formules probabilité

Question 1

La loi uniforme pour variable aléatoire discrète

Answer 1

X(𝛀) = [[1;N]]
P(X=k) = 1/n
E(X) = (n+1) / 2 
V(X) =  (n^2 - 1) / 12

Question 2

on dit que A et B sont indépendant ssi

Answer 2

P(A n B) = P(A)*P(B)

Question 3

P(A u B) =

P(A u B u C) =

Answer 3

P(A) + P(B) - P(A n B)

P(A) + P(B) + P(B) - P(AnB) - P(AnC) - P(BnC) + P(AnBnC)

Question 4

V(X)

Answer 4

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2
avec E(X)^2 qui est (la primitive de -∞ à + ∞)(t^2*f(t)dt)

Question 5

fonction f est une densité de probabilité ?

Answer 5

• f est positive sur R
• f est continus sur R sauf éventuellement en un nombre finis de point
• (primitive de + ∞ à -∞)(f(x))dx = 1

Question 6

fonction f est une fonction de répartition?

Answer 6

• F(x) est croissante
• lim en -∞ de F(x) = 0 et lim en + ∞ de F(x) = 1
• F(x) est de classe C^1 sur R sauf éventuellement en un nombre finis de valeurs
• F(x) est continus sur R

Question 7

F(x)(X)

Answer 7

(Primitive de -∞ à X)(de f(x))dx

Question 8

Loi de binomiale

Answer 8

X(𝛀) = [[0;N]]
E(X)=np
V(X)=npq

Question 9

les lois géométriques

Answer 9

X(𝛀) = N*
P(X=k) = q^(k-1)*p
E(X)=1/p
V(X)=q/(p^2)

Question 10

Loi de poisson

Answer 10

X(𝛀) = N
P(X=k) = ( exp(-h)*h^k) / K!
E(X) = h
V(X) = h

Question 11

Loi uniforme pour variable aléatoire à densités

Answer 11

X(𝛀) = [[a;b]]
- Sa densité est f(x) = ( x appartient {a;b}, f(x) = 1/(b-a) ) et (x appartient pas a {a;b}, f(x) = 0 )
- Sa fonction de répartition F(X) = ( 0 si x < a) - ( (x-a)/(b-a) si x appartient à [[a;b]] ) - ( 1 si x > b )
E(X) = (a+b) / 2
V(X) = ((b-a)^2) / 12

Question 12

Lois exponentielles

Answer 12

Paramètre h
- Sa densité est f(x) = (x > 0, f(x) = h*exp(-xt) avec h > 0) - (x<0 f(x)=0)
- Sa répartition est F(x) = (0 si x<0) - ( 1-exp(-hx)) si x>0)
E(X) = 1/h
V(X) = 1/h^2

Question 13

Loi normale

Answer 13

De paramètre m et Ò^2 avec Ò>0
- f(x) = (1 / (Òracine(2π))exp(-1/2*((x-m)/Ò)^2
E(X) = m
V(X) = Ò^2

Question 14

linéarité des espérance et variance

Answer 14

E(aX+b) = aE(X)+b
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
V(aX+b) = (a^2)*V(X)
V(X+Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendante

Question 15

cov(X,Y)

Answer 15

cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

Si X et Y sont indépendante cov(X,Y)=0 , c’est à dire que E(XY)=E(X)E(Y)