Determinant Mn(K)

Question 0

Montrer que (a,b,c,d)—> ad-bc est le det sur M2(K)

Answer 0

Vérifier les propriétés de la définition

Question 1

Énoncer le théorème définissant le déterminant d’une matrice carrée

Answer 1

Il existe une unique application de M_n(K) dans K telle que : N linéarité Antisymétrique ou alternée Et normalisation

Question 2

Donner en les justifiant les det de: Permutation Pi,j Transvection Ti,j(a) Dilatation Di(a)

Answer 2

Permutation : 1 Dilatation: a Transvection : 1

Question 3

Définition de la n linéarité

Answer 3

Pour tout k dans (1,n) u—->f(u1,…,uk-1,u,uk+1,…,un) est linéaire Notation f appartient à Ln(E,F)

Question 4

Définition: f dans Ln(E,F) alternée

Answer 4

f s’annule sur toute famille contenant 2 fois le même vecteur

Question 5

Det(diag(a₁,…,a_n))

Answer 5

Π(a_i)

Question 6

Demo de transvections sur les colonnes de A ne changent pas le det.

Answer 6

Det(A’)= det(mat(C1+aCj,…,Cn))=…

Question 7

Demo : le det d’une matrice non inversible est nul

Answer 7

Il existe k tel que Ck=somme(ajCj) j diff de k. On en déduit det=0.

Question 8

A inversible ssi det(A)#0

Answer 8

: il existe une famille de transvections tel que À’=diag(a1,…,an) donc det(A’)=det(A)= Π(ai)

Question 9

A inversible ssi det(A)#0

Answer 9

< : contraposée : det(A)#0A inversible. >: il existe une famille de transvections tel que À’=diag(a1,…,an) donc det(A’)=det(A)= Π(ai)

Question 10

Demo de pour tout A B dans Mn(K): Det(AB)=det(A)det(B)

Answer 10

1) si B non inversible : det=0 2) B’=diag(b1,…,bn) et det(AB)=det(AB’) AB’=Mat(b1.C1,…,bn.Cn) Det (AB)= produit(bi).det(A)

Question 11

Soit A inversible, det(A^-1)=1/det(A)

Answer 11

Det(A.A^-1)=Det(A).Det(A^-1)=det(In)=1

Question 12

Preuve: det(^tA)=det(A)

Answer 12

1) si A est non inversible, il en est de même pour ^tA. 2) si A inversible on a AT=diag(a₁,…,a_n) Et ^tT^tA=diag(a₁,…,a_n) ^tA=(^tT)^-1.diag(a₁,…,a_n) ^tA=^tT^-1).diag(a₁,…,a_n) Comme (^tT)^-1 et ^t(T^-1) sont produits de matrices de transvections det=1

Question 13

Énoncer formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne du det.

Answer 13

Det(Mi,j)=(-1)^i+j.det(A_i,j) A_i,j étant la matrice A à laquelle on enleve la ligne i et la colonne j.

Question 14

[int](http://latex.wikia.com/wiki/Int_(LaTeX_symbol) “Int (LaTeX symbol)”)