ESSENCE OF LINEAR ALGEBRA Flashcards
metod för att kolla om en vektor v är en linjärkombination av vektorerna v1, v2
- skriv upp matris A = [v1 v2 v]
- v är en linjärkombination av v1, v2 om A är konsistent
vad innebär v € Span{v1, v2 … vn}?
v ligger i det linjära höljet till v1, v2 … vn, det vill säga v är en linjärkombination av v1, v2 … vn.
vad är lösningsmängden till Span{v1}?
alla multipler av v1, det vill säga cv1
det är en linje genom origo
vad är lösningsmängden till Span{0}?
består endast av nollvektorn
vad är lösningsmängden till Span{v1, v2}?
alla vektorer v = c1v1 + c2v2
det är planet som spänns ut av v1, v2
vad är lösningsmängden till Span{v1, v2}, där
v2=cv1?
Span{v1, v2} = Span{v1}
när har Ax=0 en icke-trivial lösning?
när någon av kolonnerna i A inte är en pivotkolonn, det vill säga när det finns fria variabler
metod för att hitta icke-trivial lösning till Ax=0
- överför A till trappstegsform/reducerad trappstegsform
- lös ut basvariabler med hjälp av fria variabler
- definiera x som x =[x1, x2, … xn]’
- bryt ut fria variabler som vikter
lösningarna är då alla linjärkombinationer av de olika vektorerna, det vill säga Span{v1, v2 .. vn}
alternativ metod är att bestämma vektorerna genom hitta v-transponat genom -1-tricket
metod för att se om v1, v2 … vn är linjärt oberoende
- sätt V = v1, v2 … vn och Vx=0
- linjärt oberoende om Vx=0 endast har lösningen x=0, det vill säga om varje kolonn i V är pivotkolonn
annars linjärt beroende
vad innebär Span{v1, v2 … vn} = Span{v1, … vi-1, vi+1, … vn} för 1 <= i <= n?
v1, v2 … vn är linjärt beroende
metod för att ta reda på om v ligger i bilden av T
- sätt Tx=v
- v ligger i bilden av T om Tx=v är konsistent
vad är standardmatrisen för en rotation o radianer runt origo i planet?
[ cos(o) -sin(o), sin(o) cos(o) ]’
vad gäller vid multiplikation med två matriser A och B?
AB != BA
Kan gälla att AB = 0 trots att A !=0, B !=0
(AB)^2 != A^2B^2 i allmänhet
när är AB inte definierad?
AB är bara definierad när antalet kolonner i A = antalet rader i B, det vill säga när (n1m) * (mn2)
vad gäller för A, B om CA=CB?
normalt gäller att A != B
vad är (A*B) transponat?
B transponat * A transponat
när är en matris A inverterbar?
precis när detA != 0
eller
precis när A har full rang
vad är (A*B)^-1?
B^-1*A^-1
metod för att hitta invers till matrisen A
- gör en utökad koeffecientmatris: A | In
- överför UKM till radreducerad trappstegsform
- A invers är då högerledet, det vill säga In | Ainvers
metod för att se om b € Col A
- sätt Ax=b
- om konsistent, tillhör
metod för att se om b € Null A
- sätt Ab=0
- om konsistent, tillhör
metod för att bestämma v:s koordinater med avseende på basen B
- kolla om v € H, det vill säga v € Span{h1, h2 … hn}, genom att sätta [ h1 h2 … hn | v ]
- överför till radreducerad trappstegsform
- om konsistent, koordinaterna är högerled
metod för att hitta bas och dimension av Null A
- sätt Ax=0
- överför A till redreducerad trappstegsform
- lös ut basvariabler med hjälp av fria
- ger beskrivning av x som linjärkombination av vissa vektorer där fria variabler agerar vikter
- vektorerna utgör basen
- antalet fria variabler utgör dimensionen (antalet kolonner som inte är pivotkolonner)
metod för att hitta bas och dimension av Col A
- överför A till trappstegsform
- pivotkolonnerna i A utgör basen
- antalet pivotkolonner utgör dimensionen
metod hitta determinant
-utveckla längs godtycklig rad eller kolonn enligt mönstermetod
vad är determinanten för en uppåt triangulär matris?
produkten av elementen längs huvuddiagonalen
vad gäller för determinanten om B fås från A genom att två rader eller kolonner byter plats?
det(B) = -det(A)
vad gäller för determinanten om B fås från A genom att en multipel av en rad eller kolonn läggs till en annan?
det(B) = det(A)
vad gäller för determinanten om B fås från A genom att en rad eller kolonn multipliceras med c?
det(B) = c*det(A)
vad gäller för determinanten om A överförs till trappstegsform u?
det(A)=+-det(u)
där det(u) är produkten av huvuddiagonalen
+- beror på om rad/kolonn har bytt plats
vad gäller för determinanten om A överförs till A transponat?
det(A transponat) = det(A)
vad innebär produktsatsen?
det(AB) = det(A)*det(B)
ange formeln för lösningen till Ax=b när lösning finns
xi = det(A(b)i)/det(A)
ange formeln för att hitta elementet på position (i,j) i A invers om A är inverterbar
ci,j = (-1)^(i+j)*det(Aj,i)/det(A)
vad är arean som spänns ut av två vektorer u, v?
Area = abs(det(u*v))
vad är arean som spänns ut av två vektorer u, v som har ordnats av en linjär avbildning T?
Area = abs(det(A) * abs(det(u*v))
vad är volymen som spänns ut av tre vektorer som ordnats av en linjär avbildning T?
Volym = abs(det(A)) * Vol V
där Vol V är volymen innan avbildningen
