Kapitel 7: Algebraische Strukturen Flashcards
Was ist eine Halbgruppe?
- eine Trägermenge
- eine zweistellige Verknüpfung
- für welche das Assoziativgesetz gilt (ax(bxc) = (axb)xc)
Was ist ein Monoid?
- eine Halbgruppe mit einem neutralen Element
Was gilt für das neutrale Element?
Es muss links- und rechtsneutral sein
Was ist eine Gruppe?
- ein Monoid mit einem inversen Element für jedes Element
Wann ist eine Gruppe abelsch?
Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz gilt (axb = bxa)
Was ist die Ordnung einer Gruppe?
Die Anzahl der Elemente in der Gruppe
Was ist die Ordnung eines Elements?
die kleinste natürliche Zahl n größer als Null, für die gilt a potenziert mit m ergibt das neutrale Element
Was ist, wenn es keine natürliche Zahl n größer als Null, für die gilt a potenziert mit m ergibt das neutrale Element, gibt?
Dann ist die Ordnung des Elements a unendlich
Was ergibt ein Element potenziert mit 0?
das neutrale Element
Wann gilt eine Gruppe als zyklisch?
Wenn sie mindestens ein Element enthält, aus dem sämtliche Elemente der Gruppe erzeugt werden können
In G muss mindestens ein Element der Ordnung |G| existieren
Sind zyklische Gruppen zwingend kommutativ?
Ja, aber nicht andersherum
Was ist eine Untergruppe?
Eine Teilmenge der Trägermenge, die selber eine Gruppe unter der Verknüpfung bildet
Was muss man zeigen, damit U eine Untergruppe von G ist?
- nichtleer
- abgeschlossen (axb und bxa müssen Element der Untergruppe sein)
- inverses für jedes Element existiert
Wieso braucht man beim Beweis der Untergruppe nicht die Assoziativität und Kommutativität zeigen?
Weil diese per Teilmenge vererbbar sind
Wieso muss die Existenz des neutralen Elements bei dem Beweis der Untergruppe nicht gezeigt werden?
Weil dessen Existenz durch die drei Bedinungen nichtleer, abgeschlossen und es gibt zu jedem Element ein inverses folgt
Was sollte man als erstes zeigen beim Beweis einer Untergruppe?
Das neutrale Element
Was besagt der Satz von Lagrange
Die Ordnung einer Untergruppe teilt stets die Ordnung der Gruppe.
Zudem teilt die Ordnung eines Elements a € G die Ordnung von G.
Was ist das besondere an Gruppen mit einer Primzahlordnung?
Sie sind immer zyklisch
Welches Element einer Gruppe hat als einziges Element die Ordnung 1?
Das neutrale Element
Wann sind zwei Gruppen isomorph?
wenn es zwischen ihren Elementen eine strukturerhaltende, bijektive Abbildung gibt, d.h., wenn ihre Gruppentafeln bis auf die Bezeichnungen der Elemente übereinstimmen
Was ist eine wichtige Voraussetzung für Isomporhie?
Die Gruppen haben gleich viele Elemente einer jeweiligen Ordnung
Was ist das besondere an zyklischen Gruppen derselben Ordnung?
Sie sind stets isomorph
