ESSENCE OF LINEAR ALGEBRA

Question 1

metod för att kolla om en vektor v är en linjärkombination av vektorerna v1, v2

Answer 1

• skriv upp matris A = [v1 v2 v]

- v är en linjärkombination av v1, v2 om A är konsistent

Question 2

vad innebär v € Span{v1, v2 … vn}?

Answer 2

v ligger i det linjära höljet till v1, v2 … vn, det vill säga v är en linjärkombination av v1, v2 … vn.

Question 3

vad är lösningsmängden till Span{v1}?

Answer 3

alla multipler av v1, det vill säga cv1

det är en linje genom origo

Question 4

vad är lösningsmängden till Span{0}?

Answer 4

består endast av nollvektorn

Question 5

vad är lösningsmängden till Span{v1, v2}?

Answer 5

alla vektorer v = c1v1 + c2v2

det är planet som spänns ut av v1, v2

Question 6

vad är lösningsmängden till Span{v1, v2}, där

v2=cv1?

Answer 6

Span{v1, v2} = Span{v1}

Question 7

när har Ax=0 en icke-trivial lösning?

Answer 7

när någon av kolonnerna i A inte är en pivotkolonn, det vill säga när det finns fria variabler

Question 8

metod för att hitta icke-trivial lösning till Ax=0

Answer 8

• överför A till trappstegsform/reducerad trappstegsform
• lös ut basvariabler med hjälp av fria variabler
• definiera x som x =[x1, x2, … xn]’
• bryt ut fria variabler som vikter

lösningarna är då alla linjärkombinationer av de olika vektorerna, det vill säga Span{v1, v2 .. vn}

alternativ metod är att bestämma vektorerna genom hitta v-transponat genom -1-tricket

Question 9

metod för att se om v1, v2 … vn är linjärt oberoende

Answer 9

• sätt V = v1, v2 … vn och Vx=0
• linjärt oberoende om Vx=0 endast har lösningen x=0, det vill säga om varje kolonn i V är pivotkolonn

annars linjärt beroende

Question 10

vad innebär Span{v1, v2 … vn} = Span{v1, … vi-1, vi+1, … vn} för 1 <= i <= n?

Answer 10

v1, v2 … vn är linjärt beroende

Question 11

metod för att ta reda på om v ligger i bilden av T

Answer 11

• sätt Tx=v

- v ligger i bilden av T om Tx=v är konsistent

Question 12

vad är standardmatrisen för en rotation o radianer runt origo i planet?

Answer 12

[ cos(o) -sin(o), sin(o) cos(o) ]’

Question 13

vad gäller vid multiplikation med två matriser A och B?

Answer 13

AB != BA
Kan gälla att AB = 0 trots att A !=0, B !=0
(AB)^2 != A^2B^2 i allmänhet

Question 14

när är AB inte definierad?

Answer 14

AB är bara definierad när antalet kolonner i A = antalet rader i B, det vill säga när (n1m) * (mn2)

Question 15

vad gäller för A, B om CA=CB?

Answer 15

normalt gäller att A != B

Question 16

vad är (A*B) transponat?

Answer 16

B transponat * A transponat

Question 17

när är en matris A inverterbar?

Answer 17

precis när detA != 0
eller
precis när A har full rang

Question 18

vad är (A*B)^-1?

Answer 18

B^-1*A^-1

Question 19

metod för att hitta invers till matrisen A

Answer 19

• gör en utökad koeffecientmatris: A | In
• överför UKM till radreducerad trappstegsform
• A invers är då högerledet, det vill säga In | Ainvers

Question 20

metod för att se om b € Col A

Answer 20

• sätt Ax=b

- om konsistent, tillhör

Question 21

metod för att se om b € Null A

Answer 21

• sätt Ab=0

- om konsistent, tillhör

Question 22

metod för att bestämma v:s koordinater med avseende på basen B

Answer 22

• kolla om v € H, det vill säga v € Span{h1, h2 … hn}, genom att sätta [ h1 h2 … hn | v ]
• överför till radreducerad trappstegsform
• om konsistent, koordinaterna är högerled

Question 23

metod för att hitta bas och dimension av Null A

Answer 23

• sätt Ax=0
• överför A till redreducerad trappstegsform
• lös ut basvariabler med hjälp av fria
• ger beskrivning av x som linjärkombination av vissa vektorer där fria variabler agerar vikter
• vektorerna utgör basen
• antalet fria variabler utgör dimensionen (antalet kolonner som inte är pivotkolonner)

Question 24

metod för att hitta bas och dimension av Col A

Answer 24

• överför A till trappstegsform
• pivotkolonnerna i A utgör basen
• antalet pivotkolonner utgör dimensionen

Question 25

metod hitta determinant

Answer 25

-utveckla längs godtycklig rad eller kolonn enligt mönstermetod

Question 26

vad är determinanten för en uppåt triangulär matris?

Answer 26

produkten av elementen längs huvuddiagonalen

Question 27

vad gäller för determinanten om B fås från A genom att två rader eller kolonner byter plats?

Answer 27

det(B) = -det(A)

Question 28

vad gäller för determinanten om B fås från A genom att en multipel av en rad eller kolonn läggs till en annan?

Answer 28

det(B) = det(A)

Question 29

vad gäller för determinanten om B fås från A genom att en rad eller kolonn multipliceras med c?

Answer 29

det(B) = c*det(A)

Question 30

vad gäller för determinanten om A överförs till trappstegsform u?

Answer 30

det(A)=+-det(u) där det(u) är produkten av huvuddiagonalen +- beror på om rad/kolonn har bytt plats

Question 31

vad gäller för determinanten om A överförs till A transponat?

Answer 31

det(A transponat) = det(A)

Question 32

vad innebär produktsatsen?

Answer 32

det(AB) = det(A)*det(B)

Question 33

ange formeln för lösningen till Ax=b när lösning finns

Answer 33

xi = det(A(b)i)/det(A)

Question 34

ange formeln för att hitta elementet på position (i,j) i A invers om A är inverterbar

Answer 34

ci,j = (-1)^(i+j)*det(Aj,i)/det(A)

Question 35

vad är arean som spänns ut av två vektorer u, v?

Answer 35

Area = abs(det(u*v))

Question 36

vad är arean som spänns ut av två vektorer u, v som har ordnats av en linjär avbildning T?

Answer 36

Area = abs(det(A) * abs(det(u*v))

Question 37

vad är volymen som spänns ut av tre vektorer som ordnats av en linjär avbildning T?

Answer 37

Volym = abs(det(A)) * Vol V där Vol V är volymen innan avbildningen