LAG Flashcards
Linerarni prostor definice
Linearni prostor nad telesem F je mnozina L s vektory z F, s operacemi scitani a skalarnihm nasobenim
+: L x L -> L, *:F X L -> L
tj to jsou vektory, ktere mezi sebou muzeme scitat a kazdy z nich vynasobit skalarem podle urcitych vlastnosti - splnuji jiste axiomy.
Treba realna cisla, Q, C, ale N ani Z nejsou lin. protostory, protoze nesplnuji test invertibility
(Treba 2!=0, ale neexistuje 2^-1 v N,Z)
Axiomy lin. prostoru
Tri typy - scitani, nasobeni, vzajemne kombinace
- existence nuloveho vektoru
- asociativita scitani - zavorkovani
- komutativita scitani - poradi
- existence opacneho prvku
- existence jednotkoveho prvku
- distributivni zakony - roznasobovani skalarem i vektorem
a*x = 0 p.t.k…
- a je nulovy skalar
nebo - x je nulovy vektor
Trivialni lin. prostor
Je jednoprvkovy {nulovy vektor}, splnuje vsechny axiomy
Linearni kombinace
Je dan seznam vektoru {x1,…xn} a stejne dlouhy seznam skalaru {a1,…an}. Pak linearni kombinace seznamu vektoru a seznamu skalaru je definovana jako:
Suma (i od 0 do n) ai*xi
Je to nastroj, ktery z danych vektoru nakombinuje novy vektor. Natahuje seznam vektoru pomoci koeficientu a scitani na “rovny kus” prostoru, jako plachtu
Definice seznamu a rozdil oproti mnozine
Seznam je bud prazdna posloupnost (), nebo je dan konecnou posloupnosti (x1,…xn). V seznamu zalezi na poradi prvku, v seznamu se prvky mohou opakovat.
Mnozina nerozlisuje poradi prvku, mnozina zakazuje opakovani prvku
Teleso, definice
Teleso je mnozina F s prvky/vektory, vybavena funkcemi scitani a nasobeni. Tyto dve funcke splnuji nasledujici vlastnosti:
- existence nuloveho prvku
- asociativita scitani - zavorkovani
- komutativita scitani - poradi
- existence opacneho prvku
- existence jednotkoveho prvku
- distributivni zakony - roznasobovani zleva i zprava
PODSTATNY TEST INVERTIBILITY
7. ProVs prvky L plati: a!=0 p.t.k. existuje a^-1 - existuje inverze
Priklady teles
Tj mnozin, vybavenych operacemi scitani a nasobeni podle 7 axiomu:
R, Q, C, Z2, Z3 (kde Zn je jako pocitani modulo, tedy cyklicke)
Priklad lin. prostoru nad telesem F
Treba F^n, kde je to n-dimenzionalni prostor s prvky z telesa F, vektory piseme do sloupce
F[x] -> polynomy v neurcite x a koeficienty z F
Vsechny mozne linearni kombinace jedineho vektoru a vytvareji v R^2…
Primku prochazejici pocatkem a ma smer podle vektoru a, tedy linearni kombinace mi generuje jakekoliv natahovani vektoru a vsemi moznymi koeficienty z R.
Co znamena (Z7)^2?
Je to teleso Z7, tedy ma skalary pouze 0,1,2,3,4,5,6.
Druha mocnina znamena dimenzionalitu - tedy prvky tohoto prostoru jsou dvoumistne vektory:
(x y) do sloupce tak, ze 0<=x,y<=6
Kdyz mam soustavu linearni rovnic, pak koeficienty u neznamych jsou
Resenim. Nebo drohy pohled:
Hledam takove koeficienty, abych se pomoci nich a natazenim zadanych vektoru mohl “trefit” do vysledneho vektoru.
Tedy mam zadany vektor (a b) a nejake dva jine vektory (x1 y1) (x2 y2) a ja hledam takove koeficienty/skalary u,v ze jejich natazenim se trefim do vysledku:
u*(x1 y1) + v(x2 y2) = (a b), tedy (a,b) mi bude tvorit uhlopricku nejakej ctyruhelnika, ktery mi vytvori lin. kombinace zadanych vektoru
Linearni obal definice
Linearni obal mnoziny M je mnozina vsech moznych linearnich kombinaci ktere lze z M vytvorit;
Oficialne: x lezi v span(M) p.t.k x= (lin. komb. vektoru a skalaru M)
Skalary jsou ze zadaneho F
Uzaverove vlastnosti lin. obalu
- Pro M<=N: span(M) je podmnozina span(N)
- M je podmnozina span(M)
- span(span(M)) je podmnozina span(M)
Tedy lin. obal je “rovny natazeny” kus lin. prostoru. Je to zaroven nejmensi mozny kus aby obsahoval M a neda se uz zvetsovat/zmensovat
Linearni podprostor
At W je podmnozina nejakeho lin. prostoru L. Rekneme, ze W je lin. podprostor lin. prostoru L p.t.k.:
span(W) = W
Tedy lin. podprostor je uz “natazeny dobry” kus sam o sobe a jeho linearni obal se nelisi. Nelze z nej utect operacemi scitani a skalarnim nasobenim
span(M) je vzdy lin. podprostor - jde o nejmensi mozny podprostor obsahujici M.
Pozadavky na lin. podprostor, neboli 3 veci, co musim dokazat, abych prohlasil, ze mnozina M je lin. podprostor?
- M obsahuje nulovy vektor
- Pro dva lib. x1 x2 vektory z M plati: x1+x2 lezi v M
- Pro lib. vektor x a skalar z F plati: ax lezi v M
Tedy obsahuje “nulu” a vydrzi scitani a nasobeni
Kazdy lin. prostor je svym vlastnim…
Podprostorem, protoze splnuje 3 pozadavky podprostoru.
Trivialni lin. prostor {0} je take i lin….
Podprostorem, protoze splnuje 3 pozadavky podprostoru
Prunik lin. podprostoru je
Lin. podprostor
Sjednoceni lin. podprostoru…
Obecne NENI lin. podprostor (treba sjednoceni x a y osy, kdyz secteme dva vektoru, tak se ocitnem mimo osy -> utekli jsme ze sjednoceni -> neni lin. podprostor)
Ale dodefinovava se jako:
Spojeni lin. podprostoru jako span(sjednoceni lin. podprostoru), tedy tam pridam i “mezery” mezi podprostory.
Kolik typu lin. podprostoru existuje v R^3?
- Pocatek = {0}
- Primka prochazejici pocatkem
- Rovina prochazejici pocatkem
- Cele R^3
Nejde tam pridat dalsi druh, protoze nesplnuje pozadavek na lin. podprostor
Trivialni lin. kombinace
Lin. kombinace a1x1+a2x2+…+anxn=0 je trivialni p.t.k. a1=a2=…an=0.
