MA1 Flashcards
Horni/dolni zavora mnoziny M
Takovy realny prvek z, ktery je vetsi/mensi nez vsechny prvky mnoziny M
Maximum/minimum mnoziny M
Takovy prvek z M, ktery je nejvetsi/nejmensi nez vsechny ostatni
Mnozina omezena shora/zdola
Pokud ma KONECNOU horni/dolni zavoru. Omezena pokud ma oboje
Supremum/infimum mnoziny M
Nejmensi horni zavora, nejvetsi dolni zavora.
Prvky, ke kterym se mnozina limitne priblizuje
Suda/licha funkce
f(x)=f(-x)
f(-x)=-f(x)
Princip vnorenych intervalu
Prunik intervalu, kde kazdy nasledujici je podintervalem predchoziho, vysledny prunik je neprazdny. Jestlize delky intervalu jdou k nule, pak je prunik jednoprvkova mnozina
Realna funkce promenne
Zobrazeni z prostoru A do R
Funkce prosta/na/bijekce
Neposle dve ruzne hodnoty na ten samy prvek/ vsem hodnotam z prostoru obrazu je prorazena hodnota z prostoru vzoru/ oboje zaroven
f(x)^g(x)
e^g(x)ln(f(x))
Okoli a prstencove okoli bodu A
U(A,r) je interval na ose y v bode A s polomerem r.
P(A, r) je interval na ose x v bode A o polomeru r, ale bez bodu A
Limita funkce v bode a
Funkce je definivana na prstencovem okoli a. Ma limitu b, pokud pro kazde okoli U(b) najdu prstencove okoli bodu a tak, ze se toto prstentoce okoli cele “schova” do pasu vyhranicenem U(b)
Oboustranna limita
Prave tehdy, kdyz se rovnaji leva i prava limita
Kolik limit ma funkce v kazdem bode
Nejvyse jednu
Veta o sevreni
Necht funkce h je vetsi nez f a mensi nez g a lim(f)=lim(g)=b v bode A. Pak i lim(h) v bode A je rovna b
Funkce f a g se dotknou navzajem v bode A. Timto bodem musi jutne prochazez i funkce h
Spojita funkce v bode a
Pokud limita a funkcni hodnota v bode a se rovnaji (pokud je funkce definivana v bode a, jinak existuje okoli kolem a)
Spojita funkce na UZAVRENEM intervalu nabyva…
Minima i maxima
Veta o mezihodnote
Spojita funkce na OTEVRENEM intervalu, ktera nabyva hodnot m<M, nabyva taky vsechnhodnot z <m,M>
Definice derivace
Derivace je okamzity prirustek, zprumerovany prirustek, zmena za nekonecne maly prorustek, kdyz secna se stava tecnou.
Necht je funkce definovana na intervalu A, A+h, kde h je prirustek. Pak existuje f(A), f(A+h). Temito body prolozike secnu. Kdyby se h limitne blizilo k nule, pak se secna sklopuje a stava se tecnou - udava smernici rustu funkce. Derivace je cislo = limita.
Je definovana jako
lim(h->0): f(A+h) - f(A) / h
Je to limita pro rozdil funkcnich hodnot puvodni a prirustku ku prirustku
Definice spojite funkce pomoci derivace
Funkce je spojita v kazdem bode, ve kterem ma vlastni derivaci
Vlastni je podstatna, protoze funkce sign(x) ma derivaci v bode 0 rovnou nekonecnu (narovnavame secnu smerem k ose y, az s ni uplne splyne) -> neni vlastni derivace -> neni spojita v 0 -> neni spojita na celem R
Derivace absolutni hodnoty
Absolutni hodnota je sice spojita, ale derivace je limita OBOUSTRANNA, abs hodnota ale ma ve spicce ruzne limity (podle definice vzorce 1 a -1), tudiz neni oboustranna -> derivace neexistuje
Derivace
c
X^a
e^ax
sinax
cosax
lnx
arctgx
0
ax^a-1
ae^ax
acosax
-asinax
1/x
1/x^+1
(f + g)’(a)
(fg)’(a)
(f/g)’(a)
f’(a) + g’(a)
f’(a)g(a) + f(a)g’(a)
f’(a)g(a) - f(a)g’(a) / g^2
Retizkove pravidlo
Slozena funkce (g*f)’(a) = derivace vnejsi * derivace vnitrni
Rolleho veta
Nech existuje funkce, ktera ve dvou bodech ma stejnou hodnotu, f je spojita a ma derivaci na intervalu techto bodu. Pak existuje c takove ze derivace v bode c je 0.
