Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Státnice > MA2 > Flashcards

MA2 Flashcards

1
Q

Vnitrni bod mnoziny M

A

Bod je vnitrnim bodem mnoziny M, pokud najdu okoli (jakekoliv) tak, ze se cele schova do M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Hranicni bod mnoziny M

A

Bod je hranicni, pokud pro jakekoliv okoli zasahuje jak do M, tak i mimo

Pokud ale izolovany prvek je definovan jako soucast M, ale lezi mimo M, je sam o sobe jejim hranicnim bodem, protoze jeho prunik sam se sebou lezi v M i v doplnku M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Vnejsi bod mnoziny M

A

Bod je vnejsi, pokud najdu okoli (jakekoliv) tak, ze nelezi v M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Vnitrek mnoziny

A

Mnozina vnitrnich bodu M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Hranice mnoziny

A

Mnoziny hranicnich bodu M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Uzaver mnoziny

A

Sjednoceni vnitrku a hranice mnoziny M vsechno dohromady ohledne M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Otevrena mnozina

A

Pokud vsechny body M jsou vnitrni (nema hranicni body)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Uzavrena mnozina

A

Pokud vsechny body jsou vnitrni nebo hranicni
Neboli pokud hranicni body patri do M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Kdy je mnozina uzavrena a omezena?

A

P.t.k. pro kazdou posloupnost z M existuje vybrana podposloupnost, ktera konverguje k bodu lezicim v M

(Je omezena nejakym tim bodem)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Doplnek otevrene/uzavrene mnoziny

A

Je mnozina uzavrena/otevrena

Vykrojim z prostoru neco a zbytek ma opacnou vlastnost

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Hromadny bod mnoziny M

A

Je takovy bod, v jehoz libovolnem okoli lezi nekonecne mnoho bodu mnoziny M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Izolovany bod mnoziny M

A

Bod s libovolnym okolim (ktere najdu) takovym ze v nem nelezi zadny prvek mnoziny M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Mnozina je omezena kdyz

A

Se da vepsat do koule o polomeru R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Omezena nekonecna mnozina ma…

A

Hromadny bod

Dukaz pomoci vnorenych intervalu v kvadrantech

Pokud omezime mnozinu, tak nutne se nekde musi zahustit -> hromadny bod

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Rovnice roviny v prostoru

A

ax+by+cz+d=0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Rovnice paraboloidu

A

z=x^2+y^2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Rovnice kuzele

A

z=(x^2+y^2)^1/2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Polarni souradnice

A

x=ρcosx
y=ρsinx

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Vypocet limity pro dve promenne

A

Zkusim priblizeni po krivkach (ruznych) a musi vychazet stejna hodnota

Zkusim dosadit x=0, y=0, y=kx, y=x^2…

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Spojita funkce na omezene uzavrene mnozine nabyva…

A

Minima i maxima

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Derivace fce f ve smeru vektoru v

A

δf(x)/δv = lim(t->0) f(x + tv) - f(x) / t

Neboli je to pomer mezi tim, jaka je hodnota v bode puvodnim oproti tomu kdyz se posuneme t nasobkem ve smeru v

Pocitame smernici tecny v bode ke grafu - ukazujeme jak se meni graf v danem smeru

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Definice diferencialu

A

U funkce vice promennych diferencial odpovida derivaci.
Mejme funkci f a bod b. Rekneme, ze f ma diferencial v bode b pokud existuje linearni zobrazeni L takove ze
lim(v->0) f(b+v) - f(b) - L(v) / ||v|| = 0

Je to stejny jako derivace (pomer rozdilu hodnot v pocatku oproti posunutemu ku posunuti), akorat se tam prida linearni zobrazeni jako chyba aproximace a chyba je nejmensi, tedy rozdil je nulovy

JINAK
differencial je L = df(x) je linearni zobrazeni, ktere nejlepe apeoximuje fci f vice promennych

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Ma-li fce v bode x diferencial, pak je v bode x…

A

Spojita

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

Gradient

A

Vektor, jehoz slozky jsou parcialni derivace puvodniho vektoru
Derivuji puvodni vektor po slozkach

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Diferencial funkce f v bode x(a, b)

A

Je to skalarni soucin obecneho vektoru v (ve smeru) s gradientem fce (do ktereho dosadim bod x)

Je to smer*gradient

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Vyznam grafientu

A

Gradient je vektor, ktery udava smer nejvetsiho rusti funkcni hodnoty fce f. Pokud pujdu opacnym smerem, je to nejvetsi spad, pokud jdu kolmo ke grafientu - pohybuju se po vrstevnici, tedy na stejne urovni.

