Eksamen 1 semester del 3 Flashcards
Misoppfatninger i sannsynlighet? 1
• «Spesielle»/«gunstige» hendelser oppfattes som mindre sannsynlig (A, C)
• Tenke at alle utfall en modell er like sannsynlige – basert kun på å telle
antall utfall, ikke hva som ligger bak et av disse resultatene. (D, E)
- Tidligere skjevheter blir rettet opp (G, I)
- Gjetter sannsynligheter uten å tenke på totalkombinasjoner (J)
- Sannsynlighet gir direkte utfallet av hendelser (F).
Postkasseprinsippet (pigeon hole principle)?
- Flere brev enn postkasser så det må ligge to brev i en postkasse.
- De første syv elevene kan fordeles på syv ulike ukedager, men når det kommer til nummer åtte og videre må nødvendigvis to havne på samme ukedag.
viktig grunnleggende kunnskap?
forholdsbegrep vite forholder mellom mengder, avstander osv
Misoppfatninger i sannsynlighet? 2
- Å addere sannsynligheter der det ikke skal gjøres: Hvor stor er sjansen for å få minst en sekser på seks terningkast? Er det 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1?
- Å blande sammen uniform og ikke uniform modell.
- Et forsøk kan være tilfeldig selv om det ikke er rettferdig. Et barn kan mene at et urettferdig forsøk ikke er tilfeldig. For eksempel, er det tilfeldig om spinneren kommer på rosa eller blått felt?
Den store talls lov
• Hvis du fortsetter et eksperiment lenge nok vil du nærme deg den teoretiske sannsynligheten – MEN: det forutsetter at du kan fortsette vilkårlig lenge!
”Alt jevner seg ut i det lange løp”
Spiller du poker lenge nok, vil du på sikt få like gode kort som motspillerne. Det kan dog hende at du må spille millioner av ganger, eller enda lengre for å oppleve rettferdig fordeling. Du kommer nærmere, men ikke nødvendigvis frem!
«De store talls lov» er linken
mellom eksperimentell og teoretisk sannsynlighetsmodeller.
Tidsakseproblemet?
- Er P(A|B)=P(B|A)?
- Hva vil det si at en hendelse er avhengig, eller uavhengig.
- Hvis du tester ut dette eksperimentet, så må du kutte ut alle de tilfellene der det viser seg at du trakk en svart kule på andre kastet når du ikke hadde sett hva du fikk på første.
Et bilnummer i Norge består av to bokstaver og et femsifret tall.
Man kan velge mellom 20 bokstaver og ti siffer. Det første sifferet kan ikke være 0
Hvor mange forskjellige bilnummer kan vi lage?
Hver av bokstavene kan velges på 20 måter
Det første sifferet kan velges på 9 måter
Hvert av de fire siste sifrene kan velges på 10 måter
Vi kan lage
20 ∙ 20 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 36 000 000
ulike bilnummer
Koden til en kodelås består av fire bokstaver. Du skal lage en kode ved hjelp av bokstavene A, B, C og D. Hvor mange koder kan du lage
a) Hvis koden skal inneholde fire forskjellige bokstaver?
b) Hvis bokstavene kan gjentas?
a) 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
b) 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 256
Ordnet utvalg med tilbakelegging:
Sigurd blir stilt åtte spørsmål. For hvert spørsmål kan han velge mellom fire svaralternativer.
a) På hvor mange måter kan Sigurd svare på de åtte spørsmålene?
b) På hvor mange måter kan Sigurd gi galt svar på alle de åtte spørsmålene?
a) Han kan velge mellom 4 svaralternativer hver gang. Sigurd kan derfor svare på 4 i 8 = 65 536 måter
b) Han kan velge mellom 3 gale svaralternativer hver gang. Sigurd kan derfor svare galt på 3 i 8 = 6561 måter
sammenheng mellom kombinatorikk og sansynlighet?
- Kombinatorikk er en enklere måte å regne ut antall gunstige og antall mulige på.
- Når man skal bruke kombinatorikk i sannsynlighet, så må det i bunnen ligge en uniform sannsynlighetsmodell, dvs de mulighetene som telles må være like sannsynlige.
Hvilke misoppfatninger har elevene i grunnskolen?
kombinatorikk
- Feil rekkefølge: Når elevene ikke kan se når rekkefølgen er viktig eller ikke (f.eks. dersom de tror at rekkefølgen på klistremerkene har noe å si i eksempel 3)
- Gjentakelsesfeil: Når elevene ikke tar hensyn til tilbakelegging, eller ikke tilbakelegging. F.eks. dersom kombinasjoner som 224, 444 o.l. systematisk blir utelatt i eksempel 1, eller en konvoluttfarge blir brukt flere ganger i eksempel 2.