Tedy nulovou summu jsme dostali POUZE pri nulovych koeficientech a ne kvuli necemu jinemu.
Pokud alespon jeden koeficient je nenulovy, pak nulova lin. kombinace NENI TRIVIALNI.
Kazda trivialni lin. kombinace je nulova, ale neplati to naopak:
nulova lin. kombinace nemusi byt trivialni: x-x=0, ale a=1!=0
Linearni nezavislost mnoziny vektoru
Mejme mnozinu vektoru S v lin. prostoru. Rekneme, ze je nezavisla p.t.k.:
1. S je prazdna
2. Pokud mam nulovou lin. kombinaci S, pak nutne a1=a2=..=an=0.
3. S je konecna a kazdna jeji konecne podmnozina je nezavisle - rekurzivni pohled - kazdy mensi celek je nezavisly
Tedy nulovou linerani kombinaci vetkrou S dostanu POUZE trivialni kombianci.
DULEZITE:
1. Prazdna mnozina je vzdy nezavisla - nemam co overovat
2. {0} je vzdy zavisly - nulova lin kombinace i netrivialnim zpusobem
3. Mnozina, kde se opakujou vektory je vzdy zavisla - nulovou kombinaci dostanu tak, ze jenom pridam znamenko - u opakujicich se vektoru
Priklady nezavislych mnozin
{prazdna}, kanonicke vektory, {1, x, x^2, x3…}
Pokud z lin. nezavisle mnoziny uberu nejake prvky, pak vysledna menzi mnozina je…
Opet lin. nezavisla - debiranim prvku nemohu porusit vlastnosti nezavislosti, viz z rovnice:
a1x2 + a2x2 + … + anxn = 0 jsem odebral nejake prvky, tim jsem nemohl porusit to, ze a1=a2=…=an=0
Pokud do lin. zavisle mnoziny pridam nejake prvky, pak vysledna vetsi mnozina je…
Opet zavisla, protoze furt je tam nejaka nulova lin kombinace, ktera ma netrivialni reseni. Tedy vezmu puvodni kombinaci a ke vsem novym prvkum dam koeficient 0, tim neporusim puvodni netrivialni nulovou kombinaci.
Co plati pro libovolnou mnozinu M a vektor x, ktery lezi mimo M?
Sjednoceci x s M je lin. nezavisla mnozina. Protoze pokud x puvodne v ni nelezel, tzn ze M nemohla zadnou lin kombinaci dosahnout na x. Pokud tam pridame x, tim neporusim nezavislost, protoze tam tam uz byla pred tim
Naopak v lineaarne zavisle mnozine existuje alespon jeden takovy vektor, jehoz odebranim se nezmeni span.
Mnozina generatoru
At W je linearni podprostor lin prostoru L. Rekneme, ze mnozina G generuje W, kdyz plati:
span(G) = W, tedy G je mnozina generatoru.
Konecne generovany prostor je takovy, ktery ma konecnou mnozinu generatoru
Obecne cely prostor L ma vuci sobe generovany vztah jak?
Ze je sam svym generatorem, ale obecne je zavisly a generatoru muze byt i nekonecne mnoho.
Treba R^2 generuje cely R^2, ale vektoru je nekonecne mnoho a jsou zavisle
Baze prostoru
Nezavisla mnozina generujici prostor se nazyva baze.
Je to nejmensi mnozina generatoru.
Kanonicka/Standardni baze
Je to mnozina vektoru takovych, ze na i-te pozici v i-tem sloupci je 1, jinak same nuly.
Kazdy konecny linearni prostor ma svoji…
Bazi. Navic stejne velke prostory maji stejne pocetne baze - stejnou dimenzi
Dimenze prostoru
Je pocet prvku v bazi.
card(A sjednoceno B)
dim(A sjednoceno B)
card(A) + card(B) - card(A prunik B), tedy musime vyloucit dvojnasobne zapocitani pruniku
dim(A) + dim(B) - dim(A prunik B)
Vektor souradnic vektoru x vzhledem k bazi B.
Mejme lin. prostor a jeho bazi B. Souradnice vektoru x vzhledem k bazi B je novy vektor:
coordB(x) = (a1 a2 a3…) sloupcove.
Tedy je to vektor koeficientu, jakymi musime natahnout vektory baze, abych dostal vektor x.
Tedy je vektor souradnice je jakysi “skalovani” baze, aby vztvrotilo vektor x.
Pocita se jako soustava rovnic obycejna, kde hledam linearni kombinaci vektoru baze, aby se rovnaly vektoru x.
a1-krat natahnu b1, a2-krat natahnu b2…
Souradnice vektoru x vzhledem ke kanonice bazi
Je samotny vektor x.
Linearita vypoctu souradnic
Vypocet vektoru souradnice je linearni zobrazeni a plati:
1. coord(x+y) = coord(x) + coord(y)
2. coord(ax) = a*coord(x)
Proste/na/bijekce zobrazeni
- Proste, injektivni, monomorfismus = zakazuje dve x na jedno y
- Na, surjektivni, epimorfismus = pro kazde y existuje x
- Bijekce, isomorfismus = injekce + surjekce, p.t.k. ma inverzi
Linearni zobrazeni defincie
At L1, L2 jsou linearni prostory nad F. Zobrazeni:
f : L1 -> L2 je linearni p.t.k pro vsechny prvky z L1 a F plati:
1. f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
2. f(ax) = a*f(x)
Skladani lin. zobrazeni je lin. zobrazeni.
Linearni zobrazeni je definovano na hodnotach baze puvodni prostoru. Tedy na co se poslou vektory baze L1:
e1 |-> a1, kde e1 je vektor baze, a1 je jeho obraz a tvori prvni polozku v matici linearniho zobrazeni.
Matice
Matice A nad F o r radcich a s sloupcich je tabulka hodnot.
Matice linearniho zobrazeni f z L1 do L2 je definovana jako:
(a1 … as), kde a1 je sloupcovy vektor prechodu baze L1 na hodnoty L2.
Tedy A: F^s -> F^r (tedy matice o s sloupcich a r radcich) je dana jako:
A: ei |-> f(ei) = a1 v A.
Matice A je slozena z vektoru baze L1 na ktere jsem aplikoval zobrazeni f.
Matice projekce/rotace/zmena meritka
- Projekce na osu x - prvni osu necha, druhou vynuluje
(1 0)
(0 0)
Tedy prvni bazovy vektor e1 jsem nechal jak byl a e2 jsem vynuloval. - (cos(a) -sin(a)), rotace o oapcny uhel je stejna az na (-a)
(sin(a) cos(a)) - je to jenom natazeni vektoru baze o a,b koeficienty
(a 0)
(0 b), tedy zoom o a-krat na ose x, b-krat na ose y
Co znamena nasobeni vektoru matici, ktera zadava linearni zobrazeni
Dostavam novy vektor, na ktery byla aplikovana “transofmrace/funkce” zadana matici A.