Grafient je kolmy na mnozinu M ktera je vrstevnici

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

Tecna rovina ke grafu fce f v bode x0

A

Je to mnozina vsech vektoru, ktere jsou kolme na normalovy vektor fce F.
Funkci F ziskam jako puvodni fci f(x,y) od ktere jeste odectu z. Gradient F v bode x0 je normalovy vektor.

Potom spocitam rozdil obecneho bodu (x,y,z) - (zadany body) a jeho skalarni soucin s gradientem. Vysledna rovnice je tecna rovina

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
28
Q

Derivace vyssiho radu

A

Operator δf/δx je funkce ktera vraci novou funkci -> derivuje f po slozce x. Muzeme to retezit jako δ^2f/δxδy a na poradi jestli derivujeme nejdriv podle nebo nejdriv polde y a obracene v MA2 nezalezi, ale obecne to nemusi platit a na poradi muze zalezet. Pokud jsou tyto dve varianty spojote v bode ve kterym derivujeme, pak na poradi nezalezi

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
29
Q

Tayloruv rozvoj fce vice promennych

A

Pokud je fce f tridy C^k+1 (ma spojite derivave do radu k+1) na otevrene mnozine G a usecka od x0 do x0+h lezi v G, pak plati:

f(x0+h) = Σ1/k! * (h*grad)^k * f(x0) + chyba
Kde chyba je k+1 clen v bode f(x+Θh) pro theta v intervalu (0,1)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
30
Q

F je tridy c^K na otevrene mnozine G

A

Pokud vsechny parcialni derivace fce f na mnozine G do radu K jsou spojite

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
31
Q

Prubeh najiti taylorova polynomu napr stupne dva pro fci f v bode a

A

Spocitam f(a), spocitam gradient v bode a, spocitam matici druhych derivaci v bode a, dosadim do rovnice
T2=f(a) + gradh + 1/2! * hgrad^2*h…

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
32
Q

Jeli v bode x lokalni extrem, pak…

A

je smerova derivace v tomto bode nulova a je to stacionarni bod

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
33
Q

Hessian

A

Matice druhych derivaci vsech kombinaci slozek, je symetricka, tudiz potrebuju jen diagonalu a pravou polovinu

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
34
Q

Kvadraticka forma

A

Je bileniarni zobrazeni Q(h) = B(h,h). Napriklad Hessian je bilinearni zobrazeni (bere dvojici vektoru a vraci posila je na R pomoci matice). Pokud do Hessianu dosadime dva stejne vektoru, obdrzime kvadratickou formu typu xAx.

Kvadraticka forma zadava skalarni soucin a urcuje lok extremy.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
35
Q

Pozitivne/negitivne/indefinitni definitni kvadraticka forma

A

ex c>0: Q(h) >= c*||h||^2 “je kladna, paraboloid natoceny nahoru”, je lok. minimum
=|= <= -c “je zaporny paraboloid”, je lok. maximum
pro h1,h2 plati Q(h1) > 0, Q(h2) < 0 “sedlo, v jednom smeru klesa, ve druhem roste” neni lok. extrem

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
36
Q

Silvestrovo kriterium - jak poznat definitnost matice

A

Poz def p.t.k. vsechny subdeterminanty jsou kladne
Neg def p.t.k determinanty stridaji znamenka a prvni je ZAPORNY
Indefinitni p.t.k. determinant matice je nenulovy a neplati prvni dve trvezeni

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
37
Q

Vazany extrem fce f na mnozine

A

Je to takovy extrem, ktery je splnen ne na celem oboru fce f, ale pouze v ramci mnoziny M, je ji vazan

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
38
Q

Vazebni podminka

A

rovnice rovna nule pro fci dvou/tri promennych x+y=0 jako mnozina M na ktere kledame extrem

