Katalog 3 Flashcards
Wie verändert sich das Spektrums einer Rechteckschwingung mit fester Impulsdauer, bei der die Periode immer weiter erhöht wird?
Wird die Periodendauer T bei gleichbleibender Impulsdauer grösser, so wird der Abstand zwischen den Linien 1/T immer enger. Geht sie gegen Unendlich, bildet sich ein kontinuierliches Spektrum.
Was ist ein fastperiodisches Signal?
Viele Signale wie Musik und Sprache sind fastperiodisch, dh. dass sie aus unterschiedlich langen Abschnitten bestehen, innerhalb derer das Signal periodisch ist.
Sie beobachten ein Spektrum aus mehreren Linien bei 100 Hz, 200 Hz, 270 Hz, 400 Hz und 800 Hz. Um was für einen Signaltyp handelt es sich?
Signale deren Spektrum nicht ausschliesslich aus ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz besteht, nennt man quasiperiodische Signale.
Welche Signale lassen sich als Fourierreihe darstellen?
Signale, welche die Dirichlet-Bedingungen erfüllen:
- f(t) muss über eine Periode absolut integrierbar sein,
- Nur endlich viele Maxima / Minima pro Periode,
- Nur endlich viele und nur endliche Unstetigkeiten.
Wie sieht das Spektrum eines einzelnen Rechteckimpulses aus?
? Das Spektrum ist kontinuierlich und wird durch eine Sinc-Funktion
beschieben
Wie sieht die Fouriertransformierte des mit 2 skalierten Einheitsimpulses aus?
Aufgrund der Faltungs- oder Ausblendeeigenschaft der Dirac-Distribution ergibt sich die Fouriertransformierte der Dirac-Distribution als 1. Skaliert mit 2 wäre die Fouriertransformierte damit auch 2.
Wie kann man am Besten die wechselnde Tonhöhe in der Aufnahme eines Solo-Musikstückes bestimmen?
Durch Zerlegung des Signals in überlappende Abschnitte, in denen man eine
lokale Fourieranalyse durchführt, nachdem man die Abschnitte mit einer
möglichst glatten Fensterfunktion multipliziert hat.
Sie zerlegen ein relativ glattes, periodisches Signal in mehrere Abschnitte und bestimmen in jedem Abschnitt die lokale Fouriertransformation. Wie unterscheiden sich die lokalen Spektra vom Gesamtspektrum und warum?
Die lokalen Spektren enthalten deutlich höhere Frequenzen, da durch das
ausschneiden plötzliche Übergänge entstehen, die wiederum hohe
Frequenzanteile haben.
Was bedeutet die Komplementarität von Frequenz und Zeit?
Eine zeitliche Eingrenzung der Signaldauer ∆t bewirkt eine Ausweitung des Frequenzbandes ∆f und umgekehrt. Je eingeschränkter das Frequenzband, desto grösser muss die Zeitdauer sein.
Wie berechnet man die Frequenzunschärfe eines Signals?
Anfang und Ende von Zeit- und Frequenzsprektrum sind nicht scharf definiert, daher nimmt man zur Schätzung von ∆t und ∆f oft die Halbwertsbreite (also die Breite bei 50% des Maximalwertes) oder die Standartabweichungen σ_t und σ_ω.
Was besagt die Frequenz-Zeit-Unschärferelation?
Das Frequenzband und die Zeitdauer eines Signals sind umgekehrt proportional zu einander. Das bedeutet eine Verkleinerung einer Grösse bewirkt eine Vergrösserung der anderen Grösse. Es lässt sich zeigen, dass für beliebige Signale die Frequenz-Zeit-Unschärferelation gilt: σ_ω * σ_t >= 1, bzw. ∆t * ∆f >= 0.88. Man kann niemals Zeitdauer und Frequenz genauer als σ_t * σ_ω = 1 darstellen (fundamentale Grenze).
Bei welchem Signal ist das Produkt aus Zeit- und Frequenzunschärfe genau gleich 1?
Ein Beispiel für ein solches Signal wäre zum Beispiel das Gabor-Wavelet.
Was ist der Unterschied zwischen der Fourierreihe und dem Spektrum eines periodischen Signals?
Fourierreihe und Spektrum sind bei periodischen Signalen dasselbe.
Was ist die Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses?
Wenn ein Dirac-Impuls mit einem beliebigen Signal f(t) multipliziert und
dann integriert wird, so erhält man den Signalwert f(0) am Ursprung.
Bei dem Spektrum eines Signals ist der Realteil gerade und der Imaginärteil ungerade. Um was für einen Signaltyp handelt es sich?
? Es handelt sich um ein reelles Signal.
Die Fouriertransformierte von f_1(t) sei F_1(ω), dieFouriertransformierte von f_2(t) sei F_2(ω). Wie sieht die Fouriertransformierte von f(t) = 3f_1(t) - 0.7f_2(t) aus, und welche Eigenschaft macht man sich dabei zunutze?
Zu Nutze kann man sich dabei die Linearitätseigenschaft machen, so dass die Fouriertransformierte ganz einfach gebildet werden kann:
-> F(ω) = 3 F_1(ω) - 0.7 F_2(ω).
Was passiert mit dem Spektrum eines Signals, wenn man es in zeitlicher Richtung verschiebt?
Dabei gelten die Verschiebungssätze. Bei einer Verschiebung im Zeitbereich bleibt der Betrag der Transformierten gleich, nur die Phase ändert sich.
-> f(t - a) – e^(-iωa) * F(ω)
Wie sieht das Spektrum eines Signals aus, das um den Faktor 2 im Zeitbereich gestreckt wird?
Da das Frequenzband über die Frequenz-Zeit-Relation mit der Signaldauer antiproportional zusammenhängt wird die Breite des Spektrums halbiert, wenn man den Zeitbereicht mit dem Faktor 2 streckt.
Was passiert mit dem Spektrum eines Signals, wenn man es mit einem konstanten Phasenfaktor mit dem Phasenwinkel a multipliziert?
? Bei einer Massstabsänderung um den Faktor a gilt, dass die Fouriertransformierte und ihre Phase mit dem Faktor 1/a multipliziert wird:
-> f(a * t) – 1/a * F(ω/a).
Was ist das Gibbs-Phänomen?
Formal beschreibt das Gibbs-Phänomen, dass der maximale Abstand zwischen endlichen Fourierreihen und Zielsignal bei unstetigen Signalen nicht konvergiert.
Bsp.: Bei Jpeg-Komprimierung entstehen an Kanten (also an Unstetigkeiten im Signal) Gibbsche Unter- und Überschwinger. Diese würden erst bei unendlich vielen Termen in der Fourierreihe verschwinden.