Treba obecny vektor z F^n mohu zrotovat matici P(a) a pak vyskalovat matici P(a,b)…, dostanu novy vektor na kterem jsem provedl transformace
Vyznam zapisu Ax=b
- Bud hledam vzor bodu b pri zname matici A, tedy zajima me, jaky neznamy vektor jsem poslal na A, abych dostal b.
- Koduje to soustavu linearnich rovnic. Pocet sloupcu A je pocet neznamych, pocet radku je pocet rovnic
Vyznam zapisu AB, kde A i B jsou matice lin. zobrazeni
Koduje to aplikovani zobrazeni B a pote i A. Tedy obecny vektor na to poslu -> dostanu jeho vzor jako kdybych ho nejdriv poslal na B a pak jeste i na A.
Nasobit mohu matice pouze takove:
A(r,s) a B(s, x) aby prechod v komutativnim diagramu daval smysl pro rozmerovou zkousku. Musi byt “slepitelny” sev - prechod, protoze s je dimenze “mezi” prostoru
Obecna platnost asociativita/komutativita/identity matic
- Asociativita - poradi nasobeni matic - plati.
(CB)A = C(BA) - Komutativita - obecne neplati, prohozeni poradi nasobeni nemusi byt stejne:
AB != BA - Jednotkvoa matice - slozena z kanonickych vektoru zastupuje identitu.
Jadro/obraz linearniho zobrazeni
Nech L1 a L2 jsou lin. prostory, f je linearni zobrazeni
Pak jadro je:
ker(f) = {x | f(x) = 0}, tedy je to mnozina vsech vzoru z L1, ktera se zobrazi na 0 v L2. Ukazuje to, jak moc je zobrazeni proste, tedy jestli posle ruzne hodnoty x na stejnou hodnotu 0. Je to podprostor L1
Obraz je:
im(f) = {y | f(x) = y}, tedy je to mnozina vsech obrazu z L2, pro ktere existujou vzory z L1. Ukazuje to, jak moc je zobrazeni na - tedy zda pro kazdy y existuje x. Je to podprostor L2
Defekt/hodnost
Defekt - dimenze jadra
Hodnost - dimenze obrazu
dima(ker(f)) + dim(im(f)) = def(f) + rank(f) = dim(L1)
Veta o dimenzi jadra a obrazu = spolu davaji puvodni prostor, ktery se deli na jadro a obraz
Definice prosteho zobrazni pomoci jadra
Zobrazeni je proste p.t.k:
def(f) = 0, tedy zadne dva ruzne x neposle na tu samou nulu
Ax=0 ma pouze trivialni reseni
Definice zobrazeni na pomoci image
Zobrazeni je na p.r.k:
im(f) = L2, tedy cely vysledny protor ma vzory v L1.
Definice bijekce pomoci jadra a image
Zobrazeni je bijekce p.t.k def(f) = 0 a dim(L1) = dim(L2),
tedy musi byt stejne velke aby platila prostota a nanota zaroven
Tedy matice bijekce je ctvercova - r=s
Regularni/singularni matice definice
Matice je regularni p.t.k:
1. Je ctvercova a existuje jednoznacne inverzni matice A^-1 tak
AA^-1 = E = A^-1A
2. det(A) != 0
3. Ma lin. nezavisle sloupce
4. Sloupce se neopakuji
Matice je singularni kdyz neni regularni
Vypocet coordinat je jaky typ zobrazeni?
Bijekce, existuje inverze, vyuziti pro prechod mezi souradnicovymi systemy
Matice linearniho zobrazeni mezi prostory L1,L2 s bazemi B,C
Je to takova matice, pro kterou plati:
A*coordB(x) = coordC(f(x)),
tedy bud udelam zobrazeni f z L1 do L2. Nebo prejdu do souradnic B, aplikuju na to matici A a to se ma rovnat tomu, kdbycyh nejdriv aplikoval f na x, a pak ho prevedl do souradnic C.
Tedy je to komutativni ctverec, kde spodni hrana je prima cesta f. Nebo udelam skok nahoru (coordB) -> aplikuju A -> skok dolu (coordC(f(x))
Jak spocitat matici lin. zobrazeni mezi L1 a L2 s bazemi B, C?
Necht L1 ma bazi B=(b1, …, bn), L2 m bazi C=(c1, …, cn).
Pak matice A na j-tem sloupci ma:
coordC(f(bj), tedy beru bazi B a na kazdy sloupec aplikuju zobrazeni f. Pak vysledek spocitam v koordinatech C a je to 1. slozka matice A. Tento proces opakuju pro vsechny sloupce baze B.
Matice A ma s sloupcu (podle B) a r radku (podle C).
Pro kazdy prvek baze B spocitej f(bj) a pote vysledek spocitej v coordC: coordC(f(bj)).
Matice transformace souradnic
Je to matice, ktera bere bazi B a posila ji na bazi C.
Tedy bere j-ty prvkek B a zobrazuje ho v souradnicich C:
T(B|->C) je dano jako:
j-ty sloupec T = coordC(bj).
Takze proste beru postupne prvky baze B, pocitam jejich souradnice v C a skladam za sebe do matice T
T je vzdy regularni. T(B|->C) ^-1 = T(C|->B), tedy obraceny postup
Matice slozene transofmrace souradnic z B do D pres C
T(B|->D) = T(C|->D) * T(B|->C), tedy prejdu nejdriv z B do C, a pak z C do D
Mam hezkou bazi B a nehezkou bazi C. Chci zjistit souradnice vektoru x vzhledem k nehezke bazi C. Jak to udelam?
Vim, ze coordC(x) = T(B-C) * coordB(x) = T(C-B)^-1 * coordB(x)
Tedy spocitam souradnice v hezke bazi a pak prejdu matici transformace do nehezke baze. Navic vyuziju jednodussi postup jako (nehezka->hezka)^-1
Jaky je nejjednodussi zpusob vypoctu matice transofmrace z B do C?
T(B->C) = T(K-C) * T(B-K) = T(C-K)^-1 * T(B-K)
tedy prechod z baze B,C do kanonicke je jednoduchy - je to jenom prepis bazovych vektoru 1 ku 1.
Takze z random baze B prejdu jednodusse do kanonicke. Pak z kanonicke do C, akorat jeste jednodussi je pouzit z (C do kanonicke)^-1.
Mam zadany dve baze B, C a zobrazni Ab vzhledem k bazi B. Chci najit stejne zobrazeni A ale vzhledem k bazi C, postup
Tedy vim jak se toto zobrazeni chova v bazi B a chci zjistit, jak vypada v jine obecne bazi.
Myslenka: prejdu do zname/hezke baze, tam udelam zobrazeni vuci ni, vratim se zpet.