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
39
Q

Lagrangeova veta, funkce

A

Mejme fci f radu C^k a vazebni funkce g1…gn na otevrene mnozine. Mnozine M(vazebnich funkci) je mnozina vazebnich podminek, na ktere vysetrujeme extremy f. Gradienty vazebnich funkci jsou lin nezavisle na M. Jeli v bode x extrem funkce f, pak plati, ze Lagrangeova funkce L = f - (lambda1g1 + lambda2g2 … + lambdangn). Kde lambda jsou lagrangeovz multiplikatory

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
40
Q

Postup nalezeni vazaneho extremu fce f pri vazebni podmince zadanou ROVNOSTI

A

Sestavim rovnici L = f - lambda1g1 - lambda2g2 …
Derivuju L podle VSECH promennych - x,y,z,lambda1,lambda2…
vyjde soustava rovnic, kde prvni jsou derivace podle neznamych A puvodni vazebni rovnice. Resim soustavu rovnic kdy jsou rovne nule (stacionarni body). Dosadim je do puvodni rovnice, pak mi vyjdou maximum i minimum (PROTOZE ZADANA FUNKCE JE SPOJITA A OMEZUJICI MNOZINA JE OMEZENA UZAVRENA -> TUDIZ SE NABYVA MAXIMA I MINIMA, JINAK NEPLATI)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
41
Q

Postup nalezeni extremu funkce f pri vazebni podmince zadanou NEROVNOSTI

A

Rozdelim na dva priprady - lokalni extrem na vnitrku (delam prvni derivaci vazebni podminky, polozim rovnou nule, najdu stacionarni bod, pokud on lezi v M, pak je to lokalni extrem.

Dale resim hranici M - tedy vazebni podminku polozim rovnost a resim jako normalni lagraneovou vetou

Dosadim uplne vsechny body, fce je omezena uzavrena, tedy nejaky bod je maximum a nejaky minimum

42
Q

Derivace slozene funkce

A

Necht funkce f(x,y) je slozena funkce, kde x a y zavisi na (u,v).
Tedy f je f(x(u,v), y(u,v,)) = F
Derivace F podle u je = (derivace x podle u) * (derivace f podle x) + (derivace y podle u) * (derivace f podle y)
Pro v je to analogicky

Tedy je to derivace vnejsi funkce krat vnitrni funkce, ale je tam soucet, protoze se u objevuje v obou slozkach. Tedy derivuju nejdriv “levou cast” jako jednu slozenou funkci a pak k ni prictu derivaci “prave slozene funkce”

Bud rovnou do puvodni funkce dosadim prepisy za x=…, y=…, z=… a pak to proste derivuju podle novych promennych, anebo postavim novou funkci F(a,b) a derivace F podle a je nejdriv derivace x podle a * derivace F podle x (vnejsi krat vnitrni) PLUS ALE i vsechny ostatni prvky, kde se a vyskytuje.

43
Q

Integral vice promennych co pocita

A

Objem telesa, jehoz podstava je zadana jako mnozina M na ktere to zkoumam a seshora ohranicene grafem funkce

44
Q

Stejnoměrně spojita fce

A

Je takova funkce, ktera je vsude spojita stejne moc

45
Q

Spojita fce na uzavrene omezene mnozina je spojita jak?

A

Stejnomerne

46
Q

Objem telesa nad obdelnikem T pod grafem funkce f

A

Dvojny integral pres T z F

47
Q

Zakladni oblast

A

Mnozina bodu v rovine pro ktere plati, ze x je vintervalu a y je omezeno dvemi funkcemi podle x
NEBO
y je v intervalu a x je omezeno dvemi funkcemi podle y

48
Q

Integral pres zakladni oblast dxdy nebo dydx

A

Je stejna hodnota a nezavis na poradi

49
Q

Pokud mam interval x a sekam funkci na svisle rezy

A

Pak je to dydx vnejsi integral prochazim podle osy x a pro kazde x ho zafiksuju a integruju y

