II.6.Inversa De Una Matriz Cuadrada Y Traspuesta De Una Matriz Flashcards
Inversa de una matriz cuadrada
Una matriz cuadrada es matriz inversa de otra matriz cuadrada del mismo orden si el producto de ambas, tanto en un orden como en el otro, es igual a la matriz identidad. Mas en concreto, dada una matriz A, cuadrada de orden n, de una matriz B, también cuadrada de orden n, diremos es matriz inversa de la matriz A si se verifica AB = BA = In
Unicidad de la inversa.
Si una matriz inversa existe, es única.
La notación para la matriz inversa A es A^-1
Propiedades de la matriz identidad
La matriz identidad de cualquier orden admite inversa y su inmersa es ella misma.
Cualquier matriz elemental es invertirle, y su inversa es otra matriz elemental, y decir que dos matrices elementales del mismo orden son inversas una de la otra es tanto como decir que las transformaciones elementales asociadas son a su vez inversas entre si.
Si multiplicamos dos matrices invertibles, su producto también es invertible y la inversa del producto será la inversa de sus factores.
Las matrices cuadradas invertibles son las matrices cuadradas de rango máximo.
Matriz regular (o NO singular)
Dada una matriz cuadrada con rango máximo.
Matriz singular
Matriz cuyo rango no es máximo.
Resolución de sistema de ecuaciones lineares compatibles determinados mediante la inversa.
Tenemos AX = C, pero como sabemos que la matriz A es invertible, la podemos multiplicar por la izquierda, tal que
A-1AX = A-1C, de donde X = A-1C
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz es la matriz que resulta de considerar las filas de la matriz original como columnas y las columnas como filas.
Se denota como At.
Propiedades de una matriz traspuesta
La traspuesta de la traspuesta es la matriz original.
La traspuesta de una matriz Identidad es ella misma.
La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las traspuestas.
Si A y B son dos matrices tales que el producto AB está definido, entonces (AB)t = Bt At
Si nos dan una matriz cuadrada invertible ¿es invertible su traspuesta? Si, y su inversa es igual es igual a la traspuesta de la inversa de la matriz dada.
At -1 = A-1t
La transposición de matrices conserva el rango.
Traza de una matriz cuadrada
Se define traza de la matriz como la suma de los términos de la diagonal principal.
La traza de la suma es igual a la suma de las trazas.
En un producto no se da la propiedad de la suma.
Pero si el producto es una matriz cuadrada, las trazas tanto de AB como BA serán iguales.