Tedy:
Ac = T(C->B)^-1 * Ab * T(C->B),
tedy nejdriv prejdu z C do B souradnic. Tam aplikuju matici zobrazni Ab, nasledne se vratim zpet z B do C.
Podobnost matice, definice
Dve matice A,B jsou si podobne, pokud plati:
B = T^-1 * A * T, tedy matice B a A rikaji to same, ale kazde ve svych jinych souradnicich. Vykonavaji stejnou transofmraci, akorat jedna muze byt mnohem prehlednejsi a jeji geometricka povaha je hned zrejma.
Obecne:
Hezka matice v nehezkych souradnicich - hned vidim co matice dela
NEBO
Nehezka matice v hezkych souradnicich - nevidim co matice dela, ale mam pohodlnou soustavu treba kanonickou
Co koduje Ax=b a (A|b)?
Ax=b je soustava r-rovnic o s-neznamych, kde x je hledany vektor neznamych a jsou to koeficienty lin.kombinace vektoru A tak, aby vytvorily vektor pravych stran b.
(A|b) je rozsirena rovnice soustavy
Horni blokovy tvar matice
Rekneme, ze matice je v hornim blokovem tvaru p.t.k.:
1. Kazdy nenulovy radek ma prvni nenulovou polozku (pivota) nad sloupcem samych nul
2. Kazdy nasledujici pivot je vic vpravo nez predchozi pivot
GEM
Gaussova Eliminacni Metoda - algoritmus jak v konecnem poctup kroku prevest libovolnou matici do horniho blokoveho tvaru s pouzitim tri typu elementrarnich uprav:
1. Pricteni skalarniho nasobku radku matice k jinemu radku
2. Prohozeni dvou radku v matici
3. Vynasobenim radku matice nenulovym skalarem
Tyto upravy v sobe schovavaji vlastne nasobenim vhodnymi isomorfismy na ekvivalentni matice…
GEM konci pokud je matice v hornim blokovem tvaru
Pro kazdou matici M plati ze rank(M) =…
rank(M) = rank(M^T)
rank(M) = pocet nenulovych radku v HBT - pocet pivotu
Frobeniova veta
- Soustava Ax=b ma reseni p.t.k. rank(A) = rank(A|b)
- Pokud (A|b) ma reseni, pak je tvaru:
p + ker(A) = {p+xh | xh lezi v ker(A)}, kde Ap=b. Tedy je to partikularni reseni + jadro
Postup reseni linearni rovnice:
2x + 3y - 4z = 2
Maticove (2 3 -4 | 2)
- Frobeniova veta: hledam rank jako pocet nenulovych radku neboli pocet pivotu: rank(2 3 4) = 1 rank(2 3 4 | 2) -> reseni existuje
- Hledam defekt: pocet prvku za poslednim pivotem: def(A) = 2.
- Homogenni reseni je dano lin. kombinaci ker(A).
- Jelikoz def(A) = 2, tak ker(A) bude mit 2 vektory o 3 slozkach (podle poctu neznamych), kde na miste kde neni pivot udelam jednotkovou matici:
(neco), (neco)
( 1 ) ( 0 )
( 0 ) ( 1 ), abych zarusil nezavislsot. - Zpetnym dosazenim do HOMOGENNI soustavy
(2 3 4 | 0) kam za 2,3 dosadim 1,0 a 0,1…
dopocitam zbyle neco,neco… - Mam homogenni reseni ve tvaru (-2/3 1 0), (2 0 1).
- Hledam partikularni reseni tak, ze VSUDE KROME pivotu dam 0 a za pivota dosadim neco, aby to vychazelo pro rovnici
(2 0 0 | 2), tedy partikularni reseni je (1 0 0). - Celkove reseni:
part + hom = (1 0 0) + span((-2/3 1 0), (2 0 1))
Je to affinni podprostor prochazejici pocatkem a posunuty
Gaussova-Jordnova eliminace
Algoritmus hledani inverzni matice k A jako:
(A|E) ~ … ~ (E|A^-1). postupnymi upravami jak GEM na leve strane delam jednotkovou matici a pak vpravo vyctu inverzni k A
Naleznete nejakou rovnici Ax=b, ktera by mela reseni:
(3 2 6) + span[(1 2 0), (2 0 4)] vsechno sloupcove
- Narovnam homogenni reseni do radku a resim simultanni soustavu homogenni soustavu, tedy vezmu transpozici homogenniho reseni a udelam z nich radky:
(1 2 0 |0)
(2 0 4 | 0), tedy resenim je napriklad: (2 -1 -1) sloupcove a je to zaroven radek matice A. - vime ze Ap = b, p=(3 2 6), tedy A(3 2 6) = b. staci jenom pronasobit a vidim, ze b= -2.
- Hledana soustava muze byt treba: (2 -1 -1 |-2)
Co koduje zapis p+(x1, …, xn)?
Je to afinni podsprostor dimenze n v prostoru F^s, seznam (x1, …, xn) je smer/zamereni. Je to podprostor posunuty do bodu p.
Pro kazdy afinni podprostor existuje nejaka soustava, jejimz resenim je tento af. podprostor
Geometricky vyznam determinantu ctvercove matice v R^2 a obecne nad F^n
Definuje se pomoci sumy znamenek permutaci v matici… jako suma po diagonalach (jako kdybych pocital normalni postup)
Determinant je cislo, ktere udava velikost orientovane plochy, kterou vymezuji vektory/sloupce matice. Orientace jde od prvniho sloupce ke druhemu… Pokud proti smeru hodinovych rucicek, je orientace kladna, po smeru - zaporna
Obecne determinant ctvercove matice NxN nad telesem F je ORIENTOVANY OBJEM ROVNOBEZNOSTENU vymezeneho sloupci matice.
Cemu se rovna det(A) vzhledem k transpozici?
det(A) = det(A^T)
Vypocet determinantu pomoci GEM
Myslenka: determinant matice v HBT je soucin prvku na diagonale.
- GEM proces ALE
- pri prohozeni dvou radku se meni znamenko (otoceni permutace - prekrizeni?)
- vynasobenim radku skalarem x se vysledek reguluje vydelenim x, tj pokud radek *x, tak vysledek / x.
- pricteni lin. kombinace readku k jinemu nemeni determinant.
Tj delam GEM a poznamenavam elemmenarni upravu a bud menim znamenko, nebo nasobim to skalarem…
Algebraicky doplnek pozice (i,j) matice A
Mam matici A. Pokud chci spocitat algebraicky doplnek pozice (i,j), tak vynecham i-ty radek a j-ty sloupec (ukrojim imaginarni kriz) a zbyde mi mensi matice o rozmenu (n-1)(n-1). Z ni spocitam determinant a VYNASOBIM ZNAMENKEM POZICE:
AlgDoplnek(i,j) = (-1)^(i+j) * det(zbytek A po ukrojeni)
Vypocet determinantu rozvojem podle sloupce
Je stejny jako podle radku, protoze det(A)=det(A^T)
Je vypocetne pomaly: n! a hodi se pro ridke matice s nulami
Postup:
Zvolim si nejaky sloupec/radek idealne kde je nejvic nul.