50
Q

Pokud mam interval y a sekam funkci na vodorovne rezy

A

Pak je to dxdy

51
Q

Transformace souradnic / substituce co dela

A

Neprijemnou mnozinu pro vypocet integralu prevedu do jinych souradnic, ve kterych zkoumanou mnozinu vidim jako hezci a jendodussi pro vypocet integralu -> narovnavam nejaky blob na obdelnik opticky

52
Q

Jakobiho matice, jakobian

A

J(x) je to matice, kde na prvnim radku je parcialni derivace fce fí1 podle vsech slozek, na druhem radku parcialni derivace fí2 podle vsech slozek az to n-teho radku

PRIKLAD. Fí(ro, fí) = (rcosf, rsinf) polárni souřadnice

Jakobihomatice F = (derivace rcosf podle r, derivace rcosf podle f)
(derivace rsinf podle r, derivace rsinf podle f)

Jakobiho matice je gradient zobrazeni (ne funkce!)

Jakobian = absolutni hodnota z determinantu jakobiho matice
Jakobian zprostredkovava vlastne transformaci souradnic (je to dan co musim dat za to, ze pocitam jendodussi integral)

53
Q

Dvojity integral pres osklivou zakladni oblast, substituce…

A

Nahradim x,y,z jinymi souradnicemi, prepocitam meze, pocitam jednodussi integral treba drdf ALE MUSIM TO VYNASOBIT JAKOBIANEM JAKO ZPROSTREDKOVATELE TRANSFORMACE SOURADNIC

54
Q

Integral sinu/cosinu pres celou peridou 2pi je…

A

0

55
Q

Prohozeni poradi dydx na dxdy znamena…

A

ze musim prepocitat meze zakladni oblasti

56
Q

Je vyhodnejsi poradi drdf nebo dfdr?

A

drdf, protoze obecne se pohubujeme po kruznici dokola - jednoducha vnejsi mez, r se dopocita bud z obrazku, nebo dosazenim pol. souradnic do rovnic, ktere zadavaji zakladni oblast

57
Q

Jediny integral, dvojny, trojny, co popisujou a analogie

A

Jednoduchy - pocita plochu ohranicenou 1.rozmernym intervalem ohranicenym grafem fce jedne promenne
Dvojity - pocita objem ohraniceny dvojrozmernou podstavou a seshora grafem fce dvou promennych
Trojity - pocita ctyrrozmerny objem tesela, ohraniceneho trojrozmernou podstavou a seshora grafem fce ctyr promennych

Je to analogie o pridani dalsich dimenzi - obsah -> objem -> 4D objem…

Nebo trojny integral je hmotnost 3D telesa s nerovnomernou hustototou (hustota je dalsi fce)

58
Q

Zakladni teleso

A

Je teleso, jehoz podstava je zakladni oblast x,y (ale nemusi se dotykat, je to pouze vyhranicene omezeni x a y) a z je omezeno dvemi funkcemi

59
Q

Cylindricke souradnice

A

Jsou to polarni souradnice, ke kterym pridame pouze osu z.
x=rcosf
y=rsinf
z=z
Jde o valce (cylindr), jehoz podstava je tvorena polarnimi souradnicemi jako kruhem a pridame vysku z.
Jakobian je stejny r
Dobre popisu osove soumerene telesa jako valec

60
Q

Sfericke souradnice

A

Popisuji sfery
x=rcos(f)sin(theta)
y=rsin(f)sin(theta)
z=rcos(theta)
ro^2 = x^2 + y^2 + z^2
jakobian = r^2sin(theta)

61
Q

Parametrizace krivky

A

Zavedeme nove promenne, ktere popisuji nejakou krivku, tedy je to f(t1,t2) kde x je t1 a y je t2. Dosadim krajni body, kterych nabyva t a pak si vyjadrim y.

62
Q

Parametrizace kruznice

A

f(cost, sint) pro polomer 1
f(acost, asint) pro polomer = a

63
Q

Parametrizace sroubovnice

A

Stejne jako kruznice, ale prida se rostouci parametr z
f(acost, asint, bt)

64
Q

Oblouk

A

Oblouk je zobrazeni intervalu a,b na R^n takove, ze je spojite, proste, existuje derivace a parametrizaci f

65
Q

delka oblouku

A

je cislo, ktere splnuje additivitu, monotonii a je jednoznacne urcena
a spocita se jako
Integral od a do b z normy derivace funkce f

66
Q

Obsah plaste vznikleho nad krivkou C a funkci f

A

Mame v rovine krivku a nad krivkou je funkce. Vznikne jakysi si dvourozmerny plot a chci spocitat jeho obsah.