(Ta funkce se nejak musela dostat z bodu a do bodu b, ltere jsou na stejne hladine. bud konstatne, nebo hladkym klesanim a pak stoupanim nebo naopak)
Tecna grafu funkce f v bode a
y = f(a) + f’(a)*(x-a)
Tecna je primka z bodu f(a) a smernici danou derivaci v tomto bode a rozdilem bodu a s x
Vezmeme rozdil a s x, vznikne nam vektor smerem “doprava”, tento vektor narovnavame ve smeru derivace
Normala grafu f v bode a
Je to primka prochazejici bode f(a) ve smeru zaporne derivace na minus prvni useckou x-a
y=f(a) - 1/f’(a)*(x-a)
Taylorova veta
Nechte funkce ma ma spojite derivace do radu n>=0 na intervalu <a,x> a n+1. derivace existuje. Pak existuje c takove, ze
f(x) = S(i=0->n) f^n(a)*(x-a)^n / n! + chyba
Funkci f aproximujeme pomoci souctu jinych funkci, kde zaciname bodem a a postupne pridavame dalsi cleny. Je to nejlepsi mozna aproximace
Chyba je n+1 clen v bode c.
Postup nalezeni Taylorove rady radu n v bode a z funkce f
Mam zadani f, pocatecni bod a, stupen n.
Spocitam hodnotu funkce v pocatecnim bode - prvni prvek
Spocitam 1,2,3…n-tou derivaci z funkce f. Do vsech dosadim pocatecni bod a.
Spojim do sumy 1. prvek, derivace v bode a lomeno faktorialy krat (x-a) na ntou
Stacionarni bod
Bod podezrely z extremu, v tomto vode je nulova derivace anebo neexistuje
Neni to ale postavujici podminka, x3 ma v bode nula nulovou derivaci, ale neni to
Lokalni extrem
Body podezrele z extremu - jake druhy
Derivace v tomto bode neexistuje
Derivace je nulova
Krajni body (nebi jejich limity)
Inflexni bod
Takovy, ze na nekterem okoli ke konvexni, na nekterem konkavni
Podezrely bod je druha derivace je nulova nebo neexistuje. Pokud je druha derivace v bode a nulova, ale treti neni nulova, tak je to inflexni bod
Druha derivace je nulova znamena, ze jsme se dostali na “rovinku” kde se potencialne meni koncexita. Pokud treti derivace neni nulova, tak to znamena ze uz se tam dostava nejaka smernice, tudiz zase je tam nejaka konvexita, ltera tam pred tim nebyla -> inflexni bod
Vysetreni pribehu funkce kroky
- Definicni obor
- Sudost, lichost
- Prosta, na
- Asymptomy spocitat, pokud limita ve vlastnim bode a je nevlastni, pak x=a je asymptoma, pokud limita v nevlastnim bode je vlastni bod b, pak asymtpma je y=b
- Body podezrele z extremu - prvni derivace, kde je nulova, nebo neexistuje, vysetrit znamenka, pokud se meni znamenko, je to lok extrem, porovnat ho s krajnimi body a zjistit globalni extremy
- Druha derivace, kdy je nulova, vysetrit znamenko, pokud je druha derivace kladna - kovexni tady. Pokud treti derivace nenilova, ale predchozi byla nulova - inflexni bod
Asymptomta v nekonecnu definovana limitami p a q
y=px + q
p = lim(x->nek) f(x)/x
q = lim(x->nek) f(x) - p(x)
Konvergujici posloupnost - vztah s jeji limitou
Pokud ma konecnou limitu- konverguje a je omezena
Posloupnost a limita poslpupnosz
Posloupnost je zobrazeni z N do R, znaci se pomoci n-teho clenu, zapis bud rekurentni (fibonacci) nebo primo jako vzorec kam dosazujeme index.
