Fonctions d'une variable réelle Flashcards
Pour une fonction réelle,
Définir Df en compréhension
Df = {x ∈ ℝ | f(x) existe}
N / D existe ssi
N existe, D existe et D ≠ 0
f est une fonction
f est périodique de période T si …
∀ x ∈ Df, x + T ∈ Df et f(x + T) = f(x)
f est une fonction
f est paire si …
∀ x ∈ Df, -x ∈ Df et f(-x) = f(x)
f est une fonction
f est impaire si …
∀ x ∈ Df, -x ∈ Df et f(-x) = -f(x)
Donner la définition d’une dérivée en terme de limite
limh→0 ([f(a + h) - f(a)] / h)
f est dérivable ssi cette limite existe
Dérivée de f + g
f’ + g’
Dérivée de fg
f’g + g’f
Dérivée de 1 / f
-f’ / f2
Dérivée de f / g
(f’g - g’f) / g2
Dérivée de fn, n ∈ ℤ
nfn - 1f’
Dérivée de √f
f’ / 2√f
là où f > 0
Dérivée de ln(f)
f’ / f
Dérivée de ef
f’ef
Dérivée de f ∘ g
(f ∘ g)’(x) = f’(g(x))g’(x)
Dérivée de xn , n ∈ ℕ
nxn - 1
Dérivée de cos
-sin
Dérivée de sin
cos
Dérivée de tan
(deux formules)
1 + tan2 = 1 / cos2
Dérivée de ln
1 / x
Dérivée de exp
exp
La tangente à Cf en (a , f(a)) admet pour équation :
y - f(a) = f’(a)(x - a)
Donner le plan d’étude d’une fonction
(6 étapes)
- Domaine de définition
- Périodicité ou parité éventuelles de f
- Domaine de dérivabilité
- Calcul de la dérivée
- Tableau de vatiation de f avec calcul des limites
- Tracé de Cf
1 / 0+ = …
+∞
1 / 0- = …
-∞
1 / +∞ = …
0+
1 / -∞ = …
0-
La limite d’une fonction polynome en ±∞ est égale …
à la limite en ±∞ de son terme de plus haut degré
La limite d’une fonction rationnelle en ±∞ est égale …
à la limite en ±∞ du quotient de ses termes de plus haut degré
Définition :
f est une bijection d’un intervalle I sur un intervalle J si …
I ⊂ Df et ∀y∈J, ∃! x∈I : y = f(x)
Théorème :
Une bijection de I sur J est …
f continue et strictement monotone d’un intervalle I sur un intervalle J
f est dérivable sur un intervalle I si …
f est continue sur I
Définition d’une asymptote
La droite d’équation y = ax + b est asymptote à Cf en +∞ (resp : en -∞) si …
limx→+∞ (f(x) - (ax + b)) = 0
(resp : limx→-∞ (f(x) - (ax + b)) = 0)
Définition d’une asymptote
La droite d’équation x = x0 est asymptote à Cf si …
limx→x0 f(x) = ±∞
ou si limx→x0+ f(x) = ±∞ ou si limx→x0- f(x) = ±∞
Comment rechercher une asymptote au voisinage de +∞
On cherche la limite a de f(x)/x en +∞, si a ∈ ℝ, on cherche la limite b de (f(x) - ax) en +∞, si b ∈ ℝ, alors y = ax + b est asymptote à Cf au voisinage de +∞
Dln = …
]0, +∞[
Dexp = …
ℝ
ln(e) = …
1
ln(1) = …
0
Dtan = …
ℝ \ {± π/2 + 2kπ, k∈ℤ}
Donner les ensembles de départ et d’arrivée de la fonction arcsin
arcsin : [-1, 1] → [-π/2, π/2]
∀x∈ ]-1, 1[, arcsin’(x) = …
1 / √(1 - x2)
Quelle est la parité de la fonction arcsin ?
arcsin est impaire
Que peut-on dire des courbes de arcsin et sin (restreinte à [-π/2, π/2])
Elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans un repère orthonormé (y = x)
Donner les ensembles de départ et d’arrivée de la fonction arccos
arccos : [-1, 1] → [0, π]
∀x∈ ]-1, 1[, arccos’(x) = …
-1/√(1 - x2)
Que peut-on dire des courbes de arccos et cos (restreinte à [0, π])
Elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans un repère orthonormé
Donner les ensembles de départ et d’arrivée de arctan
arctan : ℝ → ]-π/2, π/2[
∀x∈ℝ, arctan’(x) = …
1 / (1 + x2)
Que peut-on dire des courbes de arctan et tan (restreinte à ]-π/2, π/2[)
Elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans un repère orthonormé
Comment calculer la dérivée partielle de f par rapport à x ?
∂f / ∂x
On calcule la dérivée en considérant y comme une constante
Comment calculer la dérivée partielle de f par rapport à y ?
∂f / ∂y
On calcule la dérivée en considérant x comme une constante