Pro kazdou pozici v tomto sloupci pocitam:
prvek * (-1)^(i+j) * det(podmatice po ukrojeni krize z prvku)
Takto sumou ectu vsechny mezivysledky pro kazdou pozici ve zvolenem sloupci.
(1 2 0 1)
(2 7 6 3)
(5 2 0 3)
(3 2 5 1) pocitam podle 3. sloupce jako:
0 * (-1)^(1+3) * det(2 7 3 | 5 2 3 | 3 2 1) //pod sebou radky
+
6 * (-1)(2+3) * det(1 2 1| 5 2 3| 3 2 1)
+
0 * …
+
5 * (-1)^(4+3) * det(1 2 1| 2 7 3| 5 2 3)
= vysledek
Adjungovana matice
Adjungovana matice je transponovana matice algebraickych doplnku.
- Mam matici A, pro kazdou pozici spocitam algebraicky doplnek A ZAPISU HO NA STEJNE MISTO V NOVE MATICI (tedy ukrojim kriz, vynasobim znamenkem, spocitam zbyly determinant, zapisu na puvodni misto) - toto delam pro kazdou pozici puvodni matice A.
- Transponuju.
A = (2 7)
(5 3)
algDopl(A) = (3 -5)
(-7 2)
adj(A) = (3 -7)
(-5 2)
Inverzni matice pomoci determinantu a adjungovane
A^-1 = det(A)^-1 * adj(A).
Tedy pocitam det(A), adj(A) a pak adj(A) delim determinantem (a jelikoz je nenulovy tak ma inverzi)
Kdy ma soustava Ax=b se ctvercovou matici prave jedno reseni?
Kdyz je A regularni, pak toto reseni totiz vypada jako:
Ax=b /*A^-1 zleva
x=A^-1 * b
Cramerova veta
Pro soustavu Ax=b se ctvercovou matici je reseni ve tvaru:
x=A^-1 * b, pokud ale nechci pocitat inverzi, tak x mohu pocitat po slozkach jako (slozek reseni je j-pocet sloupcu matice A)
j-ta slozka reseni x = det(matice A, kde j-ty sloupec nahradim b) / det(A)
tedy napriklad A ma 4 sloupce, tedy neznama x ma 4 polozky.
4krat delam toto:
1. polozka x = det(v matici A nahradim 1. sloupec vektorem b) / det(A)
2. polozka x = det(v matici A nahradim 2. sloupec b) / det(A)
3. polozka x = det(v matici A nahradim 3. sloupec b) / det(A)
4. polozka x = det(v matici A nahradim 4. sloupec b) / det(A)
Spojim je dohromady a :
x = (x1 x2 x3 x4) sloupcove.
Reseni soustavy Ax=b s parametrem uvnitr A
Postup ma kombinaci Cramerovy vety a GEM
1. Pocitam det(A) = vyjde nejaka rovnice s parametrem p
2. Pro parametry p, kdy je soustava regularni -> tj det(A) !=0 pocitam Cramerovou vetou
3. Pro parametry p, kdy je soustava singularni -> resim pomoci GEM
vysledek se tedy rozpadne na reseni Cremera pro p = {…} a na reseni GEM pro p={…} pro p lezici v regularnim.singularnim intervalu.
Vlastni hodnota/vektor
Pro linearni zobrazeni f: L->L je lambda vlastni hodnotou pokud existuje nenulovy vektor x tak, ze:
f(x) = lambda*x, tedy zobrazeni je jenom natahovani
Kazdy takovy vektor se jmenuje vlastni vektor prislusny hodnote lambda
Vlastni vektory tvori vlastni podprostor (lambda, f) prislusny lambde.
Charakteristicky polynom ctvercove matice
Charakteristicky polynom je det(A-xE), tedy je to determinant matice A, od ktere jsem na diagonale odecetl x. znaci se charA(x)
Jak najit vlastni hodnotu?
Hledam koreny kdy charA(x) = 0. Tedy od matice A na hlavni diagonale odectu x, pocitam determinant a kdy je roven 0. Vsechna reseni jsou vlastni hodnoty s ruznymi nasobnostmi.
Jak najit vlastni vektory/podprostor eigen(lambda, A)
Mam nejake vlastni cislo lambda s nasobnosti k. Odectu ho na diagonale matice A a resim ker(A-lmabdaE). Tedy jadro matice A kde na diagonale jsem odecetl lambdu. Kolik je nasobnost lambdy, tolik vlastnich vektoru mi musi vyjit. Pokud nasobnost lambdy a vlastnich vektoru se lisi -> nejde poskladat eigen prostor a tudiz matice je nediagonalizovatelna.
Tedy algebraicka nasobnost se musi rovnat geometricke -> pro kazde vlastni cislo musi existovat lin. nezavisle vl vektory, ktere vytvori eigen prostor
Diagonalni matice, vzhled
Je to matice, ktera ma nenulove hodnoty POUZE na diagonale (mohou byt i nulove) dulezite, ze nenulove jsou jen na diagonale
Postup diagonalisace matice A
- Kontrola zda matice A je ctvercova
Chci matici A pripodobnit nejake matici B (diagonalni) ale v jinych souradnicich. Tedy chci:
A = T^-1 * B * T, kde B je diagonalni a hned budu videt povahu matice A, T vystupuji jako transformacni matice z A do B a zpatky.
Matici B sestavim z vlastnich cisel matice A - jsou to presne natahovani souradnic.
Matici T sestavim s vlatnich podprostoru prislusnych vlastnim cislum
- Hledam vlastni cisla - jsou to koreny pro charA(x) = 0.
det(A - xE) = 0? - Sepisu vlastni cisla a jejich nasobnosti, treba x1 = 2, k1 = 1, x2 = 3, k2 =2
- Pro kazde vlastni cislo hledam vlastni vektory jako egein(lambda, f) jako:
ker(A - lambdaE), tedy ker(A - x1) a ker(A - x2). - Pocet vektoru ve vlastnim podprostoru musi byt stejny jako nasobnost prislusneho vlastniho cisla, tedy ker(A-x1) ma 1 vektor, ker(A-x2) ma 2 vektory.
- Pokud mi nevyslo tolik vl. vektoru jako je nasobnost vsech vl. cisel -> matice neni diagonalisovatelna
- Postavim matici B jako diagonalni, kam na diagonalu dam vlastni cisla poporade.
- Postavim matici T jako vlastni vektory poporade jak odpovidajici chronologicky vlastnim cislum v poradi B
- Matici A pak vidim jako:
prechod do nehezkych souradnic matici T, tam aplikuju skalovani matici B, vratim se zpet do hezkych souradnic T^-1.
jak spocitat mocninu diagonalisovatelne matice A?
