Geometrisk analys av variabelförändringar Flashcards
Vad händer med grafen för y = sin(kx) om k > 1?
Grafen trycks ihop horisontellt, och perioden minskar enligt formeln: Period = 2π/k.
Vad händer med grafen för y = sin(kx) om 0 < k < 1?
Grafen sträcks ut horisontellt, och perioden ökar.
Vad händer med grafen för y = sin(kx) om k < 0?
Förutom att grafen trycks eller sträcks horisontellt speglas den över x-axeln.
Vad händer om amplituden A förändras i y = A * sin(x)?
Om |A| > 1: Grafen sträcks vertikalt, och topp- och bottenvärden blir högre.
Om 0 < |A| < 1: Grafen trycks ihop vertikalt.
Om A < 0: Grafen speglas över x-axeln.
Vad händer om y = sin(x) kvadreras till y = (sin(x))²?
Grafen får en “böljande” form med toppar vid y = 1 och nollor vid y = 0. Negativa värden elimineras, och perioden fördubblas eftersom kvadreringen är symmetrisk över halva perioder.
Hur kan vi geometriskt förstå formeln cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)?
Genom att tänka på två punkter på enhetscirkeln med vinklarna θ och 2θ. Deras x- och y-koordinater kan användas för att bevisa formeln. Trianglar inom cirkeln hjälper till att koppla detta till Pythagoras sats.
Hur visualiseras addition och subtraktion av vinklar, som i formeln sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)?
Föreställ dig två vinklar α och β på enhetscirkeln. Deras totala rörelse kan delas upp i x- och y-komponenter, vilket bekräftar sambandet.
Vad beskriver halv-vinkelformeln sin²(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2?
Den omvandlar kvadrerade trigonometriska funktioner till enklare uttryck och används ofta i förenklingar av formler.
Vad innebär periodiska symmetrier för trigonometriska funktioner, exempelvis sin(θ + 2π) = sin(θ)?
Det visar att trigonometriska funktioner upprepar sig exakt efter varje varv runt enhetscirkeln (2π).
Hur påverkar variabler som k och A grafens form i trigonometriska funktioner?
Variabler påverkar grafens utsträckning horisontellt (via k) och vertikalt (via A), samt om grafen speglas över x-axeln om k eller A är negativ.
