formule algèbre linéaire Flashcards
Opération sur les lignes de matrice
On ne peut pas multiplié une ligne 1 par un coefficient nul ou possiblement nul pour effectuer une opération sur cette ligne, dans ce cas on permute les lignes
Dimension d’une matrice carré?
On ne parle pas de dimension mais bel et bien d’ordre, on dira une matrice carré d’ordre 3 pour une matrice avec 3 ligne et 3 colonnes.
AB=I <=> A et B inversible?
Valable mais uniquement après avoir rappelé que ce sont deux matrice carré…
U(N+1) = A*U(n) ?
Démontrer par récurrence que U(n) = A^n*U(0)
D = (D^n) ssi?
Ssi la matrice D est diagonale alors on mets les coefficient diagonaux a la puissance n.
matrice colonel liée?
Pas inversible
Génératrice
Une matrice est génératrice d’un espace vectoriel
- Démontrer une application linéaire
- Démontrer un endomorphisme
Pour tt (X,Y) de E*E et (µ,ß) de R*R f(µX+ßY) = µf(X)+ßf(Y) pour montrer endomorphisme on prend n f(x) et on montre qu'il appartient à l'ensemble de départ après voir porter que c'est une application linéaire.
Déterminer la matrice d’un endomorphisme dans une base donnée?
On a un base ß=(E1,E2,E3,E4) d’une espace vectoriel E et f un endomorphisme de E.
Alors la matrice f a pour coordonné dans ß les résultat de f(E1) f(E2) f(E3) f(E4) en colonie avec E1 E2 E3 E4 en ligne
Ker(f)?
∂ appartient a ker(f) <=> f(∂)=0
Matrice diagonale et matrice inversible
Si 0 est une valeur propre de la matrice alors elle est pas inversible sinon elle l’est
Diagonalisable
- Si symétrique
- Si autant de valeur propre que l’ordre de la matrice carrée
- Si la dimension de ses sous espace propre est elle a l’ordre de la matrice carré
- sinon non diagonalisable
Attention aux polynôme annulateur
On peut trouver des racines de polynômes qui ne sont pas des valeur propre car si on fait AX=(v.p)X on trouve que X doit être égale à 0 cela veut dire que ce n’est pas une valeur propre.
Rédaction pour A=PD(P^-1)
- Puisque 1 est diagonalisable, la concaténation des bases des sous espace propre forme une base de vecteur propre.
- Soit P la matrice de passage de la base canonique à la base de vecteur prore, D la matrice diagonale dont les coefficient diagonaux sont les valeurs propres de A, d’où la formule de changement de base A=Pd(p^-1)