Jako mocninu jeji podobne diagonalni matice B:
A^n = T^-1 * B^n * T
Nilpotentni zobrazeni
Je to takove zobrazeni f: L->L, pro ktere existuje k takove ze:
f^k = 0, tedy po urcitem opakovani aplikovani f se mi vysledek posle na nulu. takovemu k se rika index nilpotence a znaci se nil(f)
Jordanova bunka
Je to matice NxN takova, ze NAD diagonalou je mensi diagonala jednicek. Jinak vsude same nuly. Tedy je to nilpotentni matice, s indexem nilpotence = N. Po takova matice umocnena na N se stane nulovou
Jak skoro diagonalisovat matici na Jordanuv tvar?
Matici, ktera nejde primo diagonalisovat muzeme prevest na tzv Jordanuv tvar jako:
M = M(diag) + M(nil), tedy na nejakou diagonalni matici + zbytek, ktery vadi diagonalisaci, ale zmizi s jistou mocninou
Realny skalarni soucin
At L je lin. prostor nad R. Funkci:
<-|-> : LxL -> R rikame skalarni soucin, pokud pro lib. vektory x,y plati:
1. Komutativita: <x|y> = <y|x>
2. Linearita ve druhe slozce: <x|-> je linearni
3. Pozitivni definitnost: <x|x> >=0, je to =0 iff x=0
Skalarni soucin pro usecky v R^2
<x|y> = ||x|| * ||y|| * cos(fi)
Standardni skalarni soucin v obecnem R^n
<x|y> = x^T * y = Suma(xi * yi), tedy pronasobim odpovidajici slozky mezi sebou a sectu je
Cauchy-Schwarz-Bunyakowskeho nerovnost
Velikost skalarniho socinu vektoru je shora omezena soucinem velikosti jednotlivych vektoru:
|<x|y>| <= (<x|x>)^1/2 * (<y|y>)^1/2 = ||x|| * ||y||
Norma vektoru
norma vektoru x je skalarni soucin x se sebou odmocnina:
||x|| = (<x|x>)^1/2
Vlastnosti normy:
1. Norma je vetsi nebo rovna 0.
2. |ax| = |a| * |x|
3. Trojuhelnikova nerovnost:
|x+y| <= |x| + |y|
Definice ortogonalnich vektoru
Vektory x,y jsou ortogonalni, tedy navzajem kolem, p.t.k:
<x|y> = 0
Definice metriky/distance dvou vektoru
Je to funkce d splnujici:
1. d(x,y) = d(y,x)
2. d(x,y) >= 0
3. d(x,y,) <= d(x,z) + d(z,y) // cesta pres nejaky treti bod
a pocita se jako:
d(x,y) = |x - y|
Jaka matice zachovava standardni soucin v R^n?
Matice A je regularni a plati A^T = A^-1
Cim je zadan skalarni soucin?
Pozitivne definitni matici. Pozitivne definitni matice G splnuje:
TREBA
1. Je symetricka a zachovava xGx >= 0, tedy zachovava pozitivni skalarni soucin
NEBO
2. Je symetricka a charG(x) ma vsechny koreny kladne
NEBO
3. Je symetricka, det(G) !=0 a vsechny subdetermimanty jsou > 0.
Treba jednotkova matice zadava standardni skal. soucin
Metricky tenzor/Gramova matice
Je to matice G, ktera zadava skalarni soucin, tedy je ctvercova symetricka, pozitivne definitni
Ortonormalni baze
Vsehny vektory jsou si navzajem kolme (orto-) a maji jednotkovou velikost (-normalni). Plati tedy:
<xi|xj> = 0 pro i!=j, =1 pro i=j.
Ortogonalni mnozina vektoru a jeji zavislostni vztah
Ortogonalni mnozina vektoru je takova, ze jsou si vsechny navzajem kolme. Veta: takova mnozina je nezavisla.
Pro ortogonalni matici plati:
M^T = M^-1. tedy inverze ortogonalni matice je pouze jeji transpozice
//tedy nezavisle vektory jsou si navzajem kolme, zadny nejde vygenerovat kombinaci jinych
Vypocet souradnic vektoru x vzhledem k ortonormalni bazi se skalarnim soucinem
Obecny postup: resim obycejny vypocet soruadnic vektoru x vzhledem k bazi B jako:
linearni kombinace baze = x
ub1 + vb2 + … + w*bn = x.
coordB(x) = (u v … w) sloupcove
PRO ORTONORMALNI BAZI:
coordB(x) = (<b1|x> <b2|x> … <bn|x>) sloupcove, tedy kazdou polozku ziskam jako skalarni soucin i-teho vektoru baze B s x.
Ortogonalni projekce/rejekce vektoru x na lin. podprostor W
Nech W je podprostor lin. prostoru L se skal. soucinem a x je libovolny vektor z L. Pak vektor:
projW(x), ktery lezi ve W a pro ktery je (x-projW(x)) kolmy na W, rikame ortogonalni projkece vektoru x na W.
Vektor x-projW(x) se nazyva ortogonalni rejekce vektoru x podprostroem W a je kolmy na W. Rejekce ne nejkratsi ze vsech usecek spojujicich x a W.
Vzajemny vztah projekce a rejekce
proj(x) + rej(x) = x
Jak se spocte ortogonalni projekce vektoru x na podprostor W={u1, u2,…uk} s ORTOGONALNI mnozinou vektoru?
projW(x) = Suma [(<ui|x> / <ui|ui>) * ui], tedy udelam skalarni souciny vektoru baze W s x, pak je normuju danym vektorem baze a nasobim jeho smerem. Udelam summu techto podvypoctu
Co dela ortogonalisacni Gram-Schmidtuv proces?
Libovolnoui bazi B prevadi na bazi C takovou, ze span(C) = span(B), ale navic C je ortogonalni, navic ji pak muzeme normalizovat a mit ortonormalni bazi z libovolne baze B
Postup GS ortgonalisace base B=(b1, b2, …, bn)
OBECNA MYSLENKA:
Chci poskladat novou bazi C tak, ze kazdy vektor je ortogonalni na vsechny jine. Vezmu prvni vektor b1 a jeho prohlasim za svuj pocatek = c1. Kazdy dalsi pribyvajici vektor musi byt kolmy na vsechny jiz obsazene vektory v C, tedy PRIDAVAM REJEKCE - aby novy vektor byl kolmy - na podprostor jiz obsazenych vektoru z C. Tedy kazdy nasledujici vektor c(i+1) se spocita jako rejekce b(i+1) na span(Ci).
