Intégration sur un segment

Question 1

Définition:

• Subdivision d’un segment
• Pas de la subdivision

Answer 1

Subdivision du segment [a,b] toute famille

τ=(x_k), k∈ {1,n} telle que a=x₁<…_{n =b}

Pas de la subdivision si elle n’est pas régulière:

max_i∈[1,n-1]|x_i+1−x_i|

Question 2

DÉFINITION Subdivision plus fine qu’une autre

Answer 2

τ′ est plus fine que τ si et seulement si tout élément de la famille τ est élément de la famille τ′.

Plus précisément, une subdivision est une famille. Une famille est une application. Il vaut mieux dire que l’image de τ est incluse dans l’image de τ′

Question 3

Définition

une fonction en escalier

Answer 3

ϕ : [a,b]→R est une fonction en escalier sur le segment [a,b] s’il existe une subdivision τ: a=x0 < ···

∀k∈[0,n−1], ∃c_k ∈R, ∀x∈]x_k,x_k+1[, ϕ(x)=c_k

τ est dite à ϕ. on note E([a,b],R)l’ensemble de ces fonctions

Question 4

Preuve: soit f continue, ε>0, il existe ϕ tq:

∥f −ϕ∥_∞= sup x∈[a,b] |f (x)−ϕ(x)|

Answer 4

1) Heine: continue⇒uniformement:η > 0 tel que∀(x,y)∈[a,b] , |x−y|< ε .
2) h =(b−a)/n _i= a+ih, i ∈[0, n−1] .
3) Posons ∀i ∈[0, n−1] ,∀x ∈[x_i,x_i+1[ , ϕ(x)= f (xi) et ϕ(b)= f (b)

Question 5

Proposition : propriété définissant l’intégrale d’une fonction continue par morceau

Answer 5

Question 6

Demo de supE^-(f)=infE⁺(f)

Answer 6

1) montrer que les deux ensembles sont non vides et majorés

2)

Question 7

Si l’intégrale d’une fonction continue positive est nulle alors f est nulle

Answer 7

supposons η > 0 tel que ∀x∈]c-η,c+η[, f(x)>ε

Question 8

Answer 8

Utiliser

Question 9

Enoncer inégalité de Cauchy-Schwarz pour deux fonction continues par morceau

Answer 9

Question 10

Demontrer inégalité de Cauchy-Schwarz

Answer 10

Poser le polynome de variable alpha suivant

Question 11

Enoncer inégalité de Minkowski

Answer 11

Question 12

Démontrer Inégalité de Minkowski

Answer 12

En utilisant Cauchy Schwarz

Question 13

Définition de la valeur moyenne d’une fonction continue par morceau

Answer 13

Question 14

Pour f périodique de période T, montrez que

Answer 14

1) Montrer pour une fonction en escalier périodique
2) Montrer pour une fonction continue quelconque

Question 15

Définition d’une primitive

Answer 15

Question 16

Montrez que si f est continue par morceau sur I alors F est continue sur I

Answer 16

Nous montrons qu’elle est Lipschitzienne et donc qu’elle est continue

Question 17

Enoncer le théorème fondamental de l’analyse

Answer 17

Question 18

Démontrer le théorème fondamental de l’analyse

Answer 18

Unicité (easy)

Existence soit page 841 BREAL soit astuce : majorer en utilisant la continuité de f

Question 19

Enoncer Intégration par partie

Answer 19

Question 20

Démontrer intégration par parties

Answer 20

En utilisant théorème de deuxième forme ie f(b)-f(a)= int_[a,b](f’)

Question 21

Enoncer formule de changement de variable

Answer 21

Question 22

Enoncer formule de Taylor avec reste intégral

Answer 22

Question 23

Preuve de la formule de Taylor avec reste intégral

Answer 23

Récurrence simple (faire intégration par partie de R_n-1(x)

Question 24

Enoncer inégalité de Taylors Lagrange

Answer 24

Question 25

Enoncer Formule de Taylor Young

Answer 25

Question 26

Demo de la formule de Taylor Young

Answer 26

Cas où f est Cⁿ⁺¹ easy en prenant le reste integral de la formule de Taylor

Question 27

Enoncer méthode des rectangles, somme de Riemann.

Answer 27

Question 28

Demo somme de riemann tend vers l’integrale quand n tend vers l’infini

Answer 28

Faire la difference de la somme et de l’intégrale et faire apparaitre de l’integrale dans la somme et de la somme dans l’integrale