formule stato spazio Flashcards
formulazione stato-spazio: a cosa serve e formula standard
attraverso la formulazione stato-spazio applicata ai sistemi lineari SISO si possono risolvere i problemi con metodi standard.
formulazione standard:
x’=Ax+Bu
y=Cx+Du
A matrice di stato, B matrici degli imput, C matrice degli outpu, D matrice accoppiamento imput output
formulazione dell’osservatore stato spazio
passaggi e spiegazione della matrice A
1) esprimo il problema nel dominio di laplace 1) esprimo il problema nel dominio di laplace
2) ottengo la risposta nel dominio di laplace combinado i suoi integrali e quelli degli imput
3)fattorizzo rispetto gli integratori (divido per s)
4) ogni uscita dall’integratore è una variabile di stato (x) con Xn è la variabile più interna
5) posso riscrivere il nostro sistema ottenendo A,B,C e D.
in A avremo la prima colonna che sarà composta dai coefficienti del denominatore della funzione di trasferimento, la superdiagonale sarà composta da 1, mentre il resto saranno zeri
formula del controllore
passaggi
- applico la trasformata di laplace
- esprimo la trasformata di laplace della risposta come una combinazione tra la trasf. di laplace di una funzione arbitraria e i suoi derivati di ordine r f(s)=u(s)/denominatore della funzione di trasferimento. Y(s)=b(r)s^rF(s)…+b0Fs
r=n-1 - individuo le variabili di stato ponendo la prima x1=f(t), quindi ottengo le sue derivate tranne quella massima. x^=d^(n-1)f(t)/d(t).
- ottengo la matrice di stato avent come ultima riga i coefficienti del denominatore della f. di transf., gli elementi della sottodiagonale pari a 1 e il resto 0. la matrice B=(0….1), la matrice C=(b0 b1… bn) D=0 o bn nel caso n=r con N grado dl denominatore e r grado del numeratore di H.
forma di jordan
passaggi
- applico la traformata di laplace
- la esprimo attraversi i poli del sistema L e ai residui k
- la matrice di stato sarà una matrice diagonale composta dai suoi poli. esprimo k=bc . y=k u /(s-l) ricavo y(s-l)=ku -> y^=ly+ku
- divido tutto per c e ottengo x=c*y e X^= lx +bu
- cosi si ottiene la matrice di stato con i l, al B=(b0…bn), c=(c0…cn) D=0
caso particolare di jordan
quando abbiamo un polo con molteplicità multipla
quindi si avrà la stessa equazione per ogni grado per la stessa radice ma con esponente crescente fino al grado della molteplicità. k=c1*b1,b2,b3. si ottiene con lo stesso principio dell’approccio stato spazio, il blocco di jordan [l1 1 0, 0l2 1, 0 0 l3] cioè lo stesso polo sulla diagonale principale, sulla superdiagonale 1 e il resto 0. questi blocchi di jordan sono matrici quadrate. c= c1 0 0 c4 c5 blocco fila di jordan molteplicità dl polo e tutti gli elementi nulli tranne il primo
se B(oC) è =1 allora c(oB) sarà = al residuo k
soluzione omogenea + particolare
applicazione della proprietà del campionamento e inserimento dell’integrale di campionamento nella risposta allo stato zero
xt= xh+xp con xh=e^At ch con ch vettore costante n1 quindi x^= A e^At ch=A xh.
xp=e^At cp con cp vettore composto da funzioni dipendenti dal tempo. x^p= Ae^at cp + e^at+c^p= Axp + Bu
quindi cp= int tra t e t0 di e^-atao Bu tao dtao
xp=int tra t e t0 di e^A(t-tao) B u tao dtao
l’unicità della soluzione si ottiene soddisfacendo le condizioni iniziali xt0=x0=e^At0 xh -> xh=e^-at0 x0
ricavo x(t) e y(t).
applico la proprietà dl campionamento ad ogni componente del vettore degli input e ottengo ut= int tra t e t0 di delta(t- tao) u tao dtao. lo inserisco in x e y.
fi(t)= e^at matrice di TRANSIZIONE DI STATO
applico in x e y. per t0=0
H= integrale di campionamento della risposta allo stato zero
Cfi(t)B+Ddelta(t)
Yzs=int tra t e 0 di h(t-tao)u tao dtao = H(t)*u(t). l’elemnto hij di questa matrice rappresenta l’i-esimo output ad un impulso unitario fornito dal j-esimo input dl sistema
