II. Analogie zwischen Stoff-, Wärme-, und Impulstransport (Ähnlichkeitslehre und Dimensionsanalyse)

Question 1

Welche Erhaltungssätze der Physik benötigt man zur Herleitung der allgemeinen Transportgleichungen und zur Bilanzierung bzw. Gesamtbetrachtung der meisten technisch-chemischen Prozesse?

Answer 1

Massenerhaltung, Energieerhaltung, Impulserhaltung

Question 2

Was versteht man unter der Dimensionsanalyse?

Answer 2

Dimensionsanalyse gibt die Antwort auf die Frage nch er notwendigen Anzahl an Kennzahlen und lässt sie ausrechenen (beruht auf die Tatsache, dass physikalische Größen dimensionsbehaftet sind)

Question 3

Was besagt die Ähnlichkeitslehre?

Answer 3

Ähnlichkeitslehre ermöglicht es, Prozessabläufe in kleinen Modellen zu untersuchen und auf großen Apparate zu übertragen.

►physikalische Ähnlichkeit ist notwendig

→immer dann gegeben, wenn Vorgänge in Modell und Hauptausführung die gleiche Anzahl an unabhängigen Variablen erzeugen.

►geometrische Ähnlichkeit

→Verhältnis der geometrischen Abmessungen gleich

►gleiche dimensionslose Kennzahlen

→Modell und Ausführung lassen sich durch lineare Transformation ineinander überführen.

(ρ·d_1·u₁) / η = Re = (ρ·d₂·u₂) /η

Question 4

Was versteht man unter einer Kriteriengleichung? Nennen Sie einige Beispiele aus der Technik/Praxis!

Answer 4

Kriteriengleichung: dimensionslose Korelation

→Funktionelle Zusammenhang von Messgrößen

→nicht mehr als DGL, sondern als Potenzgleichungen von Kennzahlen

Nu = c · Re^M · Prⁿ (Wärmetransport → α)

Sh = D · Re^M · Scⁿ (Stofftransport → β)

Satz an dimensionslosen Kennzahlen:

Kriteriengleichung des Wärmetransports : Nu = f(Re, Pr)

Kriteriengleichung des Stofftransports : Sh = f(Re, Sc)

Dabei ist Sh die Abkürzung von Sherwood-Zahl, Nu von Nussel-Zahl

Question 5

Was versteht man unter dem Π-Theorem (auch Buckingham-Theorem genannt)?

Answer 5

Π-Theorem ist das Ergebnis der Dimensionsanalyse

Z_K = Z_a + Z_s - Z_e Z(Kas-e)

Z_K : Anzahl der Kennzahle

Z_a : Anzahl der Apparate, Betriebswerte

Z_s : Zahl der Stoffwerte

Z_e : Zahl der Grundeinheiten

Question 6

Erläutern Sie das Ergebnis der Dimensionsanalyse für den Wärmeübergangs und Stoffübergangskoeffizienten.

-Stoffübergangskoeffizient-

Answer 6

►Stoffübergangskoeffizient → β [m/s] = D/d

β wird in der Sherwood-Zahl dargestellt.

Sh = (β·d) / D , Sc = v / D = η / (D·ρ) , Re = ( ρ·d·u ) / η

• Apparat (2):
• d [m]
• u [m/s]

Stoff (4):

• ρ [kg/m³]
• η [kg/ms]
• β [m/s]
• D [m/s²]

Z_K = Z_a + Z_s - Z_e = 2 + 4 - 3 = 3 *mit Z_E : Anzahl der Grundeinheiten

• d = [m], d/u = [s], ρ·d³ = [kg]
• [η] = [ρ·d³] / ( [d] · [d/u] ) = [d·ρ·u] ⇒ Ke₁ = η / ( ρ·d·u )

[β] = [m/s] = [d] / [d/u] = [u] ⇒ Ke₂ = β / u

[D] = [m²/s] = [d²] / [d/u] = [d·u] ⇒ Ke₃ = D / (d · u)

• Re = 1 / Ke₁ = ( ρ·d·u ) / η

Sc = Ke₁ / Ke₃ = v / D

Sh = Ke₂ /Ke₃ = (β·d) / D

Question 7

Wie lauten die beiden Fick’schen und die beiden Fourier’schen Gesetze?

Answer 7

♦Fourier’sches Gesetz:

1. Gesetz : Q^· = - λ · A · dT/dz
2. Gesetz: δT / δt = λ / (c_p · ρ) · δ²T / δz₂

♦Fick’sches Gesetz:

1. Gesetz: ṅ = - D₁₂ · F · dc / dx
2. Gesetz: δc / δt = D · δ²c / δx²

Question 8

Auf welche Probleme sind die Gesetze anzuwenden?

Answer 8

Fourier’sche Gesetze:

• Wärmetransport durch Wärmeleitung
• stationär zeitlich unabhängig → 1. Fouriersches Gesetz
• instationär → 2. Fouriersches Gesetz

Fick’sche Gesetze:

• Normale molekulare Stofftransport einer Komonente A in eine Komponente B
• stationär zeitlich unabhängig → 1. Fick’sches Gesetz
• instationär → 2. Fick’sches Gesetz

Question 9

Welche Größen entsprechen sich beim Stoff- und Wärmetransport?

Answer 9

Wärmetransport ⟷ Stofftransport

Q^· = - λ · A· ΔT / Δx ⟷ η^· = β · A · (cs-c)

Nu = (α · d) / λ ⟷ Sh = (β · d) / D

Re = ( ρ·d·u ) / η ⟷ Re = ( ρ·d·u ) / η

Pr = v / a ⟷ Sc = v / D

Question 10

Physikalische Bedeutung und Anwendung der dimensionslosen Kennzahlen in der Praxis!

Answer 10

Kennzahlen sind eine dimesnsionslose Verknüpfung von Betriebs- und Stoffgrößen.

Anwendungen:

Schiffsbau → Sturmflutverhalten

Flugzeug → Windkanal