Les vecteurs Flashcards
Un vecteur est caractérisé par :
- Une direction
- Un sens
- Une longueur
Quelle est la relation de Chasles ?
AB + BC = AC
Deux vecteurs u et v sont colinéaires ssi
det(u, v) = 0
Qu’est-ce qu’une base du plan ?
Un couple de vecteurs non colinéaires
Pour tout vecteur w d’une base (u, v), il existe deux réels α et β tels que :
w = αu + βv
Par quoi est défini un repère du plan ?
Par un point A appelé origine et une base du plan (u, v)
Propriété : Pour tous points A, B, C,
AB + AC = …
2AI où I est le milieu de [B,C]
Comment résoudre un système de la forme :
{ ax + by = c
{ a’x + b’y = c’
Calculer α = det[(a a’), (b b’)]
Si α ≠ 0, il y a une unique solution qui est :
x = det[(c c’), (b b’)] / α
y = det[(a a’), (c c’)] / α
Sinon, ou bien les deux équations sont proportionnelles et le système se réduit à une équation ou bien elles ne le sont pas et S = ∅
Trois vecteurs u et v et w de ℝ3 sont coplanaires si :
u = 0 ou v = 0 ou w = 0 ou il existe (λ, μ) ∈ ℝ2 tel que w = λu + μv
Propriété : 4 points A, B, C et D de ℝ3 sont coplanaires ssi …
Les vecteurs AB, AC, et AD sont coplanaires
La base canonique de ℝ2 est …
(e1, e2) avec e1(1 0) et e2(0 1)
Donner quatre propriétés sur le produit scalaire commençant par :
Pour tous vecteurs u, v, w de ℝ2 et pour tout réel λ
- u ∙ v = v ∙ u
- u ∙ (λv) = λu ∙ v
- u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w
- ║λu║ = |λ|║u║
On appelle projeté orthogonal de v sur la droite de direction u ≠ 0 et on note Pu(v) …
L’unique vecteur de ℝ2 colinéaire à u tel que v - Pu(v) soit orthogonal à u
Projeté orthogonal : Pu(v) = …
Pu(v) = [(u ∙ v) / ║u║2] u
Quelles sont les deux formules du produit scalaire ?
- u ∙ v = xx’ + yy’
- u ∙ v = ║u║║v║cos(u, v)
Quelle est la norme du vecteur u ^ v ?
║u║║v║|sin(u, v)|
Donner trois propriétés du produit vectoriel.
Pour tous vecteurs u, v, et w de ℝ3 et pour tout réel λ :
- u ^ v = -v ^ u
- u ^ (λv + w) = λu ^ v + u ^ w
- u ^ w = 0 ssi u et v sont colinéaires
En pratique, comment calculer le produit vectoriel de u et v ?
- “On enlève la première ligne et on calcule le déterminant”
- “On enlève la deuxième ligne, on calcule le det et on met un moins”
- “On enlève la troisième ligne, on calcule le det”
Propriété (produit vectoriel) : L’aire d’un triangle ABC est :
(1/2) ║AB ^ AC║
Le projeté orthogonal Pu,v(w) de w ∈ ℝ3 sur le plan engendré par u et v supposés non colinéaires, est …
l’unique vecteur de ℝ3 combinaison linéaire de u et de v, tel que (w - Pu,v(w)) ∙ u = (w - Pu,v(w) ) ∙ v = 0
