, jehoz kolmy prumet do roviny x,y ktery lezi na hranici zakladni oblasti D a kraj je kladne orientovany. Pak pro vek, pole F plati
Integral pres kraj plochy M z vek. pole = tok rotace vek. pole pres celou plochu
I(k(M) z F = II(M) rotF
Potencialni pole F
Je takove vek. pole F, ktere vzniklo jako grad jine funkce. F=gradf. Fce f je potencial F.
Integral potencialniho pole po krivce C nezavisi na…
ceste mezi koncovymi body.
Tedy mejme krivku C a potencialni pole F. Prace vykonana pri pohybu po C z bodu a do b je POUZE funkcni hodnota v bode b - funkc. hod. v bode a. Tedy nezalezi na tom, jak jsme sli. Integral potencialni pole je pouze rozdil koncoveho a pocatecniho bodu.
Integral potencialniho pole pres UZAVRENOU krivku je NULA
nutna podminka, aby vek. pole F bylo potencialni…
Rotace F je nulovy vektor => kandidat na potencialove pole
Postup hledani potencialu vek. pole
Nutna podminka, aby pole vubec mohlo mit potencial
1. rotace F je nulovy vektor, nebo
2. dF2/dx = dF1/dy
Pokud plati 1 nebo dve, pak potencial hledam nasledovne:
Hledam funkci f takovou, ze grad(f) = F, tedy slozky F jsou parcialni derivace hledane fce f.
Tedy sestavim soustavu rovnic:
df/dx = F1
df/dy = F2
df/dz = F3
Integruju F1 podle x -> najdu primitivni funkci + C(y,z). (oznacim jako A, tim jsem nasel prvni priblizeni hledane fce f)
Derivuju A podle y -> dC/dy a to se musi rovnat F2 -> odsud dopocitam C tak, ze integruju F2 podle y. Najdu primitivni funkci + C2(z) (toto oznacim jako B, je to lepsi aproximace hledane fce f)
Derivuju B podle z -> dC2/dz a to se musi rovnat F3 -> odsud dopocitam C2 tak, ze integruju F3 podle z. Najdu primitivni funkci + C3. C2 a C3 dosadim misto C a dostanu rovnici potencialu f.
Posloupnost funkci
Mejme posloupnost funkci fn(x). Rekneme, ze konverguji bodove k limitni funkci f na intervalu I p.t.k. lim(n->nek) fn(x) = f(x).
Funkcni predpis fn(x) je treba = x/n (za n dosazuju cisla a dostavam nove funkce…)
Konverguji bodove k nejakej funkci f, kdyz se na bodu blizi nejake hodnote
Posloupnost funkci konverguje stejnomerne k funkci f p.t.k…
Od urciteho indexu n0 vsechny grafy funkci fn spadnou do intervalu +- epsilon od grafu limitni funkce f.
Nakreslime graf fce f. Vytvorime pas grafu +- epsilon (kopiruje tvar grafu f). Pokud od urciteho n0 vsechny funkce fn maji svoje grafy uvnitr tohoto pasu, pak rekneme, ze na tomto intervalu posloupnost fn konverguje stejnomerne k funkci f.
Stejnomerne konvergujici posloupnost fn, pak pro ni plati tvrzeni…
- Jestli jsou fn spojite, pak i limitni fce f je spojita
- Jeli existuji integraly fn, pak limita integralu fn se rovna integralu f
- Kdyz konverguji derivace fn stejnomerne, pak lim(fn’) = f’(x)
Limitni funkce f pro konvergujici posloupnost fn
Je takova funkce, ke ktere se priblizuji fn
Rada funkci konverguje bodove nebo stejnomerne p.t.k.
Jeji castecne soucty konverguji bodove nebo stejnomerne k funkci f(x) (f(x) nazveme soucet radu funkci).
Soucet rady funkci fn
Je f(x) - funkce, suma funkci fn, ktere konverguji k f(x)
Vlastnosti stejnomerne konvergujici rady
- Jsouli fn spojite, pak jejich suma je spojita
- Integral rady fn = rada integralu fn
- Kdyz suma derivaci fn konverguje stejnomerne, pak derivace rady = rada derivaci fn
Weierstrassovo kriterium stejnomerne konvergence
Mejme radu funkci Summa(n od 0 do nek) fn(x). Polozime lambdan takove, ze lambda(i) >= sup|fi(x)| // je to prvek ktery je vetsi nez hodnota fi v bode x, udelam jakysi odhad shora.
Pokud rada techto lambd konverguje, pak puvodni rada konverguje stejnomerne.
Mocninna rada definice
Je to rada typu Suma ai(x-x0)^i, ai je i-ty koeficient, x0 je stred.
Pozorovani pro konvergenci mocninne rady
Pokud zvolim nejake R>0 a pro neho plati ze rada |aiR^i| konverguje, pak konverguje i stejna rada pro vsechna x, ktera jsou |x|<R.
Tj mam radu a ja x nahradim nejakym cislem. Pokud tato rada konverguje, konverguji i vsechny “mensi” x, ktere zvolim
Polomer konvergence mocninne rady R
Je to nejvetsi “ro” kterym mohu nahradit X v mocninne rade tak, aby furt konvergovalo, tedy
R=sup{x z R | Suma |aix^i| konverguje}. Je to nejvetsi x, pro ktere tato mocninna rada konverguje.
Je to hranice mezi tim, kde rada konverguje a od jakeho R uz diverguje. A rada na kazdem podintervalu -R do R konverguje stejnomerne
Jak se spocita polomer divergence R pro mocninnou radu
- 1/R = lim(n->nek) |n+1. clen / n-ty clen| odvozeno z podiloveho kritera BEZ X, v podilu je pouze ai
- 1/R = lim(n->nek) n-ta odmocnina abs(n-ty clen) odvozeno z odmocninoveho kriteria
Taylorova rada
Rada typu
Suma( n-ta derivace f(0) * x^n / n!)
Postup rozvinuti obecne fce f na taylorovu radu v bode x=0 a obecnem bode x=A
Taylorova rada ma tvra
Suma( n-ta derivace f v bode 0) * x^n / n!)
Tedy spocitam n-tou derivaci fce f za zadani a dosadim do ni bod x=0. Zapisu Taylorovu radu a necham tam x^n / n! a dosadim vysledek vyse
Pro obecny bod je to
f = f(A) * Suma( n-ta derivace f v bode A) * (x-A)^n / n!)
Zakladni taylorovy rozvoje mocninnych rad
- 1/1-x = S(x^n), R = 1
- e^x = S(x^n/n!), R = nekonecno
- cosx = S((-1)^n * x^2n / (2n)!), R = nekonecno
- sinx = S((-1)^n * x^2n+1 / (2n+1)!), R = nekonecno
- ln(1+x) = S((-1)^n+1 * x^n/n), R = 1