3.
Blander sammen hva slags ting som brukes: Når elever prøver å skille mellom ting som er like, eller ikke skiller mellom ting som ikke er like. F.eks. prøver å holde greie på hvilket brev som går i hvilken konvolutt i eksempel 2, selv om brevene er like
- Utelate noen elementer før de setter opp kombinasjoner.
Eksempel: Finn alle kombinasjonene av bokstavene A, B, C, C, C. Utelate to av C’ene og finne ulike kombinasjoner av A, B og C - Usystematisk oppramsing
- Feil bruk av trediagrammer. Når elever bruker trediagrammer feil eller tolker diagrammet feil
Utvelgelsesmodellen?
det trekkes “n” trekninger fra et uvalg av “m” objekter, som gjerne er entydig definert fra hverandre.
Oppgave 1: Det er fire nummererte klinkekuler i en eske, med numrene 2, 4, 7 og 9. Vi trekker en klinkekule og skriver nummeret ned før vi legger den tilbake i esken. Vi fortsetter å trekke og legge tilbake inntil vi har fått et tall med tre sifre. Hvor mange forskjellige tall med tre sifre kan vi få på denne måten. Ett eksempel på et slik tall kan være 222.
Fordelingsmodellen?
“m” objekter fordeles på “n” plasseringer.
Oppgave 2: Vi har tre like brev, som vi ønsker å legge i konvolutter av forskjellig farge. Det er fire konvolutter med fargene gul, blå, rød og grønn. På hvor mange forskjellige måter kan tre like brev bli lagt i fire forskjellige konvolutter? Ett eksempel kan være at vi plasserer et brev i den gule konvolutten, et annet i den blå og det siste i den grønne.
Oppdelingsmodellen?
“m” objekter fordeles på “n” undergrupper, som kan inneholde mer enn en type objekt.
Oppgave 3: Mary og Cindy har fire klistremerker med numrene fra 1 til 4. De fordeler klistremerkene mellom seg, med to til hver av dem. På hvor mange måter kan de fordele klistremerkene mellom seg. Ett eksempel er at Mary fikk de med numrene 1 og 2, mens Cindy fikk de med 3 og 4.
Hvilke modeller er vanskeligst for elever?
• Fordelingsmodellen og Oppdelingsmodellen
Ikke-unifirm sannsynlighet?
Ikke-uniform sannsynlighet betyr at alle utfallene i utfallsrommet ikke har like stor sannsynlighet for å inntreffe. Denne typen sannsynlighetsmodeller er sannsynlighetsmodeller med ujevne sannsynlighetsfordelinger.
eksempel:
Kari, Lars og Mari skal bli med mor på biltur, men så er de ikke enige om hvem som skal sitte hvor. De blir enige om å kaste to mynter for å avgjøre: Kari får sitte foran hvis det blir to kron, Lars får sitte foran hvis det blir to mynt, og Mari får sitte foran hvis det blir én kron og én mynt. Er dette en rettferdig måte å fordele setene på?
KK MM MK KM Her ser vi med en gang at det ikke blir rettferdig. Det er to måter å få mynt og kron på mot bare én måte å få dobbel mynt eller dobbel kron. Vi kan da skrive opp sannsynligheten for at hver av dem får sitte først:
P({Kari})=25%
P({Lars})=25%
P({Mari})=50%
Vi ser at vi har en ikke-uniform sannsynlighetsmodell, og dermed er det ikke en helt rettferdig måte å fordele sitteplassene på.
Unifirm sannsynlighet?
Hvis alle utfallene i utfallsrommet er like sannsynlige, kalles sannsylighetsfordelingen i utfallsrommet for uniform (eller noen ganger symmetrisk).
Når vi kaster en jevn terning, er det like stor mulighet for å få en hvilken som helst verdi mellom 1 og 6. Kaster vi en jevn mynt er det like stor sannsynlighet for å få mynt som kron. I eksemplene 2 og 3 i forrige seksjon har vi dermed uniform sannsynlighetsfordeling. Men i eksempel 1 er det bare nesten uniform sannsynlighetsfordeling. Det viser seg statistisk at det er litt mer sannsynlig å få en gutt enn å få ei jente.