Integral pres krivku C z f*norma derivace f. Je to doslova vyska (funkcni hodnoty f) krat delka krivky (norma derivace f)

67
Q

Kolik existuje paramaetrizaci jednoho oblokou a jake jsou hodnoty pokud integrujeme pres tyto parametrizace

A

Parametrizaci muze byt hodne a krivkovz integral nezavisi na parametrizaci, vysledek je stejny

68
Q

Vektorove pole

A

Je to pole vektoru, takove zobrazeni, ktere kazdemu bodu prostoru priradi vektor (napr silova pole, gravitacni, rychlost proudeni v kapaline…)

69
Q

Tecne jednotkove pole

A

Mnozina vsech tecnych jednotkovych vektoru oblouku C ve vektorovem poli F (mam krivku v poli F a na te krivce v kazdem bode udelam jeji tecny jednotkovy vektor, tj derivace lomeno norma)

Jednotkova tecna udava orientaci oblouku C

70
Q

Orientovany oblouk

A

Dvojice (C, T) je oblouk s tecnym jendotkovym polem T

71
Q

Krivkovy integral vektoroveho pole F podel krivky C

A

Je to integral pres C z F(parametrizace)*derivace parametrizace

Vezmu vektorovoe pole F a dosadim do toho moji funkci.

Je to prace vykonana pri pohybu po krivce C v silovem poli F.

Doslova v kazdem bode se podivame, kam me tahne sila F a to vynasobim smerem po kterem se pohybuju (derivace) a vysledek je prace.

72
Q

Polarni souradnice pro elipsu s opolosami a,b

A

x=acosf
y=bcosf

73
Q

Krivkovy integral, plosny integral - analogie

A

Krivkovy integral mi pocita plochu 1D plotu, ktery vznikne nad krivkou C v rovine x,y a nad touto krivkou mi probiha funkce f(x,y). Kdybych hodnoty funkce promitnul na krivku, dostanu plot a umim spocitat jeho obsah jako delka krivky * vyska (funkcni hodnota) je to tedy integral pres C z derivace krivky * f.

Plosny integral do podstavy zavadi druhy rozmer, ted to neni 1D krivka ale nejaka 2D plocha. Nad touto plochou mi probiha funkce f(x,y). Kdybych probmitnul funkci hodnoty f na plochu dolu, dostanu jakysi kvadr nebo valec a umim pocitat obsah jeho plaste jako
Dvojny integral pres zakladni oblast z (normy gradientu f(x,y)) * f. Gradient dostanu tak, ze vsechno z predpisu funkce prevedu na jednu stranu a zderivuju.

Plosny integral rozsiruje krivkovy integral o jednu dimenzi a tudiz pridava jeden integral navíc. Je to plocha plaste krat jeho funkce

74
Q

Plosny integral pro parametrizovanou plochu

A

Dvojity integral pres zakladni oblast z funkcni hodnoty v bodech parametrizace * velikost vektoroveho soucinu parcialnich derivaci parametrizace podle jejich promennych

75
Q

Plosny integral vektoroveho pole podle funkce g

A

Dvojny integral pres zakladni oblast z vektoroveho pole * gradient g (ale vsechno prevedu k z a ne naopak)

76
Q

Plosny integral vektoroveho pole pro parametrizovanou plochu

A

Dvojny integal pres zakladni oblast z vektoroveho pole parametrizace * vektorovy soucin v1 v2

kde v1 a v2 jsou vektory parcialnich derivaci parametrizace podle jejich promennych

77
Q

Divergecne vektoroveho pole

A

Soucet vsech parcialnich derivaci vektoroveho pole F podle jeho promennych na indexech. Derivace 1. slozky podle 1. promenne + derivace 2. slozky podle 2. promenne atd…

78
Q

Gaussova veta

A

Tok plochou v poli F je trojity integral diveregence

Plosny integral vek. pole = trojny integral divergence vek. pole

79
Q

Greenova veta

A

Pro krivkovy integral vek. pole F(F1, F2) a uzavrenou krivku C
Pocita praci vykonanou kdyz projdem uzavrenou krivkou v vek. poli, nebo obsah plochy, ktrea je uvnitr krivky.