Ma limutu a, pokud pro jakekoliv okoli Ua najdeme pocatecni n0, po lterem vsechny dalsi prvky posloupnosti spadnou do pasu Ua
Vybrana posloupnost
Je to jedna urcite vybrana podposlpupnost (vyjrojena z nekonecne posloupnosti)
Hromadna hodnota poslpupnosti a
A je hromadna hodnota posloupnpsti, pokud do jakehokoliv okolo Ua spadne nekonecne mnoho prvku posloupnosti
Cislo je hromadnou hodnotou, kdyz je limitou nejake podposlpupnosti
Kazda posloupnost ma hromadnou hodnotu
Supremum/infimum hromadnych hodnot je hr hodnota limsup/liminf
Primitivni funkce k f
Je jeji verze pred derivovanim, F` = f. proces inverzni k derirovani. Co jsem musel zderivovat, abych dostal f. Je dana derivaci a konstantou c, ktera nam posouva primitivni funkci, c mizi po derivovani
Neurcity integral definice
Mnozina vsech primitivnich funkci k funkci f. Je to mnozina ve tvaru F+c
Tabulkove integraly
x^a
a/x
e^ax
sinax
cosax
1/x^2+1
x^a+1 / a + 1 +c
aln|x| +c
e^ax/a +c
-cosax/a +c
sinax/a +c
actgx +c
Integrace per partes
Pro soucin funkci tvaru Integral uv = uv - Integral uv
rozepisu jako | u = u v’ = v |
| u` = u’ v = integruju v |
Integral podilu kde citatel je derivace jmenovatele
Vysledek je logaritmus|jmenovatel|
Postup na rozklad polynomu na parcialni zlomky
Pokud je jmenovatel stejneho stupne jako citatel - delim je. Rozepisu celou cas plus zbytek/jmenovatel. Rozlozim jmenovatel na koreny/ Rozepisu parcialni zlomky s A,b,C… zakryvacim pravidlem spocitam koeficienty.
Pokud je tam kvadraticky clen - musim rozepsat rovnici a porovnat po slozkach
Urcity integral definice
Necht f je omezena na intervalu a,b. Pokud inf hornich integralnich souctu roven supremu hornich integralnich souctu, rekneme, ze tento soucet je urcity integral. Horni integralni soucet je soucet ploch obdelniku, ktere vycnivaji nad krivkou. Spodni integralni soucty je soucet ploch obdelniku, ktere jsou pod krivkou. Jejich limity jsou integral - obsah plochy pod krivkou
Stredni hodnota fce f
Stredni hodnota fce f na intervalu a,b je (Integral od a do b z fce f)/b-a
je to jakysi prumer fce f.
Spojita fce na uzavrenem intervalu nabyva stredni hodnoty
Delka grafu vzorec
Integral z a do b z (1 + (f`(x))^2)^1/2
Obsah plaste fce f rotaci kolem osy
2piIntegral od a do b z (f(x)(1+(f`(x)^2))^1/2
Objem telesa danym rotaci grafu fce f
pi*Integral od a do b z f(x)^2
Geometricka rada s kvocientem q
Suma od 1 do nekonecna ak*q^(k-1).
Suma pro |q| < 1 je a1/1-q (prvni clen lomeno doplnek kvocientu)
Absolutni konvergence
Rada konverguje absolutne, pokud konverguje jeji absolutni hodnoty
Nutna podminka kovenrgence
K-ty clen v nekonecmu se musi blizit 0 v absolutni hodnote
Leibnitzovo kriterium konvergence
- Strida znamenko, cast bez znamenka je vetsi nez nula
- Limita k-teho clenu (bez znamenka) v abs hodnote se v nekonecnu rovna 0,
- Posloupnost clenu (bez znamenka) je nerostouci, tj k-ty prvek je >= k+1 prvek
Integralni kriterium absolutni konvergence
Rada konverguje abs, p.t.k. integral z f=|k-ty clen| konverguje a f je nerostouci
Rozhodne pouze abs konvergenci, ale ne obecnou konvergenci
Odmocninove/podilove kriterium
lim(k->nek) [k-ta odmocnina z |k-teho clenu|] NEBO
lim(k->nek) [|k+1. clen / k-ty clen|]
= 1 => nerozhodne
>1 => nekonverguje (dalsi prvek je vetsi nez predchozi)
<1 => konverguje