- Prvni vektor b1 prohlasim za hotovy, c1 = b1
- c2 = rejekce vektoru b2 na jiz obsazene vektory v C = rej(b2) na span(c1) = b2 - proj(b2) na span(c1): pouziju vzorec pro vypocet ortogonalni projekce vektoru b2 na JIZ ORTOGONALNI span(c1):
c2 = b2 - (<c1|b2> / <c1|c1>) * c1
- c3 = b3 - proj(b3) na span(c1, c2):
c3 = b3 - [(<c1|b3> / <c1|c1>) * c1 + (<c2|b3> / <c2|c2>) * c2]
tedy postupne prodluzuju vzrorec pro projekce na jiz naplnenou ortogonalni mnozinu span(Ci)…
Pote kazdy vektor v C vydelim jeho velikosti a mam C jakom ortonormalni bazi
Odvozeni vzorce pro matici ortogonalni projekce
- Mam v prostoru vektor x a podprostor W s matici A.
- projW(x) lezi ve W, tedy projW(x) = Ay, tedy linearni kombinaci matice A natahnu nejaky vektor y z W tak, ze mi “splyne” s projekci.
- Zaroven vim, ze rejekceW(x) musi byt kolma na A. Rejekce se spocita jako (x-projekce) -> (x-Ay).
- Aby rejekce byla kolma na A, tak jejich skalarni soucin musi byt roven 0, tedy:
<A|(x-Ay)> = A^T*(x-Ay)> = 0 //roznasobim a upravim:
A^Tx = A^TAy //vyjadrim si y
y = (A^TA)^-1A^Tx //dosadim toto y do rovnice projekce 2.:
- projW(x) = A(A^TA)^-1A^Tx
toto je pro standardni skalarni soucin, kde metricky tenzor je jednotkova matice a tady se nepise.
Pro obecny metricky tenzor G (ktery deformuje prostor a zadava skalarni soucin, treba ze vidi ruznobezne vektory jako kolme…) pak skalarni soucin obshuje G:
Tedy matice projekce vetkrou x na podprostor W s obecnou matici A a metrickym tenzorem G je:
projW(x) = A(A^TGA)^-1A^TGx
SAMOSTATNA MATICE PROJEKCE JE:
P = A(A^TA)^-1A^T, pak to staci nasobit vektorem zadnym a mam uz projekci
Dva zpusoby, jak postupovat pri vypoctu projekce na podprostor s obecnou bazi?
Tedy mam zadany nejaky vektor x a podprostor W s OBECNOU NEORTOGONALNI BAZI A=(a1, a2, …, an) a chci po mne spocitat projW(x):
- Obecnou random bazi ortogonalizuju a GS procesem a pote na ni pouziju sumacni vzorec pro vypocet projekce na ORTOGONALNI BAZI
projW(x) = Suma (<ai|x| / <ai|ai>) * ai - Pro obecnou bazi A prostoru W plati:
projW(x) = A(A^TGA)^-1A^TGx
Vlastnosti matice ortogonalni projekce
- Je symetricka
- Nezavislost mocnic: P^2 = P
Metoda nejmensich ctvercu
Je metoda, ktera umi nejlepe resit soustavy “preurcenych” rovnic, ktere nemaji reseni tak, ze body v prostoru prolozi “nejlepsi moznou” primkou - regresni primkou, tzn dopusti se nejmensi chyby, neboli odchylky od namernych body. Pro prokladane body udelam projekci na tuto primku, tim padem rejekce je nejmensi mozna vzdalenost techto bodu od primky - tudiz nejmensi chyba.
- Mam namerene body v rovine (x1 y1), (x2 y2), …, (xn yn) a zajima me, jestli lezi na primce.
- Primka by mela predpis y=ax + b. Tedy hledam takove parametry (a,b) ZDE JSOU NEZNAME, aby byla splnena rovnost pro vsechny moje namerene hodnoty (TY JSOU TED PRO ME ZNAME).
- Sestavim soustavu rovnic do rozsirene matice:
(x1 1 | y1)
(x2 1 | y2)
…
(xn 1 | yn)
// je tam jedna protoze je to koeficient becka, koeficient xka je a. Jinak pohled: ax + 1b mi kombinuje y. Zname - x, 1. Nezname - a,b - Podle Frobeniove vety tato soustava (A|y), nema reseni. Ale soustava (A^TA|A^Ty) uz reseni ma, protoze A ma lin. nezavisle sloupce, tim padem A^TA je pozitivne definitni, tudiz regularni a JEDINE reseni je tvaru:
Az=y, pro z=(a,b) prevedu na
A^TAz = A^Ty, A^TA je regularni -> prevedu napravo
z = (A^TA)^-1A^Ty // z ma strisku
Je to nejmensi mozne reseni, protoze matice projekce ma tvar:
P = A(A^TA)^-1A^T, coz je skoro stejne jako moje reseni, mohu ho tam dosadit:
Az = Py, tedy projekce vektoru y na podprostor A mym resenim.
Ja projektuju vektor y na prostor A, tzn dostanu rejekce y do A jako nejmensi mozne vzdalenosti od A.
Tedy minimalisoval jsem ctverec chyby:
|y - Az|, kde y jsou skutecne hodnoty, Az jsou moje nejlepsi aproximace, chci aby jejich rozdil byl minimalni, tzn velikost druhe mocniny, abych neresil znamenka
OBECNE:
Projektuju realny vektor y na prostor generovany A -> dostanu rejekce, tzn je to nejmensi mozna chyba a koeficienty naleznu ve vektoru z se striskou
SVD rozklad
Kazdou obcenou matici M(s->r) (TEDY HLAVNE NECTVERCOVOU) lze rozlozit na:
M = USV^T, kde
U(sxs), V(rxr) jsou ortogonalni (U^T = U^-1, V^T=V^-1)
S(sxr) ma na hlavni diagonale kladna (nenulova) singularni cisla matice M serazena od nejvetsiho po nejmensi, vsude jine ma nuly.
Postup:
1. Mam zadanou matici M a chci jeji singularni rozklad.
2. Spocitam M^TM, dostanu novou matici A
3. Spocitam vlastni hodnoty A
4. Matici V spocitam jako vlastni prostor pro vlastni cisla, tedy proste dopocitam eigen(lambda, A) pro vsechny lamdby jako u diagonalizace.