Krivkovy integral vek. pole = dvojny integral pres zakladni oblast z rozdilu A - B, kde
A = parcialni derivace F2 podle x,
B = parcialni derivace F1 podle y

Pro kladnou orientaci je hodnota + (proti s etu ho.d rucicek)
Pro zapornou orientaci je hodnota -

80
Q

Rotace 3D vek. pole

A

Je nove vektorove pole, ktere vnizklo z vek. pole F(F1,F2,F3) jako:

e1 e2 e3 |
| d/dx d/dy d/dz| tedy normalne determinant rozvijim
| F1 F2 F3 |

81
Q

Stokesova veta

A

Mejme elementrarni plochu M (vznikla jako graf funkce) a je orientovana normalou s kladnou z-slozkou. Kraj K plochy M je takovy, jehoz kolmy prumet do roviny x,y ktery lezi na hranici zakladni oblasti D a kraj je kladne orientovany. Pak pro vek, pole F plati

Integral pres kraj plochy M z vek. pole = tok rotace vek. pole pres celou plochu

I(k(M) z F = II(M) rotF

82
Q

Potencialni pole F

A

Je takove vek. pole F, ktere vzniklo jako grad jine funkce. F=gradf. Fce f je potencial F.

83
Q

Integral potencialniho pole po krivce C nezavisi na…

A

ceste mezi koncovymi body.
Tedy mejme krivku C a potencialni pole F. Prace vykonana pri pohybu po C z bodu a do b je POUZE funkcni hodnota v bode b - funkc. hod. v bode a. Tedy nezalezi na tom, jak jsme sli. Integral potencialni pole je pouze rozdil koncoveho a pocatecniho bodu.

Integral potencialniho pole pres UZAVRENOU krivku je NULA

84
Q

nutna podminka, aby vek. pole F bylo potencialni…

A

Rotace F je nulovy vektor => kandidat na potencialove pole

85
Q

Postup hledani potencialu vek. pole

A

Nutna podminka, aby pole vubec mohlo mit potencial
1. rotace F je nulovy vektor, nebo
2. dF2/dx = dF1/dy

Pokud plati 1 nebo dve, pak potencial hledam nasledovne:
Hledam funkci f takovou, ze grad(f) = F, tedy slozky F jsou parcialni derivace hledane fce f.
Tedy sestavim soustavu rovnic:

df/dx = F1
df/dy = F2
df/dz = F3

Integruju F1 podle x -> najdu primitivni funkci + C(y,z). (oznacim jako A, tim jsem nasel prvni priblizeni hledane fce f)
Derivuju A podle y -> dC/dy a to se musi rovnat F2 -> odsud dopocitam C tak, ze integruju F2 podle y. Najdu primitivni funkci + C2(z) (toto oznacim jako B, je to lepsi aproximace hledane fce f)
Derivuju B podle z -> dC2/dz a to se musi rovnat F3 -> odsud dopocitam C2 tak, ze integruju F3 podle z. Najdu primitivni funkci + C3. C2 a C3 dosadim misto C a dostanu rovnici potencialu f.

86
Q

Posloupnost funkci

A

Mejme posloupnost funkci fn(x). Rekneme, ze konverguji bodove k limitni funkci f na intervalu I p.t.k. lim(n->nek) fn(x) = f(x).

Funkcni predpis fn(x) je treba = x/n (za n dosazuju cisla a dostavam nove funkce…)
Konverguji bodove k nejakej funkci f, kdyz se na bodu blizi nejake hodnote

87
Q

Posloupnost funkci konverguje stejnomerne k funkci f p.t.k…

A

Od urciteho indexu n0 vsechny grafy funkci fn spadnou do intervalu +- epsilon od grafu limitni funkce f.

Nakreslime graf fce f. Vytvorime pas grafu +- epsilon (kopiruje tvar grafu f). Pokud od urciteho n0 vsechny funkce fn maji svoje grafy uvnitr tohoto pasu, pak rekneme, ze na tomto intervalu posloupnost fn konverguje stejnomerne k funkci f.

