Kapitel 3: Elementare Zahlentheorie

Question 1

Was ist eine Relation?

Answer 1

Eine Relation R auf einer Menge A ist eine Teilmenge der geordneten Paare aus AxA

Question 2

Wann ist eine Relation refelxiv?

Answer 2

Wenn alle Elemente a aus A zu sich selber zeigen

Question 3

Wann ist eine Relation symmertrisch?

Answer 3

Wenn alle alle Pfeile/Beziehungen zwischen Elementen in beide Richtungen zeigen

Question 4

Wann ist eine Relation antisymmetrisch?

Answer 4

Wenn alle Pfeile/Beziehungen zwischen Elementen immer nur in eine Richtung zeigen

Question 5

Was gilt, wenn bei einer antisymmetrischen Relation, doch eine symmetrie zwischen einem Element a und b besteht?

Answer 5

Dann sind a und b gleich, es gilt a=b

Question 6

Wann ist eine Relation transitiv?

Answer 6

Falls es eine Beziehung von einem Element a zu einem Element c gibt, welches eine Beziehung zu einem dritten Element b besitzt, dann existiert auch eine Beziehung des ersten Elements a zum dritten Element b

Question 7

Wann ist eine Relation eine Teilordnung (Halbordnung, Ordnung, partielle Ordnung)?

Answer 7

Wenn die Relation
* reflexiv
* antisymmetrisch und
* transitiv ist

Question 8

Wann ist eine Relation eine Äquivalenzrelation?

Answer 8

Wenn die Relation
* reflexiv
* symmetrisch und
* transitiv ist

Question 9

Wie sind Partitionen von Äquivalenzrelationen definiert?

Answer 9

Question 10

Wie kann man die Tranitivität einer Äquivalenzrelation beweisen?

Answer 10

Question 11

Wie Restklassen modulo m gibt es?

Answer 11

m viele

Question 12

Wie ist eine lineare Ordnung definiert?

Answer 12

Question 13

Was gilt für m selber, wenn gilt: Sei m eine ganze Zahl. Und m^2 ist gerade.

Answer 13

m selber ist auch gerade

Question 14

Wann sind zwei Mengen gleichmächtig?

Answer 14

Wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt

Question 15

Wann ist eine Menge M abzählbar

Answer 15

Wenn es eine bijektive Abbildung mit den Natürlichen Zahlen als Urbildmenge gibt, oder wenn M endlich ist

Question 16

Wie heißt eine Menge die nicht abzählbar ist?

Answer 16

überabzählbar

Question 17

Wie ist eine Partition definiert?

Answer 17

Question 18

Wie definiert sich eine Äquivalenzrelation für eine Partition von der Menge A

Answer 18

Question 19

Wie viele Partitionen von A gibt es, die genau gleich zu einer bestimmten Äquivalenzrelation auf der Menge A sind?

Answer 19

Question 20

Wie wird auf den natürlichen Zahlen eine Äquivalenzrelation definiert, sodass die ganzen Zahlen damit konstruiert werden?

Answer 20

Question 21

Wie ist die Addition auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 21

Question 22

Wie ist die Multiplikation auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 22

Question 23

Wie ist die Operation kleiner gleich auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 23

Question 24

Was bedeutet wohldefiniertheit?

Answer 24

Dass das ergebnis einer Operation nur von der Äquivalenzklassen und nicht von dessen Repräsentanten abhängt

Question 25

Was bedeutet wohldefiniertheit?

Answer 25

Dass das ergebnis einer Operation nur von der Äquivalenzklassen und nicht von dessen Repräsentanten abhängt

Question 26

Wie ist die Subtraktion auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 26

Question 27

Wie wird auf der Menge NxZ eine Äquivalenzrelation für die rationalen Zahlen definiert?

Answer 27

Question 28

Wie ist die Addition auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 28

Question 29

Wie ist die Multiplikation auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 29

Question 30

Wie ist die kleiner gleich Operation auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 30

Question 31

Wie ist die Subtraktion auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 31

Question 32

Wie ist die Division auf den ganzen Zahlen definiert?

Answer 32

Question 33

Wie ist ein angeordneter Körper definiert?

Answer 33

Question 34

Ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar?

Answer 34

Nein, sie ist überabzählbar

Question 35

Wie lässt sich einfach ausgedrückt die überabzählbarkeit von den Reellen Zahlen beweisen?

Answer 35

Man bestimmt eine Folge aus Reellen Zahlen in dem Intervall (0,1), in dem alle Reellen Zahlen größer als null und kleiner als eins sein sollen. Man erkennt jedoch, dass man auf Basis der Zahlen in der Folge immer wieder neue Reelle Zahlen in dem Intervall erzeugen kann, und somit gibt es noch Zahlen, die doch noch nicht in der Folge vorkommen -> Widerspruch

Question 36

Wie ist die Teilbarkeit definiert?

Answer 36

Question 37

Welche Eigenschaften hat die Teilbarkeitsrelation über den Natürlichen Zahlen mit null?

Answer 37

• refelxiv
• antisymmetrisch
• transitiv

Question 38

Welche Eigenschaften hat die Teilbarkeitsrelation über den ganzen Zahlen?

Answer 38

• reflexiv
• transitiv

Question 39

Was folgt aus a teilt b1 und a teilt b2?

Answer 39

Question 40

Wie ist eine Primzahl definiert?

Answer 40

Eine Zahl n ist eine Primzahl, wenn sie nur durch -n, n und -1, 1 teilbar ist

Question 41

Wie viele Primzahlen gibt es?

Answer 41

Unendlich viele

Question 42

Wie lässt sich die Primfaktorzerlegung formal aufschreiben?

Answer 42

Question 43

Definiere den ggT

Answer 43

Question 44

Definiere das kgV

Answer 44

Question 45

Was gilt für ggt(x,y) mal kgV(x,y)?

Answer 45

ist gleich der Betrag von x mal y

Question 46

Für kann man für x und y Elemente der Natürlichen Zahlen mit x größer-gleich y den ggT(x,y) noch schreiben?

Answer 46

ggT(x-y, y)

Question 47

Definiere die Division mit Rest

Answer 47

Question 48

Was ist äquivalent zu x ist kongruent zu y modulo m

Answer 48

m teilt x-y

Question 49

Welche Eigenschaften hat die Kongruenz modulo Relation auf den ganzen Zahlen?

Answer 49

Äquivalenzrelation, also
* reflexiv
* symmetrisch
* transitiv

Question 50

Wie sind Restklassen definiert?

Answer 50

Question 51

Wie berechnet sich das additive inverse einer Restklasse?

Answer 51

Question 51

Wann sind zwei Zahlen teilerfremd?

Answer 51

Wenn deren ggT=1 ist

Question 52

Question 53

Was besagt das Lemma von Euklid?

Answer 53