5. Seradim je od nejvetsiho po nejvetsi (nenulova).
6. Odmocnim vsechna vlastni cisla - dostanu singularni cisla
7. Matici S dostanu jako diagonalni, kam na diagonalu dam serazena nenulova singularni cisla.
8. Matici U spocitam po slozkach jako:
ui = M*v1/sing1, tj vezmu puvodni matici M a vynasobim ji i-tym sloupcem matice V, pak to vydem i-tym singularnim cislem (odvozeno ze vztahu M=USV^T)
Pouziva se pro castecnou diagonalizaci NEctvercovych matic, nebo jako komprese dat, nebo pro hledani pseudoinverze
Geometricky vyznam:
Matice U,V predstavuji ortonormalni baze takove, ve kterych se puvodni M jevi jako zmena meritka v bazi S, tedy U,V me prevedou do jinych souradnic jako:
1. V^T: rotace
2. S: zmena meritka aplikovana
3. U: zase rotace
Pseudoinverze
Pro obecnou matici A(s->r) existuje nanejvys jedna matice A+(r->s_ tak, ze s chova jako inverzni, tedy splnuje jiste podminky treba:
AA+ = A, A+AA+=A+…
Pokud je puvodni matice regularni, tak jeji pseudoinverze primo inverzi
Afinni podprostor, definice
Je to mnozina tvaru:
p+W = {p+x| x je z W}, kde W je linearni podprostor prostoru R^n (rikame mu smer), p je bod z R^n.
Tedy je to linearni podprostor W posunuty do body p. Doslova - mam nejakou plochu W a ja ji jenom posunu do random bodu p.
Dimenze aff. pod. je dima(w).
Definice vzajemnych poloh aff. podprostoru pi1,pi2
Necht pi1 = p1 + W1, pi2 = p2 + W2. Rekneme, ze jsou:
- Rovnobezne p.t.k. W1 je podmnozina W2 nebo naopak.
- Ruznobezne, kdyz nejsou rovnobezne a maji alespon jeden spolecny bod.
- Mimobezne pokud nejsou rovnobezne a nemaji zadny spolecny bod.
Kanonicka pricka dvou aff. pod. pi1, pi2
Je to vektor p1-p2 ze dvou afinnich podprostoru, tedy spojnice mezi nimi
Co plati pro kanonicke pricky rovnobeznych disjunktnich/ruznobeznych/mimobeznych aff. podprostoru
- Rovnobezne disjunktni: kan. pricka nelezi ve W1 (nebo W2)
- spojnice je mimo ne, ALE NEJSOU MIMOBEZNE - Ruznobezne: kan. pricka lezi ve spojeni W1 a W2
- tedy spojnice je nejak mezi nimi ve spojeni - Mimobezne: kan. pricka nelezi ve spojeni W1 a W2
-. tedy spojnice je mimo ne, ALE NEJSOU ROVNOBEZNE
Obecny postup:
Pro dva aff. podprostory pi1, pi2 rozhodnete o vzajemne poloze
pi1 = p1 + S1, kde S1 je obecne span(W1) ze zadani
pi2 = p2 + S2
- Rovnobezne? -> soustava (S1 | S2) nebo (S2 | S1) MA reseni
- pokud ano - disjunktni? -> hledam spolecny bod:
soustava (S1 | p1-p2) ma reseni, resenim je spolecny bod
- pokud ne: - Ruznobezne? -> soustava (S1 S2 | p1-p2) MA reseni
- pokud ano -> ruznobezne
- pokud ne -> mimobezne
Grammova matice a determinant
Necht matice A ma rozmer kxn, kde k<n, tj matice A je uzka. Pak ale matice A^TA je ctvercova kxk. Teto matice budeme rikat Gramova matice (je to neco jako druha mocnina matice A).
Determinant matice (A^TA) je Gramuv determinant
Jak spocitat n-dimenzionalni objem rovnobeznostenu definovaneho vektory matice A(nxn) a k-dimensionalni objem pro uzkou matici A(kxn)?
Mejme matici A=(a1, a2, …, ak), resim zda k=n, nebo k<n?
- Pokud k=n, pak je to obycejny determinant A:
V(a1, a2, …, an) = det(A) - Pokud ale k<n, tak matice neni ctvercova -> neni regularni -> neumim pocitat determinant.
Vytvorim Gramovu matici jako:
G = A^TA, ta uz je ctvercova a udava jakousi “druhou mocninu” matice A.
Spocitam determinant G (tedy druhou mocninu det(A), ale je to pouze slogan):
det^2 = det(G).
Abych dostal “puvodni determinant” tak to odmocnim:
det = det(G)^1/2
K-dimenzionalni objem je tedy:
V(a1, a2, …, ak) = det(A^TA)^1/2 //odmocnina z druhe mocniny determinantu A
Mnemotechnicka pomucka pro vypocet vektoroveho soucinu seznamu vektoru (x1, x2, …, xn)
Postavim matici
(x11 x21 … xn1 e1)
(x12 x22 … xn2 e2)
…
(x1n x2n … xnn en)
Tedy proste postavim vedle sebe do sloupcu vektory, ktere chci nasobit a na konec radku napisu SYMBOL e (tedy ne cely vektor, ale pouze pismenko)
Pak z teto matice pocitam determinant, jako kdyby e bylo proste pismenko, az na uplnem konci za e dosadim skutecne vektory.
Velmi zakladni myslenka/uvaha o definici vzajemne vzdalenosti dvou aff. podprostoru
Intuitivne je vzdalenost takova usecka, ktera je kolma na oby podprostory. Tudiz si vytvorim pomocny podprostor V, ktery je kolmy na sjednoceni p1 a p2. Kdybych udelal projekci kanonicke pricky na V, tak dostanu vlastne rejekci kanonicke prickt na sjednoceni p1 a p2. Rejekce je ale nejmensi vzdalenost - hotovo.
Obecne:
Vzdalenost je kolma - rejekce je kolma - chci udelat rejekci na kolmy pomocny podprostor V z p1 a p2 - projekce kanonicke pricky na V (neboli rejekce kanonicke pricky sjednocenim p1 a p2) je vzajemna vzdalenost dvou aff. podprostoru.
Analogie pro vzdalenost dvou primek v rovine:
Udelam libovolnou kanonickou pricku mezi nimi p1-p2.
Udelam jeji projekci na libovolnou z tech primek (obecne je to sjednoceni dvou podprostoru)
Vzajemna vzdalenost dvou primer v rovine je kolmice mezi nimi, ale tato kolmice neni nic jineho nez projekce kanonicke pricky na KOLMY PODPROSTOR KTERY JE KOLMY NA OBE PRIMKY ZAROVEN, tedy hledam novy kolmy podprostor, tam projektuju kan. pricku, neboli rejektuju puvodnimi prostory
Definice vzajemne vzdalenosti dvou aff. podprostoru
Vzdalenost dvou aff. pod. je definovana jako:
w(p1, p2) = inf{|x1 - x2| | x1 je z p1, x2 je z p2}, tedy je to infimum z mnoziny spojnic dvou podprostoru.
Je to proste nejmensi primka, ktera spojuje dva podprostory a pocita se jako:
w(pi1, pi2) = |rej(W1 sjednoceno s W2) (p1 - p2)|, tedy je to velikost rejekce kanonicke pricky nejakym sjednocenim podprosotu p1,p2
NEBOLI:
w(pi1, pi2) = | (p1-p2) - proj(W1,W2)(p1-p2)
