BASICS Flashcards
trappstegsform
1) rader med enbart nollor längst ned
2) ledande element står i kolonn till höger om kolonner med ledande element på tidigare rader
radekvivalent
när en matris A kan överföras till en matris B genom radoperationer
pivot position
en position som svarar mot ett ledande element i U när A ~ U och U är på trappstegsform
pivotkolonn
en kolonn med en pivot position
basvariabel
en variabel som hör till en pivotkolonn
fri variabel
en variabel som inte hör till en pivotkolonn
reducerad trappstegsform
en matris som
1) är på trappstegsform
2) endast har 1 som ledande element
3) endast har ledande element som är ensamma i sina kolonner
bakåtsubstitution
en metod där man rensar en kolonn med hjälp av en basvariabel
skalär
en konstant som skalar vektorn
antal lösningar till ett linjärt ekvationssystem
1) lösning saknas precis när sista kolonnen är en pivotkolonn
2) én lösning om alla variabler är basvariabler
3) oändligt många lösningar om det finns en eller flera fria variabler
nollvektor
en vektor bestående av enbart 0
linjärkombination
en summa av formen
c1v1 + c2v2 … + cnvn
där skalärerna c1, c2 … cn är linjärkombinationens vikter
en matris är konsistent
när matrisen har precis en eller oändligt många lösningar, det vill säga när sista kolonnen inte är en pivotkolonn
en matris är inkonsistent
när matrisen inte har några lösningar, det vill säga när sista kolonnen är en pivotkolonn
linjärt hölje
mängden av vektorer som är linjärkombinationer av v1, v2 … vn
betecknas Span{v1, v2 … vn}
vektorekvation
x1a1 + x2a2 + … + xnan = b
b är en linjärkombination av a1, a2 … an
matrisekvation
x1a1 + x2a2 + … + xnan = Ax
ekvationssystem kan skrivas Ax=b
den homogena ekvationen
Ax=0
har alltid den triviala lösningen x=0
den triviala lösningen
x=0
parameterframställning av lösningsmängden
c1v1 + c2v2 + … cnvn
partikulärlösning
én lösning till Ax=b
den inhomogena ekvationen
Ax=b
alla lösningar ges av x = p + vn, där p är en partikulärlösning och vn löser den homogena ekvationen Ax=0
v1, v2 … vn linjärt oberoende
v1, v2 … vn är linjärt oberoende om ingen av vektorerna är en linjärkombination av de övriga, det vill säga när den enda lösningen till
c1v1 + c2v2 + … cnvn = 0
är c1=c2=…=cp=0
v1, v2 … vn linjärt beroende
v1, v2 … vn är linjärt beroende precis när någon av dem är en linjärkombination av de övriga
avbildning T: Rn -> Rm
en regel T som till varje x € Rn ordnar ett T(x) € Rm
bilden av x under T
resultatet när x ordnas av regeln T, det vill säga T(x)
T:s värdemängd
mängden av alla T(x), det vill säga T:s bild
linjär avbildning
en avbildning är linjär om
1) T(u+v) = T(u) + T(v)
2) T(cu) = cT(u)
gäller
identitetsmatris
en kvadratisk matris med diagonalen bestående av 1 och resten 0
T:s standardmatris
den matris som x multipliceras med för att ordna T(x), det vill säga T(x) = Ax
injektiv linjär avbildning
när T(x)=b har högst én lösning för varje b € Rm
T(x)=0 bara den triviala lösningen
surjektiv linjär avbildning
när T(x)=b är konsistent för alla b € Rm
sammansättning T o S
när deras standardmatriser A, B, multipliceras till AB
transponat
när en kolonn skrivs som en rad eller vice versa
inverterbar matris
AB = In och BA = In
B = 1/A
elementär matris
de matriser som fås från I genom att göra én radoperation
inverterbar linjär avbildning
när (T o S)(x)=x och (S o T)(x)=x, det vill säga när AB=In, BA=In
delrum H
en delmängd H där
1) 0 € H
2) u, v € H så gäller u + v € H (sluten under addition)
3) c € R, u € H så gäller cu € H (sluten under multiplikation med skalär)
kolonnrum Col A
mängden av alla linjärkombinationer, Span{a1, a2 … an}
nollrum Null A
lösningsmängden till Ax=0
bas för H
de vektorer som tillsammans utgör delrummet H
1) H = Span[v1, v2 … vn}
2) v1, v2 … vn är linjärt oberoende
triviala delrummet
{0}
v:s koordinater med avseende på basen B: v1, v2 … vn
de vikter som sätts på basen B för att skapa v
dimensionen av H, dim H
antalet vektorer i en bas för H
rang, rank A
dim Col A, det vill säga dimensionen av kolonnrummet, det vill säga antalet pivotkolonner
uppåt/nedåt triangulär matris
en matris där området under/över huvuddiagonalen är 0
nolltriangulär
det(In) = 1
vektorrum
en mängd med två operationer
1) ett sätt att addera element i V, u + v
2) ett sätt att multiplicera element med skalär, cu
delrum till vektorrum
en delmängd H till vektorrummet V där
1) 0 € H
2) u, v € H så gäller u + v € H (sluten under addition)
3) c € R, u € H så gäller cu € H (sluten under multiplikation med skalär)
kärna till linjär avbildning T, Kor T
mängden av alla v € V så att T(v)=0
bild av linjär avbildning T, Im T
mängden av alla w € W så att T(x)=w har en lösning
injektiv linjär avbildning vektorrum
T(u)=T(v) bara när u=v
eller
Tx=u har högst én lösning för varje w € W
surjektiv linjär avbildning vektorrum
Im T = W
isomorfi
när T är injektiv och surjektiv