88
Q

Stejnomerne konvergujici posloupnost fn, pak pro ni plati tvrzeni…

A
  1. Jestli jsou fn spojite, pak i limitni fce f je spojita
  2. Jeli existuji integraly fn, pak limita integralu fn se rovna integralu f
  3. Kdyz konverguji derivace fn stejnomerne, pak lim(fn’) = f’(x)
89
Q

Limitni funkce f pro konvergujici posloupnost fn

A

Je takova funkce, ke ktere se priblizuji fn

90
Q

Rada funkci konverguje bodove nebo stejnomerne p.t.k.

A

Jeji castecne soucty konverguji bodove nebo stejnomerne k funkci f(x) (f(x) nazveme soucet radu funkci).

91
Q

Soucet rady funkci fn

A

Je f(x) - funkce, suma funkci fn, ktere konverguji k f(x)

92
Q

Vlastnosti stejnomerne konvergujici rady

A
  1. Jsouli fn spojite, pak jejich suma je spojita
  2. Integral rady fn = rada integralu fn
  3. Kdyz suma derivaci fn konverguje stejnomerne, pak derivace rady = rada derivaci fn
93
Q

Weierstrassovo kriterium stejnomerne konvergence

A

Mejme radu funkci Summa(n od 0 do nek) fn(x). Polozime lambdan takove, ze lambda(i) >= sup|fi(x)| // je to prvek ktery je vetsi nez hodnota fi v bode x, udelam jakysi odhad shora.

Pokud rada techto lambd konverguje, pak puvodni rada konverguje stejnomerne.

94
Q

Mocninna rada definice

A

Je to rada typu Suma ai(x-x0)^i, ai je i-ty koeficient, x0 je stred.

95
Q

Pozorovani pro konvergenci mocninne rady

A

Pokud zvolim nejake R>0 a pro neho plati ze rada |aiR^i| konverguje, pak konverguje i stejna rada pro vsechna x, ktera jsou |x|<R.

Tj mam radu a ja x nahradim nejakym cislem. Pokud tato rada konverguje, konverguji i vsechny “mensi” x, ktere zvolim

96
Q

Polomer konvergence mocninne rady R

A

Je to nejvetsi “ro” kterym mohu nahradit X v mocninne rade tak, aby furt konvergovalo, tedy

R=sup{x z R | Suma |aix^i| konverguje}. Je to nejvetsi x, pro ktere tato mocninna rada konverguje.

Je to hranice mezi tim, kde rada konverguje a od jakeho R uz diverguje. A rada na kazdem podintervalu -R do R konverguje stejnomerne

97
Q

Jak se spocita polomer divergence R pro mocninnou radu

A
  1. 1/R = lim(n->nek) |n+1. clen / n-ty clen| odvozeno z podiloveho kritera BEZ X, v podilu je pouze ai
  2. 1/R = lim(n->nek) n-ta odmocnina abs(n-ty clen) odvozeno z odmocninoveho kriteria
98
Q

Taylorova rada

A

Rada typu
Suma( n-ta derivace f(0) * x^n / n!)

99
Q

Postup rozvinuti obecne fce f na taylorovu radu v bode x=0 a obecnem bode x=A

A

Taylorova rada ma tvra
Suma( n-ta derivace f v bode 0) * x^n / n!)

Tedy spocitam n-tou derivaci fce f za zadani a dosadim do ni bod x=0. Zapisu Taylorovu radu a necham tam x^n / n! a dosadim vysledek vyse

Pro obecny bod je to
f = f(A) * Suma( n-ta derivace f v bode A) * (x-A)^n / n!)

100
Q

Zakladni taylorovy rozvoje mocninnych rad

A
  1. 1/1-x = S(x^n), R = 1
  2. e^x = S(x^n/n!), R = nekonecno
  3. cosx = S((-1)^n * x^2n / (2n)!), R = nekonecno
  4. sinx = S((-1)^n * x^2n+1 / (2n+1)!), R = nekonecno
  5. ln(1+x) = S((-1)^n+1 * x^n/n), R = 1

Státnice (3 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2025 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions